江蘇省南通市區(qū)、啟東市、通州區(qū)2022-2023學年高三上學期數(shù)學期末聯(lián)考試卷

江蘇省南通市區(qū)、啟東市、通州區(qū)2022-2023學年高三上學期數(shù)學期末聯(lián)考試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單選題1．已知集合A={x∈N∣?1<x<3}，A．{x∣?1<x≤3}C．{0，1} 2．(3A．?i B．2 C．1?3i 3．已知向量a=(2，?3)，bA．32 B．?32 C．24．已知一個正四棱臺形油槽可以裝煤油200L，若它的上?下底面邊長分別為60cm和40cm，則它的深度約為（）A．115cm B．79cm C．56cm D．26cm5．南通地鐵1號線從文峰站到南通大學站共有6個站點，甲?乙二人同時從文峰站上車，準備在世紀大道站?圖書館站和南通大學站中的某個站點下車，若他們在這3個站點中的某個站點下車是等可能的，則甲?乙二人在不同站點下車的概率為（）A．14 B．13 C．236．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不間斷，有下列四個命題：甲：f(x)是奇函數(shù)；乙：f(x)的圖象關(guān)于點(2，丙：f(22)=0丁如果有且僅有一個假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0A．22 B．7 C．6 D．8．已知a=e?1.A．c<a<b B．a(chǎn)<b<c C．a(chǎn)<c<b D．c<b<a二、多選題9．下列說法正確的是（）A．數(shù)據(jù)1，B．樣本相關(guān)系數(shù)r越大，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強C．若隨機變量ξ服從二項分布B(8，3D．若隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，1)10．已知函數(shù)f(x)=sinωx?3cosωx(A．ω=2B．點(?5π6，C．f(x)在(πD．將f(x)的圖象上所有的點向左平移π3個單位長度，可得到y(tǒng)=cos(2x?11．過直線l：2x+y=5上一點P作圓O：A．若直線AB∥l，則|AB|=B．cos∠APB的最小值為3C．直線AB過定點(D．線段AB的中點D的軌跡長度為512．已知在三棱錐P?ABC中，PA⊥PB，AB⊥BC，PA=PB=1，AB=BC，設二面角P?AB?C的大小為θ，M是PC的中點，當θ變化時，下列說法正確的是（）A．存在θ，使得PA⊥BCB．存在θ，使得PC⊥平面PABC．點M在某個球面上運動D．當θ=π2時，三棱錐P?ABC三、填空題13．(x2?x?2)5的展開式中14．若拋物線x2=12y上的一點P到坐標原點O的距離為27，則點P15．已知直線y=kx+b是曲線y=ln(1+x)與y=2+lnx的公切線，則k+b=.16．已知數(shù)列{an}滿足：an+1>an>0，an+12=a四、解答題17．已知數(shù)列{an（1）求證：{a（2）設數(shù)列{an}的前n項和為18．記△ABC中，角A，B，C（1）求sinCsinAsinB（2）若A=π6，a=719．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PBC.（1）證明：AB⊥BC；（2）若PA=AB，M為PC上的點，當PC與平面ABM所成角的正弦值最大時，求20．2022年卡塔爾世界杯決賽于當?shù)貢r間12月18日進行，最終阿根廷通過點球大戰(zhàn)總比分7：5戰(zhàn)勝法國，奪得冠軍.根據(jù)比賽規(guī)則：淘汰賽階段常規(guī)比賽時間為90分鐘，若在90分鐘結(jié)束時進球數(shù)持平，需進行30分鐘的加時賽，若加時賽仍是平局，則采用“點球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負.“點球大戰(zhàn)”的規(guī)則如下：①兩隊各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累計進球個數(shù)多者勝；②如果在踢滿5輪前，一隊的進球數(shù)已多于另一隊踢滿5輪最多可能射中的球數(shù)，則不需要再踢（例如：第4輪結(jié)束時，雙方“點球大戰(zhàn)”的進球數(shù)比為2：（1）假設踢點球的球員等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也只有35的可能性將球撲出.若球員射門均在門內(nèi)，在一次“點球大戰(zhàn)"中，求門將在前4次撲出點球的個數(shù)X（2）現(xiàn)有甲?乙兩隊在決賽中相遇，常規(guī)賽和加時賽后雙方0：0戰(zhàn)平，需要通過“點球大戰(zhàn)”來決定冠軍.設甲隊每名隊員射進點球的概率均為34（i）若甲隊先踢點球，求在第3輪結(jié)束時，甲隊踢進了3個球并獲得冠軍的概率；（ii）求“點球大戰(zhàn)”在第7輪結(jié)束，且乙隊以6：21．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>1≥b>0)的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2（1）求C的方程；（2）若A是C的右頂點，設直線l，AM，AN的斜率分別為22．已知函數(shù)f(x)=lnx?（1）當a=?1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若f(x)有兩個零點x1，x2

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】A={B={x∣x則A∩B={0故答案為：C.

【分析】先求出集合A、B，再根據(jù)交集的運算求解即可.2．【答案】D【解析】【解答】(3故答案為：D.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的四則運算，即可求解.3．【答案】A【解析】【解答】由a=(2可得a+2又|a+2b即(2+2m)故答案為：A.

【分析】根據(jù)向量的坐標運算求解即可.4．【答案】B【解析】【解答】設深度為h，由棱臺的體積計算公式可得：13(3600+1600+2400)h=200×1000，解得：故答案為：B.

【分析】直接利用棱臺的體積公式求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】兩人在相同站點下的概率為：13所以甲?乙二人在不同站點下車的概率為P=1?1故答案為：C.

【分析】結(jié)合古典概率公式求解即可.6．【答案】D【解析】【解答】甲正確時，f(x)=?f(?x)；乙正確時，f(x)=?f(4?x)則f(x)=?f(?x)=f(4+x)，則周期T=4，則由f(2)=?f(?2)，f(2)=f(?2)，可得f(2)=0，則f(22)=f(2)=0，故丙正確；丁正確時，則f(x)的周期為6，這與上面得到的周期T=4互相矛盾.由四個命題有且僅有一個假命題，則丁錯.故答案為：D.

【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性，周期性，對稱性的應用判斷甲乙丙丁的真假即可.7．【答案】B【解析】【解答】不妨設M在y=bax，令M(解得x0=a2c因為點G在雙曲線上，所以(a2c故答案為：B.

【分析】不妨設M在y=bax，令M(x0，y8．【答案】C【解析】【解答】解：c?b=1?ln(e?1)?1∵∵a=∴a<bc?a=1?ln(e?1)?∴c>a故答案為：C.

【分析】利用作差法比較c<b，a<c從而得到答案.9．【答案】A,C【解析】【解答】數(shù)據(jù)中的眾數(shù)為5，9×60%=5.|r|越大成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度也越強，B不符合題意；ξ～B(8，X～N(0，故答案為：AC

【分析】利用眾數(shù)和第60百分位數(shù)的定義判斷A；利用相關(guān)系數(shù)的意義判斷B；利用方差的性質(zhì)判斷C；利用正態(tài)曲線的性質(zhì)判斷D.10．【答案】A,B【解析】【解答】由題意知f(x)=sinωx?3f(x)=2sin(2x?π故f(x)關(guān)于(?5令π2+2kπ≤2x?π當k=0時，5π12令?π2+2kπ≤2x?當k=0時，?π即f(x)在(?π12，而?π12<π3將f(x)的圖象上所有的點向左平移π3個單位長度，得到f(x+而f(x+=2cos(2x?π故答案為：AB

【分析】對于A，由已知利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的周期公式即可求解得ω=2；對于B，利用正弦函數(shù)的對稱性即可判斷；對于C，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于D，利用導數(shù)函數(shù)的圖象變換即可判斷.11．【答案】B,C【解析】【解答】解：由題知，設P(x因為過點P作圓O：x2所以A，B在以即A，B在因為A，B是切點，所以A，故A，故兩圓方程相減可得A，化簡可得AB：因為P在l上，所以2x故直線AB：關(guān)于A，若AB∥l，則?2=?x解得：x所以AB：故圓心O到AB的距離d=所以AB=2A不符合題意；由AB：即x0聯(lián)立x?2y=05y=1解得：x=2所以AB過定點M(C符合題意；因為∠APB+∠AOB=π所以cos∠APB=cos(π?∠AOB)=?cos∠AOB由于AB過定點M(所以O到AB距離d記AB中點為Q，則OM≥OQ，cos∠APB=?cos∠AOB=?cos2∠AOQ=?(2co=1?2co=1?2≥1?2×1B符合題意；因為D為線段AB的中點，且M在AB上，所以∠MDO=π所以D點軌跡為以OM為直徑的圓，所以r=周長為2πr=D不符合題意.故答案為：BC

【分析】對于A，先求得直線AB的方程，利用垂徑定理可得|AB|=5；對于C，利用直線AB：x0x+(5?2x0)y=1，可得頂點坐標；對于B，∠APB+∠AOB=π，所以cos∠APB=cos(π?∠AOB)=?cos∠AOB，所以O到AB距離dmax12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A：取AB、AC中點D、E，連接PD，DE，PE，ME，BE，因為PA=PB=1，所以PD⊥AB，又AB⊥BC，DE//BC，所以DE⊥AB，所以∠PDE即為二面角P?AB?C的平面角θ，又PA⊥PB，AB=BC，所以BC=AB=P所以DE=12BC=22若PA⊥BC，又PA⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC?平面PBC，則PA⊥平面因為PC?平面PBC，所以PA⊥PC，所以PE=12AC=1，則PD2對于B：若PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，則PC⊥AB，又AB⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC，所以AB⊥平面PBC，PB?平面PBC，在△ABP中AB⊥PB與PA⊥PB矛盾，B不符合題意；對于C：∵ME=12PA=12對于D，當θ=π2時，PE=1，所以∴E為三棱錐P?ABC外接球的球心，外接球的半徑為1，所以三棱錐P?ABC外接球的體積V=4故答案為：ACD.

【分析】取AB、AC中點D、E，連接PD，DE，PE，ME，BE，所以∠PDE即為二面角P?AB?C的平面角θ，求出各個線段的長度，假設PA⊥BC，求出θ=π2，即可判斷A；假設PC⊥平面PAB，即可得到AB⊥PB，推出矛盾，即可判斷B；∵ME=12PA=13．【答案】-80【解析】【解答】因為(x(x?2)5展開式第(x+1)5展開式第當r=5，p=4時，當r=4，p=5時，所以展開式中x項為?160x+80x=?80x，則x的系數(shù)為?80，故答案為：-80.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項式定理，并分類討論，即可求解.14．【答案】5【解析】【解答】設點P(x0，解得：y0=2，所以故答案為：5.

【分析】由題意求得點P坐標，所以|PF|=y15．【答案】3?ln2【解析】【解答】設曲線y=ln(1+x)上切點A(x1，切線斜率k=11+x即y=同理，設曲線y=2+lnx上切點B(x2，切線斜率k=1x2即y=1所以11+x1所以k=2，b=1?ln2，故答案為：3?ln

【分析】設切點A(x1，16．【答案】(0【解析】【解答】由an+12?an+1=a則a1=a22?a1an∵bn=?1因為1<an+1<2，所以a所以b1+b故答案為：(0，

【分析】第一空：由an+12?an+1=an，可得17．【答案】（1）證明：由an+1?2a由a1=1，可得所以an+3n?1≠0，所以所以{a（2）解：由（1）得，an+3n?1=3×所以S=3×【解析】【分析】（1）由an+1?2an=3n?4，得an+1+3n+2=2(an+3n?1)，an18．【答案】（1）解：因為3cosC=2sinAsinB，所以?3(cosAcosB?sinAsinB)=2sinAsinB，即sinAsinB=3cosAcosB，因為cosAcosB≠0，所以tanAtanB=3，所以sinC=1（當且僅當tanA=tanB=3所以sinCsinAsinB的最小值為2（2）解：因為A=π6，由（1）得，因為B∈(0，π)，所以所以sinC=sin(B+A)=sin(B+π由正弦定理asinA=c所以△ABC的面積為12【解析】【分析】（1）利用兩角和的余弦公式，將已知條件畫出tanAtanB=3，然后化簡sinCsinAsinB=sinAcosB+cosAsinBsinAsinB=tanA+tanBtanAtanB，利用基本不等式求解即可；

19．【答案】（1）證明：如圖，過點A作AE⊥PB，垂足為E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，AE?平面PAB，AE⊥PB，∴AE⊥又∵BC?平面PBC，∴AE⊥BC.又∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC.又∵AE∩PA=A，PA、AE?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又∵AB?平面PAB，∴AB⊥BC.（2）解：由（1）知，以A為坐標原點，AB，AD，AP分別為∵底面ABCD是菱形，且AB⊥BC，∴底面ABCD為正方形，設PA=AB=1，則B(1，所以AB=(1設PM=λPC=(λ設平面ABM的一個法向量為n=(x則n①當0≤λ<1時，取n=(0設PC與平面ABM所成角為θ，則sinθ=|cos<n當λ=12時，sinθ②當λ=1時，取n=(0，0，∴綜述：PC與平面ABM所成角的正弦值最大時為63，此時PM【解析】【分析】（1）過點A作AE⊥PB，垂足為E，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得AE⊥平面PBC，再根據(jù)線面垂直的判定證明BC⊥平面PAB，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)證明即可；

（2）由（1）知，以A為坐標原點，AB，AD，AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系20．【答案】（1）解：根據(jù)題意門將每次撲中點球的概率p=1X的可能取值為0，1，P(X=0)=P(X=2)=P(X=4)=C所以X的概率分布為X01234P(X)25625696161數(shù)學期望E(X)=4×1（2）解：（i）甲隊先踢點球，第三輪結(jié)束時甲隊踢進了3個球，并獲得冠軍，則乙隊沒有進球，所以甲隊獲得冠軍的概率為(3（ii）點球在第7輪結(jié)束，且乙隊以6：所以前5輪戰(zhàn)平，且第6輪戰(zhàn)平，第7輪乙隊1：當前5輪兩隊為4：4時，乙隊勝出的概率為[當前5輪兩隊為5：乙隊勝出的概率為[C因為上述兩個事件互斥，所以乙隊勝出的概率為252304【解析】【分析】（1）先求出門將每次撲中點球的概率p=13×35=15，然后由獨立重復實驗的概率公式可得；

（2）（i）甲隊先踢點球，第三輪結(jié)束時甲隊踢進了3個球，并獲得冠軍，則乙隊沒有進球，甲隊獲得冠軍的概率為(34)3×21．【答案】（1）解：依題