《電子技術(shù)基礎(chǔ)-數(shù)字電子技術(shù)》課件第1章

第1章數(shù)字電路基礎(chǔ)1.1數(shù)字系統(tǒng)中的計(jì)數(shù)體制與編碼1.2邏輯函數(shù)1.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法小結(jié)

1.1數(shù)字系統(tǒng)中的計(jì)數(shù)體制與編碼

1.1.1計(jì)數(shù)體制

1.十進(jìn)制

我們都知道,一個(gè)數(shù)的大小由兩個(gè)因素決定,一個(gè)是這個(gè)數(shù)位數(shù)的多少,另一個(gè)是每位數(shù)碼的大小。我們熟悉的十進(jìn)制數(shù)每位的數(shù)碼是0～9,超過9的數(shù)就要用多位表示,即“逢十進(jìn)一”,每位的基數(shù)為10。

任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)可表示為（1-1）

2.二進(jìn)制

二進(jìn)制數(shù)只有兩個(gè)數(shù)碼0和1,每位的基數(shù)為2,計(jì)數(shù)規(guī)律是“逢二進(jìn)一”。如一個(gè)二進(jìn)制數(shù)101101可表示為

(101101)2=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20

=32+8+4+1

=(45)10

任意二進(jìn)制數(shù)可表示為(1-2)式中,i同樣為－∞到+∞之間的任意整數(shù),Ki為第i位的數(shù)碼,可是0或1,2i則為第i位的“權(quán)”數(shù)。如一個(gè)帶小數(shù)的二進(jìn)制數(shù)101.101可按式(1-2)展開表示為

(101.101)2=1×22+0×21+1×20+1×2－1+0×2－2+1×2－3

=4+1+0.5+0.125

=(5.625)10

此表達(dá)式也稱為按權(quán)展開式。

3.八進(jìn)制

八進(jìn)制有0~7八個(gè)數(shù)碼,每位的基數(shù)為8。計(jì)數(shù)規(guī)律是“逢八進(jìn)一”,其表達(dá)式為(1-3)式中,Ki可是0~7八個(gè)數(shù)碼之一,8i為第i位的“權(quán)”數(shù)。例如一個(gè)八進(jìn)制數(shù)132.4可按式(1-3)展開表示為

(132.4)8=1×82+3×81+2×80+4×8－1=(90.5)10

4.十六進(jìn)制

十六進(jìn)制數(shù)使用0～9、A、B、C、D、E、F等十六個(gè)數(shù)碼,其中A代表10、B代表11、C代表12、D代表13、E代表14、F代表15,每位的基數(shù)為16。其表達(dá)式為(1-4)式中,Ki可是0~F這16個(gè)數(shù)中的任意一個(gè)數(shù)碼,16i則為第i位的“權(quán)”數(shù)。例如一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)A3F.C可按式(1-4)展開表示為

(A3F.C)16=A×162+3×161+F×160+C×16－1

=2560+48+15+0.75

=(2623.75)101.1.2不同進(jìn)制間的轉(zhuǎn)換

十進(jìn)制是我們?nèi)粘Ｉ钪袘T用的計(jì)數(shù)體制,二進(jìn)制是數(shù)字電路中使用的計(jì)數(shù)體制,而八進(jìn)制和十六進(jìn)制則是在數(shù)字電路中輔助二進(jìn)制計(jì)數(shù)所用的計(jì)數(shù)體制。在今后的應(yīng)用中,需要經(jīng)常將各種進(jìn)制進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

1.二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制

二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的方法是將式(1-2)按權(quán)展開求和,二進(jìn)制的權(quán)為2i,為便于熟練轉(zhuǎn)換,表1-1給出了9位二進(jìn)制的權(quán)值。例1-1

將二進(jìn)制數(shù)(101101011)2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。

解

(101101011)2=1×28+0×27+1×26+1×25+0×24+

1×23+0×22+1×21+1×20

=256+64+32+8+2+1

=(363)10

例1-2

將二進(jìn)制數(shù)(1110.011)2

轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。

解

(1110.011)2=1×23+1×22+1×21+0×20+0

×2－1+1×2－2+1×2－3

=8+4+2+0.25+0.125

=(14.375)10

2.十進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)可將整數(shù)部分和小數(shù)部分分開進(jìn)行。

十進(jìn)制的整數(shù)部分可用“除2取余”法轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù),即將這個(gè)十進(jìn)制數(shù)連續(xù)除2,直至商為0,每次除2所得余數(shù)的組合便是所求的二進(jìn)制數(shù)。注意最先得出的余數(shù)對(duì)應(yīng)二進(jìn)制的最低位。

例1-3

將十進(jìn)制數(shù)(47)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

解用除2取余法過程如下：得(47)10=(101111)2十進(jìn)制的小數(shù)部分可用“乘2取整”法轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù),即將這個(gè)十進(jìn)制數(shù)小數(shù)部分連續(xù)乘2,直至為0或滿足所要求的誤差為止。每次乘2所得整數(shù)的組合便是所求的二進(jìn)制數(shù)。注意最先得出的整數(shù)對(duì)應(yīng)二進(jìn)制的最高位。

例1-4

將十進(jìn)制數(shù)(0.84375)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

解用乘2取整法過程如下：得(0.84375)10=(0.11011)2

對(duì)于同時(shí)具有整數(shù)和小數(shù)部分的數(shù),可將其分解為整數(shù)部分和小數(shù)部分,再分別轉(zhuǎn)換。

例1-5

將十進(jìn)制數(shù)(23.3125)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。

解

得

(23.3125)10=(10111.0101)2

3.二進(jìn)制與八進(jìn)制、十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換

由于八進(jìn)制的基數(shù)為8,而8=23,因此,1位八進(jìn)制數(shù)剛好換成3位二進(jìn)制數(shù)。同樣,十六進(jìn)制的基數(shù)為16,而16=24,因此,1位十六進(jìn)制數(shù)剛好換成4位二進(jìn)制數(shù)。

二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制,可將二進(jìn)制數(shù)以小數(shù)點(diǎn)為基點(diǎn),分別向左和向右“每3位為一組,不夠添0”,直接將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制。

二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制,可將二進(jìn)制數(shù)以小數(shù)點(diǎn)為基點(diǎn),分別向左和向右“每4位為一組,不夠添0”,直接將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制。

例1-6

將二進(jìn)制數(shù)(11101.01)2轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。得(7A3F.2C)16=(111101000111111.001011)2由以上討論可看出,二進(jìn)制數(shù)位數(shù)多時(shí)不便于書寫和記憶,如采用八進(jìn)制、十六進(jìn)制,則位數(shù)要少得多,如32位二進(jìn)制數(shù)只需8位十六進(jìn)制數(shù)即可表示。表1-2給出了幾種不同進(jìn)制的對(duì)應(yīng)關(guān)系。1.1.3二進(jìn)制碼

1.二-十進(jìn)制碼(BCD碼)

用4位二進(jìn)制數(shù)碼來表示1位十進(jìn)制數(shù)的編碼方式稱為二-十進(jìn)制碼,亦稱BCD(BinaryCodedDecimal)碼。BCD碼分為有權(quán)碼和無權(quán)碼,有權(quán)碼是指二進(jìn)制數(shù)碼的每一位都有固定的權(quán)值,所代表的十進(jìn)制數(shù)為每位二進(jìn)制數(shù)加權(quán)之和,而無權(quán)碼無需加權(quán)。無論是有權(quán)碼還是無權(quán)碼,4位二進(jìn)制數(shù)碼共有16種組合,而十進(jìn)制數(shù)碼僅有0～9這10個(gè)數(shù),因此,BCD碼是利用4位二進(jìn)制數(shù)碼編出1個(gè)十進(jìn)制數(shù)的代碼,表1-3列出了常用的二-十進(jìn)制編碼。

1）8421碼

8421碼是使用最多的有權(quán)BCD碼,因?yàn)樗?位二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的權(quán)為8、4、2、1,所以稱為8421BCD碼。它是取了自然二進(jìn)制數(shù)的前10個(gè)數(shù)碼來對(duì)應(yīng)十進(jìn)制的0～9,即0000(0)～1001(9)。如果要求8421BCD碼,只需將每位二進(jìn)制數(shù)加權(quán)求和。如

(0101)8421BCD=0×8+1×4+0×2+1×1=5

2）2421和5421碼

2421和5421碼也是有權(quán)碼,其名稱即為二進(jìn)制的權(quán)。其中2421碼的編碼順序有兩種：2421(A)和2421(B)碼。2421(B)碼具有互補(bǔ)性,即0和9、1和8、2和7、3和6、4和5互為反碼。

3）余3碼

余3碼是一種無權(quán)碼,它是由8421碼加0011得來的。即用0011～1100來表示十進(jìn)制0～9這10個(gè)數(shù)。它比對(duì)應(yīng)的8421碼都多3,所以稱為余3碼。這種代碼也具有互補(bǔ)性,很適用于加法運(yùn)算。

4）余3循環(huán)碼和格雷碼

余3循環(huán)碼和格雷碼這兩種碼也是無權(quán)碼,又稱循環(huán)碼。它們的特點(diǎn)是兩組相鄰數(shù)碼之間只有一位代碼取值不同,利用這個(gè)特性,可避免計(jì)數(shù)過程中出現(xiàn)瞬態(tài)模糊狀態(tài),常用于高分辨率設(shè)備中。

2.ASCII碼

ASCII碼全名為美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)碼,是一種現(xiàn)代字母數(shù)字編碼。ASCII碼采用7位二進(jìn)制數(shù)碼來對(duì)字母、數(shù)字及標(biāo)點(diǎn)符號(hào)進(jìn)行編碼,用于與微型計(jì)算機(jī)之間讀取和輸入信息。表1-4給出了ASCII碼中對(duì)應(yīng)26個(gè)英文字母的編碼表,完整的ASCII碼表可參看書末附錄C。

1.2邏輯函數(shù)

1.2.1邏輯變量與邏輯函數(shù)

一件事物的因果關(guān)系一定具有某種內(nèi)在的邏輯規(guī)律,即存在著邏輯關(guān)系。事物的原因即為這種邏輯關(guān)系的自變量,稱為邏輯變量。而由原因所引起的結(jié)果則是這種邏輯關(guān)系的因變量,稱為邏輯函數(shù)。

19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家喬治·布爾首先提出了用代數(shù)的方法來研究、證明、推理邏輯問題,產(chǎn)生了邏輯代數(shù)。和普通代數(shù)一樣,邏輯代數(shù)也用A、B等字母表示變量及函數(shù),所不同的是,在普通代數(shù)中,變量的取值可以是任意實(shí)數(shù),而在邏輯代數(shù)中,每一個(gè)變量只有0、1兩種取值,因而邏輯函數(shù)也只能有0和1兩種取值。在邏輯代數(shù)中,0和1不再具有數(shù)量的概念,僅是代表兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)的符號(hào)。

任何事物的因果關(guān)系均可用邏輯代數(shù)中的邏輯關(guān)系表示,這些邏輯關(guān)系也稱邏輯運(yùn)算。1.2.2基本邏輯關(guān)系

基本的邏輯關(guān)系有三種,即與邏輯、或邏輯、非邏輯;與之相對(duì),在邏輯代數(shù)中,基本的邏輯運(yùn)算也有三種：與運(yùn)算、或運(yùn)算、非運(yùn)算。

1.與邏輯

與邏輯的邏輯關(guān)系為所有原因均滿足條件時(shí)結(jié)果成立。在邏輯代數(shù)中,與邏輯又稱邏輯乘。如圖1-1所示用兩個(gè)串聯(lián)開關(guān)控制一盞燈電路,很顯然,若要燈亮,則兩個(gè)開關(guān)必須全都閉合。如有一個(gè)開關(guān)斷開,燈就不亮。如用A和B分別代表兩個(gè)開關(guān),并假定閉合時(shí)記為1,斷開時(shí)記為0,F代表燈,亮為1,滅為0,則這一邏輯關(guān)系可用表1-5表示。此表是將A、B兩個(gè)變量的所有變化組合的值及對(duì)應(yīng)的F值依次列出,稱為真值表。圖1-1與邏輯電路圖

2.或邏輯

或邏輯的邏輯關(guān)系為所有原因中的一個(gè)原因滿足條件時(shí)結(jié)果就成立。在邏輯代數(shù)中,或邏輯又稱邏輯加。圖1-2所示的是用兩個(gè)并聯(lián)開關(guān)控制一盞燈的電路,為或邏輯電路?？煽闯?兩個(gè)開關(guān)中只要有一個(gè)閉合,燈就亮;如果想要燈滅,則兩個(gè)開關(guān)必須全部斷開。同樣列出或邏輯關(guān)系的真值表見表1-6,由表中可得,或邏輯為：輸入有1,輸出為1;輸入全0,輸出為0。或邏輯的函數(shù)表達(dá)式為

F=A+B

(1-6)

其中,“+”為邏輯加符號(hào)。邏輯加的運(yùn)算規(guī)則是

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=1

3.非邏輯

非邏輯的邏輯關(guān)系是結(jié)果總是與原因相反,即只要原因滿足條件,則結(jié)果就不成立。例如圖1-3所示控制燈電路,圖中開關(guān)與燈的狀態(tài)是相反的,開關(guān)閉合,燈就滅,如果想要燈亮,則開關(guān)要斷開。非邏輯真值表見表1-7,由表中可得非邏輯為：輸入為0,輸出為1;輸入為1,輸出為0。非邏輯的函數(shù)表達(dá)式為(1-7)

邏輯非的運(yùn)算規(guī)則是1.2.3邏輯代數(shù)基本定律

根據(jù)邏輯變量和邏輯運(yùn)算的基本定義,可得出邏輯代數(shù)基本定律。

1.0一1律

0+A=A

(1-8)

0·A=0

(1-9)

1+A=1

(1-10)

1·A=1

(1-11)

2.重疊律

A+A=A

(1-12)

A·A=A

(1-13)

3.互補(bǔ)律

A+

=1

(1-14)

A·

=0

(1-15)

4.交換律

A+B=B+A

(1-16)

A·B=B·A

(1-17)

5. 結(jié)合律

A+(B+C)=(A+B)+C(1-18)

A·(B·C)=(A·B)·C

(1-19)

6.分配律A·(B+C)=A·B+A·C

(1-20)A+B·C=(A+B)·(A+C)

(1-21)

7.否定律

(1-22)

8.反演律(摩根定律)

(1-23)

(1-24)

9.吸收律

A+AB=A

(1-25)

A·(A+B)=A

(1-26)吸收律是經(jīng)前面基本公式推導(dǎo)而得的,除以上介紹的兩個(gè)之外,還有如下三個(gè)也是常用的吸收律基本公式。

(1-27)

(1-28)

(1-29)

證明上述各定律可用列真值表的方法,即分別列出等式兩邊邏輯表達(dá)式的真值表,若兩個(gè)真值表完全一致,則表明兩個(gè)表達(dá)式相等,定律得證。當(dāng)然,也可以利用基本關(guān)系式進(jìn)行代數(shù)證明。例1-9

證明反演律。

證利用真值表證明,將等式兩端列出真值表,如表1-8所示,由表可知,在邏輯變量A、B所有的可能取值中,和的函數(shù)值均相等,所以等式成立。例1-10

證明A+AB=A+B。

證左式=(A+A)(A+B)

=1·(A+B)

=右式

例1-11

證明AB+AC+BC=AB+AC。

證左式=AB+AC+BC(A+A)

=AB+AC+ABC+ABC

=AB(1+C)+AC(1+B)

=右式1.2.4邏輯代數(shù)基本規(guī)則

邏輯代數(shù)中有三個(gè)重要的基本規(guī)則,即代入規(guī)則、反演規(guī)則及對(duì)偶規(guī)則,這些規(guī)則在邏輯代數(shù)證明和化簡中應(yīng)用。

1.代入規(guī)則

在邏輯函數(shù)表達(dá)式中,將凡是出現(xiàn)某變量的地方都用同一個(gè)邏輯函數(shù)代替,則等式仍然成立,這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。

例如,已知A+AB=A,將等式中所有出現(xiàn)A的地方都代入函數(shù)C+D,則等式仍然成立,即(C+D)+(C+D)B=(C+D)。

2.反演規(guī)則

將邏輯函數(shù)F的表達(dá)式中所有“·”變成“+”,所有“+”變成“·”,所有“0”變成“1”,所有“1”變成“0”;所有“原變量”變成“反變量”,所有“反變量”變成“原變量”,所得的函數(shù)式就是。這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則。

例如,

,則根據(jù)反演規(guī)則,。當(dāng)然,如果利用反演律將F等式兩邊同時(shí)求反也可得到F

。

使用反演規(guī)則時(shí)應(yīng)注意保持原函數(shù)中的運(yùn)算順序,即上式不能寫成。

3.對(duì)偶規(guī)則

將邏輯函數(shù)F

的表達(dá)式中所有“·”變成“+”,所有“+”變成“·”;所有“0”變成“1”,所有“1”變成“0”,則得到一個(gè)新的邏輯函數(shù)F′,F′稱為F的對(duì)偶式。對(duì)偶規(guī)則為：若某個(gè)邏輯恒等式成立,則它的對(duì)偶式也成立。

例如F=A+BC,則其對(duì)偶式F′=A(B+C)。使用對(duì)偶規(guī)則時(shí)也應(yīng)注意保持原函數(shù)中的運(yùn)算順序。1.2.5邏輯函數(shù)的代數(shù)變換與化簡

1.邏輯函數(shù)的變換

由前面討論可知,一個(gè)邏輯函數(shù)確定以后,其表示邏輯關(guān)系的真值表是唯一的,但我們可以利用邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行變換。

例如,

與或式

與非-與非式

或與式

或非-或非式

與或非式

2.邏輯函數(shù)的化簡

1）最簡與或式

對(duì)于與或式,在不改變其邏輯功能的情況下,如果滿足：

(1)含的乘積項(xiàng)個(gè)數(shù)最少,

(2)每個(gè)乘積項(xiàng)中所含的變量個(gè)數(shù)最少,

則這個(gè)與或式便是最簡與或式。如何才能得到一個(gè)邏輯函數(shù)的最簡與或式呢？這就需要對(duì)邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡。

2）代數(shù)法化簡

代數(shù)法化簡就是利用學(xué)過的公式和定理消除與或式中的多余項(xiàng)和多余因子,常見的方法如下：

(1)并項(xiàng)法：利用公式

+A=1,將兩乘積項(xiàng)合并為一項(xiàng),并消去一個(gè)互補(bǔ)(相反)的變量。如

(2)吸收法：利用公式A+AB=A吸收多余的乘積項(xiàng)。如

(3)消去法：利用公式A+A

B=A+B消去多余因子A;利用公式AB+AC+BC=AB+AC消去多余項(xiàng)BC。如又如

(4)配項(xiàng)法：利用公式A+A=A,A+A=1及AB+A+BC=AB+AC等,給某函數(shù)配上適當(dāng)?shù)捻?xiàng),進(jìn)而可以消去原函數(shù)式中的某些項(xiàng)。例1-12

化簡函數(shù)F=AB+BC+BC+AB。分析表面看來似乎無從下手,好像該式不能化簡,已是最簡式。但如果采用配項(xiàng)法,則可以消去一項(xiàng)。方法1方法2

若前兩項(xiàng)配項(xiàng),后兩項(xiàng)不動(dòng),則例1-13

化簡函數(shù)

。解配上前兩項(xiàng)的冗余項(xiàng)AD,對(duì)原函數(shù)并無影響。公式法化簡要求必須熟練應(yīng)用基本公式和常用公式,而且有時(shí)需要有一定的經(jīng)驗(yàn)與技巧,尤其是所得到的結(jié)果是否最簡往往難以判斷,這就給初學(xué)者應(yīng)用公式進(jìn)行化簡帶來一定的困難。為了解決這一問題,可采用卡諾圖化簡法。

1.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

1.3.1邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式

1.最小項(xiàng)定義及性質(zhì)

1)最小項(xiàng)

在n變量的邏輯函數(shù)中,若其與或表達(dá)式的乘積項(xiàng)包含了n個(gè)因子,且n個(gè)因子均以原變量或反變量的形式在乘積項(xiàng)中出現(xiàn)一次,則稱這樣的乘積項(xiàng)為邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。

例如三變量的邏輯函數(shù)A,B,C可以組成很多種乘積項(xiàng),但符合最小項(xiàng)定義的、、、、、、ABC等8項(xiàng),這8項(xiàng)即稱為這個(gè)邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。可以證明,n變量邏輯函數(shù)共有2n個(gè)最小項(xiàng)。為了方便起見,常用最小項(xiàng)編號(hào)mi的形式表示最小項(xiàng),其中m代表最小項(xiàng),i表示最小項(xiàng)的編號(hào)。i是n變量取值組合排成二進(jìn)制所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù),若變量以原變量形式出現(xiàn)視為1,以反變量形式出現(xiàn)視為0。例如

記為m0,記為m1,記為m2等。表1-9給出了三變量的最小項(xiàng)編號(hào)。

2)最小項(xiàng)的性質(zhì)

(1)在輸入變量的任何取值下,必須有一個(gè),而且僅有一個(gè)最小項(xiàng)取值為1。

(2)在輸入變量的任何一組取值下,全體最小項(xiàng)之和為1。

(3)在輸入變量的任何一組取值下,任意兩最小項(xiàng)之積為0。

(4)若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子不同,則稱它們?yōu)橄噜徸钚№?xiàng)。相鄰最小項(xiàng)合并(相加),可消去相異因子。

2.最小項(xiàng)表達(dá)式

利用邏輯代數(shù)的基本定律,可以將任何一個(gè)邏輯函數(shù)變換成最基本的與或表達(dá)式,其中的與項(xiàng)均為最小項(xiàng)。這個(gè)基本的與或表達(dá)式稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。如

Y=AB+BC=ABC+ABC+A

BC

為了簡便,可將上式記為Y(A,B,C)=m6+m7+m3=∑m(3,6,7)例1-14

將邏輯函數(shù)F(A,B,C)=AB+AC化為最小項(xiàng)表達(dá)式。解F(A,B,C)=A

B+AC

一般與或式

=AB(C+C)+AC(B+B)配項(xiàng)法

=ABC+ABC+ABC+ABC

標(biāo)準(zhǔn)與或式

=m2+m3+m5+m7

=∑m(2,3,5,7)簡化最小項(xiàng)表達(dá)式1.3.2邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

1.最小項(xiàng)卡諾圖

卡諾圖是邏輯函數(shù)的圖形表示法。這種方法是將n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)填入具有2n個(gè)小方格的圖形中,其填入規(guī)則是使相鄰最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰。所得到的圖形稱為n變量最小項(xiàng)的卡諾圖,簡稱卡諾圖。圖1-4為二、三、四變量的卡諾圖。圖1-4二、三、四變量卡諾圖(a)二變量;(b)三變量;(c)四變量

2.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

因?yàn)槿魏芜壿嫼瘮?shù)均可寫成最小項(xiàng)表達(dá)式,而每個(gè)最小項(xiàng)又都可以表示在卡諾圖中,故可用卡諾圖來表示邏輯函數(shù)。

卡諾圖表示邏輯函數(shù)是將邏輯函數(shù)化為最小項(xiàng)表達(dá)式,然后在卡諾圖上將式中所包含的最小項(xiàng)在所對(duì)應(yīng)的小方格內(nèi)填上１,其余位置上填上０或空著,得到的即為邏輯函數(shù)的卡諾圖。

例1-15

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)F(A,B,C)=∑m(2,3,5,7)。

解這是一個(gè)三變量邏輯函數(shù),n=3,先畫出三變量卡諾圖。由于已知F是標(biāo)準(zhǔn)的最小項(xiàng)表達(dá)式,因此在對(duì)應(yīng)卡諾圖中2、3、5、7號(hào)小方格中填1,其余小方格不填,即畫出了F的卡諾圖,如圖1-5所示。圖1-5例1-15卡諾圖例1-16

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)F=(AB+AB)C+BCD+BCD+AB

CD。圖1-6例1-16卡諾圖解這是一個(gè)四變量邏輯函數(shù),n=4,先畫出四變量卡諾圖。由于已知F不是標(biāo)準(zhǔn)的最小項(xiàng)表達(dá)式,因此先將其變成最小項(xiàng)表達(dá)式,再填入卡諾圖,如圖1-6所示。1.3.3用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

1.化簡法依據(jù)

在卡諾圖中幾何相鄰的最小項(xiàng)在邏輯上也有相鄰性,這些相鄰最小項(xiàng)有一個(gè)變量是互補(bǔ)的,即將它們相加,可以消去互補(bǔ)變量,這就是卡諾圖化簡的依據(jù)。如果有兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并,則可消去一個(gè)互補(bǔ)變量,有四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并,則可消去兩個(gè)互補(bǔ)變量,有2n個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并,則可消去n個(gè)互補(bǔ)變量,圖1-7～1-9分別給出了2個(gè)、4個(gè)、8個(gè)最小項(xiàng)相鄰格合并的情況。圖1-7兩個(gè)相鄰格合并(a)BC;(b)AC;(c)AC;(d)BCD;(e)ABD;(f)ABC;(g)BCD圖1-8四個(gè)相鄰格合并(a)C;(b)A;(c)C;(d)CD;(e)BD;(f)AC;(g)B

D圖1-9八個(gè)相鄰格合并(a)1;(b)B;(c)B;(d)D

2.化簡方法

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的步驟如下：

(1)將邏輯函數(shù)填入卡諾圖中,得到邏輯函數(shù)卡諾圖。

(2)找出可以合并(即幾何上相鄰)的最小項(xiàng),并用包圍圈將其圈住。

(3)合并最小項(xiàng),保留相同變量,消去相異變量。

(4)將合并后的各乘積項(xiàng)相或,即可得到最簡與或表達(dá)式。例1-17

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)解

(1)畫出給定邏輯函數(shù)的卡諾圖,如圖1-10所示。

(2)合并最小項(xiàng)?？蓪2,m6,m14,m10合并得CD;m7,m15,m6,m14合并得BC;m5,m7合并得ABD;m0,m2合并得A

BD;m9不能合并,仍保留。

(3)寫出最簡與或表達(dá)式

例1-18

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)圖1-10例1-17卡諾圖

解

(1)寫出標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式

(2)畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖,如圖1-11所示。

(3)合并最小項(xiàng)。

(4)寫出最簡與或表達(dá)式F=BC+AC+AB圖1-11例1-18卡諾圖1.3.4具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)化簡

1.邏輯函數(shù)中的無關(guān)項(xiàng)

在實(shí)際邏輯關(guān)系中經(jīng)常會(huì)遇