江蘇無錫市湖濱中學2024-2025學年高一（上）數學第13周階段性訓練模擬練習【含答案】

江蘇無錫市湖濱中學2024-2025學年高一（上）數學第13周階段性訓練模擬練習一．選擇題（共7小題）1．已知函數，正實數a，b滿足f（2a﹣2）+f（b）＝0，則的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知函數，若關于x的方程f2（x）﹣（a+8）f（x）﹣a＝0有6個不同的實數根，則實數a的取值范圍為（）A． B． C．（﹣4，0） D．3．若關于x的方程有四個不同的實數解，則k的取值范圍為（）A．（0，1） B． C． D．（1，+∞）4．已知函數，則f（x）的單調遞減區(qū)間為（）A．[2，3） B．（﹣∞，2] C．（1，2] D．[2，+∞）5．已知函數y＝ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）的圖象恒過點P（m，n），正實數p，q滿足mp+nq＝1，則的最小值是（）A．9 B．12 C．3 D．66．已知偶函數f（x）在（﹣∞，0]上是增函數，，則a，b，c的大小關系為（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．設函數f（x）＝1﹣ex，g（x）＝ln（ax2﹣4x+3），其中e是自然對數的底數，若對任意x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），則實數a的最大值為（）A．0 B．1 C． D．二．多選題（共5小題）（多選）8．已知函數y＝f（x），對于任意x，y∈R，＝f（x﹣y），則（）A．f（0）＝1 B．f（x2）＝2f（x） C．f（x）＞0 D．≥f（）（多選）9．已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，，若關于x的方程[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）恰有4個不相等的實數根，則這4個實數根之和為（）A．4 B．﹣4 C．﹣8 D．8（多選）10．已知函數則下列說法正確的是（）A．不等式f（x）＞x+1的解集為 B．當時，f（x）的取值范圍為 C．若關于x的方程f（x）＝t有三個不同實數根x1，x2，x3，則1＜x1+x2+x3＜log23 D．令g（x）＝f2（x）﹣f（x）+c，不存在常數c，使得g（x）恰有5個零點（多選）11．已知a，b，c是實數，則下列不等關系的表述，一定正確的有（）A． B．若ab≠0，則 C．若a＜b，則 D．若a＜b，c＜0．則（多選）12．已知函數f（x）＝，若方程f（x）＝k（k∈R）有四個不同的實數解，它們從小到大依次記為x1，x2，x3，x4，則（）A．0＜k＜1 B．x1+x2＝﹣1 C． D．三．填空題（共3小題）13．已知定義在R上的函數f（x）滿足f（x+4）＝f（x），且當x∈[0，4）時，f（x）＝2x+m，若f（2023）＝3f（1），則m＝．14．已知f（x）＝ax﹣1，g（x）＝x2+bx﹣5（a＞0，b∈R）．當a＝2時，f（x）＝g（x）的兩根為x1，x2，則|x1﹣x2|的最小值為；當x＞0時，f（x）?g（x）≥0恒成立，則的最小值為．15．已知定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足f（xy）＝f（x）+f（y），當x＞1時，f（x）＜0，且f（2）＝﹣2，則不等式f（x﹣2）+f（x+4）+8＞0的解集為．四．解答題（共4小題）16．已知f（x）＝loga（a＞0，且a≠1）．（1）求函數f（x）的定義域；（2）當x∈（﹣t，t]（其中t∈（﹣1，1），且t為常數）時，f（x）是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，請說明理由；（3）當a＞1時，求滿足f（x﹣2）+f（4﹣3x）≥0的實數x的取值范圍．17．已知函數是定義在R上的奇函數．（1）求實數a，b的值；（2）判斷并證明函數f（x）的單調性；（3）對任意t∈[1，e]，關于t的不等式f[（lnt）2﹣ln（et2）]+f（k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．18．已知函數y＝f（x），若對于其定義域D中任意給定的實數x，都有，就稱函數y＝f（x）滿足性質P．（1）已知f（x）＝2x+1，判斷y＝f（x）是否滿足性質P，并說明理由；（2）若y＝f（x）滿足性質P，且定義域為（0，+∞）．①已知x∈（0，1）時，，求函數f（x）的解析式并指出方程f（x）＝255是否有正整數解？請說明理由；②若f（x）在（0，1）上單調遞增，證明：f（x）在（1，+∞）上單調遞增．19．已知函數f（x）＝2x﹣4x，x∈[﹣2，1]．（1）求f（x）的值域；（2）若對?x∈[﹣2，1]，不等式f（x）＞2﹣m?2x恒成立，求實數m的取值范圍．參考答案與試題解析一．選擇題（共7小題）1．【解答】解：∵，定義域為R，∴f（﹣x）+f（x）＝lg（）+lg（﹣x）＝0，故函數f（x）關于（0，0）對稱，又f（x）在R上嚴格遞增，f（2a﹣2）+f（b）＝0，∴2a+b﹣2＝0，即2a+b＝2，∴＝＝＝+2≥4，當且僅當且2a+b＝2，即a＝，b＝1時等號成立，故選：B．2．【解答】解：令t＝f（x），作出函數t＝f（x）的圖象如下圖所示：因為關于x的方程f2（x）﹣（a+8）f（x）﹣a＝0有6個不同的實數根，則關于t的方程t2﹣（a+8）t﹣a＝0在（1，3]內有兩個不等的實根，設g（t）＝t2﹣（a+8）t﹣a，則函數g（t）＝t2﹣（a+8）t﹣a在（1，3]內有兩個不等的零點，所以，，解得．故選：A．3．【解答】解：要使方程有四個不同的實數解，當x＝0時，是方程的1個根，所以只要方程有3個不同的實數解，變形得＝，設函數g（x）＝，如圖所以只要0＜＜4即可，所以k＞；故選：C．4．【解答】解：根據題意，設t＝﹣x2+4x﹣3，則y＝，有t＝﹣x2+4x﹣3＞0，解可得1＜x＜3，即函數的定義域為（1，3），在區(qū)間（1，2]上，t＝﹣x2+4x﹣3為增函數，區(qū)間（2，3）上，t＝﹣x2+4x﹣3為減函數，y＝在（0，+∞）上為減函數，則f（x）的單調遞減區(qū)間為（1，2]．故選：C．5．【解答】解：根據題意，∵函數y＝ax﹣1+3（a＞0，且a≠1）恒過（1，4），∴m＝1，n＝4，∴p+4q＝1，又p＞0，q＞0，∴+＝+＝++4≥2+4＝6，當且僅當，即p＝q＝時等號成立，所以+的最小值為6．故選：D．6．【解答】解：因為偶函數f（x）在（﹣∞，0]上是增函數，所以f（x）在（0，+∞）上單調遞減，所以a＝f（﹣log25）＝f（log25），又3＞log25＞2＞20.7＞0，所以f（3）＜f（log25）＜f（20.7），故c＜a＜b．故選：A．7．【解答】解：因為f（x1）＝1﹣，x1∈[0，+∞），所以f（x1）∈（﹣∞，0]，又因為對任意x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），所以g（x2）的值域包含（﹣∞，0]，所以ax2﹣4x+3∈（0，k]（k≥1）．若a＝0，則﹣4x+3＞0，存在x＜；若a＜0，則，即，所以a＜0．若a＞0，則，即，所以0＜a≤．綜上所述：a≤．故選：C．二．多選題（共5小題）8．【解答】解：對于A，令x＝y＝0，則有1＝f（0），故正確；對于B，由已知＝f（x﹣y），可得f（x）＝f（y）f（x﹣y），所以f（x+y）＝f（x）f（y），①令f（x）＝ax（a＞0且a≠1）滿足題干要求，2f（x）＝2ax，f（x2）＝，則f（x2）≠2f（x），故B錯誤；對于C，由①可知：令x＝，y＝，則f（x）＝f（）f（）＝[f（）]2，又因為＝f（x﹣y），則f（）≠0，所以f（x）＝[f（）]2＞0，故C正確；對于D，因為f（x）＞0，所以f（x）+f（y）≥2＝2，又由①，令x＝y＝，則f（x+y）＝f（）f（）＝[f（）]2，所以≥f（），故D正確．故選：ACD．9．【解答】解：f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，，作出函數的圖象，如圖所示，設f（x）＝t，則關于x的方程[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）的方程等價于t2﹣（a+1）t+a＝0，解得：t＝a或t＝1，當t＝1時，即f（x）＝1對應一個交點為x1＝2，方程恰有4個不同的根，可分為兩種情況：（1），即對應3個交點，且x2+x3＝2，x4＝4，此時4個實數根之和為8；（2），即對應3個交點，且x2+x3＝﹣2，x4＝﹣4，此時4個實數根之和為﹣4，綜上，4個實數根之和為8或﹣4．故選：BD．10．【解答】解：作出函數的圖象如下．對于A．在同一坐標系中畫出f（x）和y＝x+1的圖象如下．聯立，得，所以不等式f（x）＞x+1的解集為，故A正確；對于B．由圖可知，函數f（x）在上單調遞增，在上單調遞減，又，所以f（x）的取值范圍為，故B錯誤；對于C．若關于x的方程f（x）＝t有三個不同實數根x1，x2，x3，即函數f（x）與函數y＝t有三個不同的交點，不妨設x1＜x2＜x3，如圖．其中x1+x2＝0，1＜x3＜log23，所以1＜x1+x2+x3＜log23，故C正確；對于D．g（x）＝f2（x）﹣f（x）+c，g（x）恰有5個零點令f（x）＝t，則h（t）＝t2﹣t+c，當h（t）＝t2﹣t+c只有1個零點時，設為t0，則方程f（x）＝t0有5個根，不可能；當h（t）＝t2﹣t+c有2個零點時，設為t1，t2，且t1＜t2，則f（x）＝t1和f（x）＝t2共有5個根，可得或若h（t）＝t2﹣t+c有一個零點是0，則另一個零點為1，不滿足，若h（t）＝t2﹣t+c有一個零點是1，則另一個零點為0，不滿足，故存在常數c，使得g（x）恰有5個零點，D正確．故選：ACD．11．【解答】解：對于A，∵＝≥0，當且僅當a＝b時，等號成立，∴，故A正確，對于B，，當且僅當|a|＝|b|時，等號成立，故B正確，對于C，令a＝﹣1，b＝1，滿足a＜b，但，故C錯誤，對于D，∵a＜b，c＜0，∴＞0，即，故D正確．故選：ABD．12．【解答】解：畫出函數f（x）與函數y＝k的圖像如下：f（x）在（﹣∞，﹣1]上單調遞減，值域[0，+∞）；在[﹣1，0）上單調遞增，值域[0，1）；在（0，e2]單調遞減，值域[0，+∞）；在[e2，+∞）單調遞增，值域[0，+∞）．則有x1+x2＝﹣2，lnx3﹣2+lnx4﹣2＝0，即x3x4＝e4，選項B判斷錯誤；方程f（x）＝k（k∈R）有四個不同的實數解，則有0＜k＜1，選項A判斷正確；由f（x）在（0，e2]上單調遞減，值域[0，+∞），f（e）＝|lne﹣2|＝1，f（e2）＝|lne2﹣2|＝0，可知e＜x3＜e2，選項C判斷正確；由x1＜x2＜0＜x3＜x4，可知x1x2x3x4＞0，又x1x2x3x4＝e4x1x2＝e4（﹣x1）（﹣x2）＜e4[]2＝e4，則有0＜x1x2x3x4＜e4，故選項D判斷正確．故選：ACD．三．填空題（共3小題）13．【解答】解：函數f（x）滿足f（x+4）＝f（x），則f（x）的周期為4，f（2023）＝f（3）＝8+m＝3（2+m），解得m＝1．故答案為：1．14．【解答】解：當a＝2時，方程f（x）＝g（x），即x2+（b﹣2）x﹣4＝0，則有x1+x2＝2﹣b，x1x2＝﹣4，，所以當b＝2時，|x1﹣x2|的最小值為4，此時b＝2滿足Δ＞0．當x＞0時，f（x）?g（x）＝（ax﹣1）（x2+bx﹣5）≥0恒成立，由a＞0，當0＜x＜2時，ax﹣1＜0，x2+bx﹣5≤0；當時，ax﹣1＞0，x2+bx﹣5≥0，是方程x2+bx﹣5＝0的根，即有，得，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為．故答案為：4；．15．【解答】解：由f（xy）＝f（x）+f（y）可得f（x﹣2）+f（x+4）＝f[（x+4）（x﹣2）]又f（2）＝﹣2，則f（16）＝f（4）+f（4）＝2f（2）+2f（2）＝4f（2）＝﹣8設任意x1，x2＞0，且x1＜x2，則，又當x＞1時，f（x）＜0，則即f（x1）＞f（x2），故函數f（x）在（0，+∞）上為減函數．則不等式f（x﹣2）+f（x+4）+8＞0，等價于，解得2＜x＜4，故答案為：（2，4）．四．解答題（共4小題）16．【解答】解：（1）由＞0得：﹣1＜x＜1，所以f（x）的定義域為（﹣1，1）．（2）設﹣1＜x1＜x2＜1，則＝，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，（1+x1）（1+x2）＞0，∴．當a＞1時，f（x1）＞f（x2），f（x）在（﹣1，1）上是減函數，又t∈（﹣1，1），所以x∈（﹣t，t]時，f（x）有最小值，且最小值為f（t）＝loga；當0＜a＜1時，f（x1）＜f（x2），f（x）在（﹣1，1）上是增函數，又t∈（﹣1，1），所以x∈（﹣t，t]時，函數f（x）沒有最小值．（3）由（1）及f（x﹣2）+f（4﹣3x）≥0，得f（x﹣2）≥﹣f（4﹣3x）＝f（3x﹣4），∵a＞1，∴f（x）在（﹣1，1）上是減函數，∴，解得1＜x＜，∴x的取值范圍是（1，）．17．【解答】解：（1）∵函數是定義在R上的奇函數，∴f（0）＝0，f（1）＝﹣f（﹣1），即，，解得a＝3，b＝1，此時，可得f（x）+f（﹣x）＝（﹣1）+（﹣1）＝（+﹣2）＝0，即a＝3，b＝1符合題意．（2）函數f（x）在R上單調遞減，證明如下：由（1）可得，f（x）＝＝＝，設x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）＝＝＞0，∴f（x1）＜f（x2），即函數f（x）在R上單調遞減．（3）對任意t∈[1，e]，關于t的不等式f[（lnt）2﹣ln（et2）]+f（k）＜0恒成立，且f（x）為單調遞減的奇函數，∴f[（lnt）2﹣ln（et2）]＜﹣f（k）＝f（﹣k），∴（lnt）2﹣ln（et2）＞﹣k，可得（lnt）2﹣2lnt﹣1＞﹣k對任意t∈[1，e]恒成立，令u＝lnt，由t∈[1，e]，可知u＝lnt∈[0，1]，可得g（u）＝u2﹣2u﹣1且g（u）的圖象開口向上，對稱軸為u＝1，則g（u）在[0，1]內單調遞減，可得g（u）在[0，1]內的最小值為g（1）＝﹣2，則﹣2＞﹣k，解得k＞2，∴實數k的取值范圍為（2，+∞）．18．【解答】解：（1）因為f（x）+f（）＝2x+1++1＝2x++2＝0不恒成立，所以y＝f（x