江蘇省丹陽(yáng)中學(xué)2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

江蘇省丹陽(yáng)中學(xué)2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．2．已知集合，，則()A． B． C． D．3．已知函數(shù).設(shè)，若對(duì)任意不相等的正數(shù)，，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．4．在中，，，，則邊上的高為（）A． B．2 C． D．5．在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．6．已知、，，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．7．已知集合，，則等于()A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A．12 B．11 C．6 D．39．若集合，，則A． B． C． D．10．已知命題p：若，，則；命題q：，使得”，則以下命題為真命題的是（）A． B． C． D．11．命題：的否定為A． B．C． D．12．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在體積為V的圓柱中，以線段上的點(diǎn)O為項(xiàng)點(diǎn)，上下底面為底面的兩個(gè)圓錐的體積分別為，，則的值是______.14．某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗原料都不超過(guò)12千克.通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是__________元.15．“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的_______條件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．16．設(shè)滿足約束條件且的最小值為7，則＝_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在中，已知，，，為線段的中點(diǎn)，是由繞直線旋轉(zhuǎn)而成，記二面角的大小為.（1）當(dāng)平面平面時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)證明.19．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的值域?yàn)锳，且，求a的取值范圍.20．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，，，，，為的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn).（1）證明：面面；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角余弦值.21．（12分）已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.22．（10分）已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿足.（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線與（Ⅰ）中曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△面積的最大值及此時(shí)直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和在遞增，而在遞減.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查常見(jiàn)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬基礎(chǔ)題.2、D【解析】

先求出集合B，再與集合A求交集即可.【詳解】由已知，，故，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道容易題.3、D【解析】

求解的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對(duì)任意不相等的正數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；不妨設(shè)，而，知在單調(diào)遞減，從而對(duì)任意、，恒有，即，，，令，則，原不等式等價(jià)于在單調(diào)遞減，即，從而，因?yàn)椋詫?shí)數(shù)a的取值范圍是故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問(wèn)題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡(jiǎn)后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問(wèn)題，屬于一般性題目.4、C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，求得邊長(zhǎng)，由此求得邊上的高.【詳解】過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于.由于，所以為鈍角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即邊上的高為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式，屬于中檔題.5、A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，，則，排除B選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.6、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)分析出這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上均為減函數(shù)，由得出，分、、三種情況討論，利用放縮法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出或，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，，所以，函數(shù)、在區(qū)間上均為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，；當(dāng)時(shí)，，.由得.①若，則，即，不合乎題意；②若，則，則，此時(shí)，，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，；③若，則，則，此時(shí)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造新函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，解題時(shí)要注意對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.7、B【解析】

解不等式確定集合，然后由補(bǔ)集、并集定義求解．【詳解】由題意或，∴，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的綜合運(yùn)算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題型．8、B【解析】

畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)果．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，由圖可得關(guān)于的方程的解有兩個(gè)或三個(gè)（時(shí)有三個(gè)，時(shí)有兩個(gè)），所以關(guān)于的方程只能有一個(gè)根（若有兩個(gè)根，則關(guān)于的方程有四個(gè)或五個(gè)根），由，可得的值分別為，則故選B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于?？碱}型.9、C【解析】

解一元次二次不等式得或，利用集合的交集運(yùn)算求得.【詳解】因?yàn)榛?，，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，屬于容易題.10、B【解析】

先判斷命題的真假,進(jìn)而根據(jù)復(fù)合命題真假的真值表,即可得答案.【詳解】，，因?yàn)椋?，所以，所以，即命題p為真命題；畫(huà)出函數(shù)和圖象，知命題q為假命題,所以為真.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查真假命題的概念,以及真值表的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是判斷出命題的真假,難度較易.11、C【解析】

命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題的否定為，故選C．12、B【解析】

由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時(shí),,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)圓柱的體積為，以及圓錐的體積公式，計(jì)算即得.【詳解】由題得，，得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐體的體積，是基礎(chǔ)題.14、1元【解析】設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為桶，桶，利潤(rùn)為元

則根據(jù)題意可得目標(biāo)函數(shù)，作出可行域，如圖所示作直線然后把直線向可行域平移，

由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的截距最大，此時(shí)最大，

由可得，即此時(shí)最大，

即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶，乙4桶，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1．【點(diǎn)睛】本題考查用線性規(guī)劃知識(shí)求利潤(rùn)的最大值，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，以及利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．15、必要不充分【解析】

先求解直線l1與直線l2平行的等價(jià)條件，然后進(jìn)行判斷.【詳解】“直線l1：與直線l2：平行”等價(jià)于a＝±2，故“直線l1：與直線l2：平行”是“a＝2”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判定，把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).16、3【解析】

根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，對(duì)參數(shù)a分類討論，當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z有最小值，再由最小值為7，得出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，的截距沒(méi)有最小值，即z沒(méi)有最小值；當(dāng)時(shí)，的截距沒(méi)有最大值，即z沒(méi)有最小值，綜上可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域如下：由，可得出交點(diǎn)，由可得，當(dāng)時(shí)顯然不滿足題意；當(dāng)即時(shí)，由可行域可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）；當(dāng)即時(shí)，由可行域可知的截距沒(méi)有最小值，即z沒(méi)有最小值；當(dāng)即時(shí)，根據(jù)可行域可知的截距沒(méi)有最大值，即z沒(méi)有最小值.綜上可知滿足條件時(shí).故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)平面平面,建立坐標(biāo)系，根據(jù)法向量互相垂直求得;(2)求兩個(gè)平面的法向量的夾角.【詳解】(1)如圖，以為原點(diǎn)，在平面內(nèi)垂直于的直線為軸所在的直線分別為軸,軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量,由得,取,則因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為由平面平面，得所以即.(2)設(shè)二面角的大小為，當(dāng)平面的一個(gè)法向量為,綜上,二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,難度一般.18、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論，判斷出的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）由（1）知，結(jié)合韋達(dá)定理求得的關(guān)系式，由此化簡(jiǎn)的表達(dá)式為，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得，由此證得成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)榈茫╥）當(dāng)時(shí)；，因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，，所以是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)；（ii）若時(shí)，若，即時(shí)，，在是減函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn).若，即時(shí)，有兩根，不妨設(shè)當(dāng)和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，綜上所述時(shí)，僅有一個(gè)極值點(diǎn)；時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)．（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且是方程的兩根，，則所以設(shè)，則，又，即，所以所以是上的單調(diào)減函數(shù)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，則【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19、（1）或（2）【解析】

（1）分類討論去絕對(duì)值即可；（2）根據(jù)條件分a＜﹣3和a≥﹣3兩種情況，由[﹣2，1]?A建立關(guān)于a的不等式，然后求出a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，f（x）＝|x+1|.∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴當(dāng)x≤﹣1時(shí)，原不等式可化為﹣x﹣1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為x+1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1，此時(shí)不等式無(wú)解；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為x+1≤2x，∴x≥1，綜上，原不等式的解集為{x|x≤﹣1或x≥1}.（2）當(dāng)a＜﹣3時(shí)，，∴函數(shù)g（x）的值域A＝{x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.∵[﹣2，1]?A，∴，∴a≤﹣5；當(dāng)a≥﹣3時(shí)，，∴函數(shù)g（x）的值域A＝{x|﹣a﹣3≤x≤3+a}.∵[﹣2，1]?A，∴，∴a≥﹣1，綜上，a的取值范圍為（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法和利用集合間的關(guān)于求參數(shù)的取值范圍，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于中檔題.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）要證明面面，只需證明面即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建系，分別計(jì)算出面法向量，面的法向量，再利用公式計(jì)算即可.【詳解】證明：（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫危杂忠驗(yàn)?，，滿足，所以又，面，面，，所以面.又因?yàn)槊妫?，面?（2）由（1）知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建系如圖所示，則，，,，則，.所以，，，，設(shè)面法向量為，則由得，令得，，即；同理，設(shè)面的法向量為，則由得，令得，，即，所以，設(shè)二面角的大小為，則所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，此類問(wèn)題關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，是一道中檔題.21、（1）（2）【解析】

（1）先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:（1）因?yàn)?所以又,故,所以,所以（2）由（1）得,,,所以,所以,因?yàn)榍?即,解得,因?yàn)?所以,所以,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.2