高中數(shù)學復習專題22：雙曲線的漸近線問題

第第頁參考答案1．A【分析】本題首先可以結(jié)合題意繪出雙曲線的圖像，然后根據(jù)得出，根據(jù)雙曲線的定義得出，再然后根據(jù)得出以及，根據(jù)得出，最后將點坐標代入雙曲線中，通過化簡即可得出結(jié)果.【解析】設為雙曲線的下焦點，為雙曲線的上焦點，繪出雙曲線的圖像，如圖，過點作于點,因為，所以，，因為，所以，因為雙曲線上的點到原點的距離為，即，且，所以，，故，，因為，所以，，將代入雙曲線中，即，化簡得，，，，，解得或（舍去），，，則該雙曲線的漸近線方程為，故選：A.【點評】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，考查雙曲線定義以及等面積法的靈活應用，考查計算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，體現(xiàn)了綜合性，是難題.2．B【分析】作出圖形，可知與拋物線相切時，取得最小值，求出點的坐標，利用雙曲線定義求出2a，結(jié)合，可求得，再利用求得結(jié)果.【解析】由拋物線的對稱性，設為拋物線第一象限內(nèi)點，如圖所示：故點作垂直于拋物線的準線于點B，由拋物線的定義知，易知軸，可得當取得最大值時，取得最小值，此時與拋物線相切，設直線方程為：，聯(lián)立，整理得，其中，解得：，由為拋物線第一象限內(nèi)點，則則，解得：，此時，即或所以點的坐標且由題意知，雙曲線的左焦點為，右焦點為設雙曲線的實軸長為2a，則，，又，則故漸近線斜率的平方為故選：B【點評】本題考查求雙曲線的漸近線斜率，方法如下：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用漸近線的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．3．B【分析】由同起點的向量做加法想到平行四邊形法則，從而取的中點E，由已知可知，由三線合一知三角形為等腰三角形，再由余弦的定義表示的余弦值，又由雙曲線的定義表示，最后在中，由余弦定理構(gòu)建方程，求得，將其代入漸近線方程，得答案.【解析】取線段的中點E，連接，因為，所以，故三角形為等腰三角形，且．在中，，連接，又，點Q在雙曲線C上，所以由雙曲線的定義可得，，故．在中，由余弦定理得，．整理可得，所以，故雙曲線C的漸近線方程為．故選：B【點評】本題考查由幾何關(guān)系求雙曲線的漸近線，由余弦定理構(gòu)建方程，還考查了平面向量加法的平行四邊形法則和垂直關(guān)系，屬于難題.4．D【分析】由M是三角形外心可得，根據(jù)圓周角與圓心角關(guān)系得∠F1PF2＝，根據(jù)余弦定理、雙曲線的定義得，由三角形面積公式，即可確定的數(shù)量關(guān)系，寫出漸近線方程即可.【解析】由△PF1F2的外心M，知：，∴在△中，，即，故∠F1PF2＝，在△中，，而，∴，即，∴，而，∴由題意知：，故雙曲線的漸近線方程為：．故選：D．【點評】關(guān)鍵點點睛：利用外接圓的性質(zhì)求∠F1PF2，由余弦定理、雙曲線的定義及三角形面積公式求焦點三角形的面積，進而確定雙曲線參數(shù)的數(shù)量關(guān)系.5．C【分析】設點的坐標為，由于為定值，由正弦定理可知當取得最大值時，的外接圓面積取得最小值，也等價于取得最大值，利用兩角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，將點代入雙曲線計算得到答案.【解析】根據(jù)雙曲線的對稱性不妨設點的坐標為，由于為定值，由正弦定理可知當取得最大值時，的外接圓面積取得最小值，也等價于取得最大值，，，，當且僅當，即當時，等號成立，此時最大，此時的外接圓面積取最小值，點的坐標為，代入，可得，即，即．所以雙曲線的漸近線方程為：．故選：C【點評】本題考查了求雙曲線漸近線方程，及利用基本不等式求最值，解題時先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c及漸近線之間的關(guān)系，求出的值即可，考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題6．C【分析】如圖所示：切點為，連接，作軸于，計算，，，，根據(jù)勾股定理計算得到答案.【解析】如圖所示：切點為，連接，作軸于，，故，在中，，故，故，，根據(jù)勾股定理：，解得.故選：.【點評】本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.7．A【分析】由雙曲線的定義和內(nèi)切圓的性質(zhì)：圓外一點向圓引切線，則切線長相等，結(jié)合雙曲線的定義，可求出漸進線方程.【解析】如圖所示：設分別為三邊與其內(nèi)切圓的切點，圓心為.已知≌，≌,≌.即由雙曲線的定義有：.則.所以,即.又.所以，又，解得.雙曲線的漸近線方程為：.故選：A【點評】本題考查雙曲線的定義、性質(zhì)和漸進線方程，考查圓的切線性質(zhì)，屬于中檔題.8．A【分析】設，得到，聯(lián)立方程組，求得的坐標，結(jié)合向量的數(shù)量積的運算，即可求解．【解析】設點，則，即，由雙曲線的漸近線方程為，則由，解得，由，解得，所以，所以．故選：A．【點評】本題主要考查了雙曲線的標準方程及性質(zhì)，以及向量的數(shù)量積的運算，其中解答中根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，求得A、B的坐標，結(jié)合向量的數(shù)量積的公式，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．9．B【分析】設直線的方程為，則直線的方程為，設點、，則點，利用，可得出，解出即可.【解析】設直線的方程為，則直線的方程為，設點、，則點，，，，即，即，，解得，故選B.【點評】本題考查雙曲線離心率的求解，同時也涉及到漸近線方程，在求解離心率時，充分利用公式可簡化計算，考查運算求解能力，屬于中等題.10．A【分析】設圓與的三邊、、分別相切于點，連接,，，可看作三個高均為圓半徑的三角形利用三角形面積公式，代入已知式，化簡可得，再結(jié)合雙曲線的定義與漸近線方程可得所求．【解析】如圖，設圓與的三邊、、分別相切于點，連接，則，，，它們分別是，，的高，，，，其中是的內(nèi)切圓的半徑．，，兩邊約去得：，，根據(jù)雙曲線定義，得，，，，，可得雙曲線的漸近線方程為,即為，故選A．【點評】本題主要考查雙曲線的定義以及雙曲線的漸近線，著重考查了雙曲線的基本性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，屬于中檔題．解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.11．D【解析】分析：先根據(jù)三角形切的關(guān)系化簡條件得,再通過坐標關(guān)系表示，最后根據(jù)點C在雙曲線上化簡得a,b關(guān)系，即得雙曲線的漸近線的方程.詳解：因為中所以設C(x,y),所以因此雙曲線的漸近線的方程為選D.點睛：熟記一些常用結(jié)論或方法：1.已知雙曲線方程求漸近線：2.中12．B【解析】，由雙曲線的對稱性知在軸上，設，由，得，則，又到直線的距離小于，則，解得，則雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是，故選B.13．A【解析】如圖所示，，設則菱形的面積為則，即漸近線的方程為，故雙曲線的漸近線方程為選A14．C【解析】，故，即，故點為線段的中點，連接，則為的中位線，且，故，且，故點在雙曲線的右支上，，則在中，由勾股定理可得，，即，解得，故，故雙曲線的漸近線方程為，故選C.【方法點晴】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.本題中，利用雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，以及構(gòu)造的齊次式，從而可求出漸近線的斜率，進而求出漸近線方程的.15．B【解析】設拋物線與雙曲線的一個交點為，因為拋物線的焦點為，且，所以，解得，則該雙曲線的漸近線方程為，即；故選B.點睛：在處理拋物線上的點到焦點的距離時，要注意利用拋物線的定義將拋物線上點到焦點的距離和到準線的距離進行互化；已知雙曲線方程求漸近線方程，學生往往記不清漸近線方程的形式，記住以下結(jié)論即可，雙曲線的漸近線方程為.16．C【解析】試題分析：因為過作圓的切線分別交雙曲線的左右兩支于點，且，所以，設切點為，則利用三角形的相似可得，所以，所以，代入雙曲線的方程，整理可得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選C.考點：雙曲線的幾何性質(zhì).【方法點晴】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，其中解答中涉及到雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質(zhì)的應用，相似三角形、以及雙曲線的漸近線的方程的求解等知識點的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，本題的解答中根據(jù)相似三角形，列出比例關(guān)系式，得到點的坐標是解答的關(guān)鍵，試題運算較大，屬于中檔試題.17．【分析】取特殊位置軸，此時，，，將代入拋物線得，所以，，可得，分別討論，，可得，進而可求得漸近線方程為.【解析】如圖：因為恒成立，取特殊位置軸時，此時，所以，在中，，雙曲線中，，將代入雙曲線方程得，整理可得：，取點位于第一象限，所以，則，所以，當時，，，此時不符合題意，故不成立，當時，，，此時不符合題意，故不成立，當時，，所以，即，可得，所以，所以，，所以雙曲線的漸近線方程為，故答案為：【點評】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是去特殊位置軸時，可得計算其正切值可得，經(jīng)過討論求出離心率.18．【分析】設,求出直線的方程,分別與聯(lián)立,進而求出的坐標,根據(jù)兩點間的距離公式,求出,則可求的值.【解析】解:設則，即.由題意知直線分別與平行則.所以,將直線與聯(lián)立得,解得將直線與聯(lián)立得,解得即,.所以,所以.故答案為:.【點評】本題考查了兩點間的距離求解,考查了圓錐曲線的綜合計算.本題的難點及易錯點在于計算.對于此類填空題,有一個技巧可能會減少運算量,即已知點是曲線上的任意一點,不妨設該點是特殊點,如頂點,可減少運算量.19．【分析】根據(jù)，可知，即為直角三角形.利用雙曲線的定義，題意所給已知條件，和