2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 解直角三角形 解答題練習(xí)四（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解直角三角形解答題練習(xí)四LISTNUMOutlineDefault\l3在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，利用上述結(jié)論可以求解如下題目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.解：在△ABC中，∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(6sin30°,sin45°)＝3eq\r(2).理解應(yīng)用：如圖，甲船以每小時(shí)30eq\r(2)海里的速度向正北方航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，且乙船從B1處按北偏東15°方向勻速直線航行，當(dāng)甲船航行20min后到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距10eq\r(2)海里.(1)判斷△A1A2B2的形狀，并給出證明；(2)乙船每小時(shí)航行多少海里？LISTNUMOutlineDefault\l3圖1是張樂同學(xué)在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時(shí)情景.圖2是張樂鍛煉時(shí)上半身由與地面垂直的EM位置運(yùn)動(dòng)到EN位置時(shí)的示意圖.已知BC＝0.64米，AD＝0.24米，α＝30°.(1)求AB的長(zhǎng)；(2)若測(cè)得EN＝0.8米，試計(jì)算小明頭頂由M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的路徑弧MN的長(zhǎng)度(結(jié)果保留π)LISTNUMOutlineDefault\l3筒車是我國(guó)古代利用水力驅(qū)動(dòng)的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利物，輪乃曲成”.如圖，半徑為3m的筒車⊙O按逆時(shí)針方向每分鐘轉(zhuǎn)eq\f(5,6)圈，筒車與水面分別交于點(diǎn)A、B，筒車的軸心O距離水面的高度OC長(zhǎng)為2.2m，筒車上均勻分布著若干個(gè)盛水筒.若以某個(gè)盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間.(1)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，盛水筒P首次到達(dá)最高點(diǎn)？(2)浮出水面3.4秒后，盛水筒P距離水面多高？(3)若接水槽MN所在直線是⊙O的切線，且與直線AB交于點(diǎn)M，MO＝8m.求盛水筒P從最高點(diǎn)開始，至少經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間恰好在直線MN上.(參考數(shù)據(jù)：cos43°＝sin47°≈，sin16°＝cos74°≈，sin22°＝cos68°≈)LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，兩座建筑物的水平距離BC為40m，從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角α為45°，測(cè)得C點(diǎn)的俯角β為60°．求這兩座建筑物AB，CD的高度．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，≈1.414，≈1.732．)LISTNUMOutlineDefault\l3如圖1是一副創(chuàng)意卡通圓規(guī)，圖2是其平面示意圖，OA是支撐臂，OB是旋轉(zhuǎn)臂，使用時(shí)，以點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，鉛筆芯端點(diǎn)B可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)作出圓.已知OA=OB=10cm.(1)當(dāng)∠AOB=20°時(shí)，求所作圓的半徑；(結(jié)果精確到0.01cm)(2)保持∠AOB=20°不變，在旋轉(zhuǎn)臂OB末端的鉛筆芯折斷了一截的情況下，作出的圓與(1)中所作圓的大小相等，求鉛筆芯折斷部分的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到0.01cm)(參考數(shù)據(jù)：sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940)LISTNUMOutlineDefault\l3為了保證人們上下樓的安全，樓梯踏步的寬度和高度都要加以限制．中小學(xué)樓梯寬度的范圍是260mm～300mm含(300mm)，高度的范圍是120mm～150mm(含150mm)．如圖是某中學(xué)的樓梯扶手的截面示意圖，測(cè)量結(jié)果如下：AB，CD分別垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，試問該中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度是否符合規(guī)定．(結(jié)果精確到1mm，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)LISTNUMOutlineDefault\l3風(fēng)電已成為我國(guó)繼煤電、水電之后的第三大電源，風(fēng)電機(jī)組主要由塔桿和葉片組成(如圖1)，圖2是從圖1引出的平面圖.假設(shè)你站在A處測(cè)得塔桿頂端C的仰角是55°，沿HA方向水平前進(jìn)43米到達(dá)山底G處，在山頂B處發(fā)現(xiàn)正好一葉片到達(dá)最高位置，此時(shí)測(cè)得葉片的頂端D(D、C、H在同一直線上)的仰角是45°.已知葉片的長(zhǎng)度為35米(塔桿與葉片連接處的長(zhǎng)度忽略不計(jì))，山高BG為10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔桿CH的高.(參考數(shù)據(jù)：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6)

LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，港口B位于港口A的南偏東37°方向，燈塔C恰好在AB的中點(diǎn)處，一艘海輪位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D處，它沿正北方向航行5km，到達(dá)E處，測(cè)得燈塔C在北偏東45°方向上.這時(shí)，E處距離港口A有多遠(yuǎn)？(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)△A1A2B2是等邊三角形.證明：由已知，得A2B2＝10eq\r(2)海里，A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2)(海里)，∴A1A2＝A2B2，又∵∠A1A2B2＝180°﹣120°＝60°，∴△A1A2B2是等邊三角形；(2)∵△A1A2B2是等邊三角形，∴A1B2＝A1A2＝10eq\r(2)海里，∵∠CB1A1＝180°﹣105°＝75°，∴∠B2B1A1＝75°﹣15°＝60°，又∵∠B1A1B2＝105°﹣60°＝45°，∴在△A1B2B1中，eq\f(B1B2,sin45°)＝eq\f(A1B2,sin60°)，B1B2＝eq\f(A1B2,sin60°)·sin45°＝eq\f(10\r(2),\f(\r(3),2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(20\r(3),3)(海里)，∴乙船的速度為eq\f(20\r(3),3)÷eq\f(20,60)＝20eq\r(3)(海里/時(shí)).答：乙船每小時(shí)航行20eq\r(3)海里.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)作AF⊥BC于F.∴BF＝BC﹣AD＝0.4米，∴AB＝BF÷sin30°＝0.8米；(2)∵∠NEM＝90°＋30°＝120°，∴弧長(zhǎng)為＝π米.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)如圖1中，連接OA.由題意，筒車每秒旋轉(zhuǎn)360°×eq\f(5,6)÷60＝5°，在Rt△ACO中，cos∠AOC＝＝＝.∴∠AOC＝43°，∴＝27.4(秒).答：經(jīng)過27.4秒時(shí)間，盛水筒P首次到達(dá)最高點(diǎn).(2)如圖2中，盛水筒P浮出水面3.4秒后，此時(shí)∠AOP＝3.4×5°＝17°，∴∠POC＝∠AOC＋∠AOP＝43°＋17°＝60°，過點(diǎn)P作PD⊥OC于D，在Rt△POD中，OD＝OP?cos60°＝3×eq\f(1,2)＝1.5(m)，2.2﹣1.5＝0.7(m)，答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距離水面0.7m.(3)如圖3中，∵點(diǎn)P在⊙O上，且MN與⊙O相切，∴當(dāng)點(diǎn)P在MN上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P是切點(diǎn)，連接OP，則OP⊥MN，在Rt△OPM中，cos∠POM＝＝，∴∠POM＝68°，在Rt△COM中，cos∠COM＝＝＝，∴∠COM＝74°，∴∠POH＝180°﹣∠POM﹣∠COM＝180°﹣68°﹣74°＝38°，∴需要的時(shí)間為＝7.6(秒)，答：盛水筒P從最高點(diǎn)開始，至少經(jīng)過7.6秒恰好在直線MN上.LISTNUMOutlineDefault\l3解：延長(zhǎng)CD，交AE于點(diǎn)E，可得DE⊥AE，在Rt△AED中，AE=BC=40m，∠EAD=45°，∴ED=AEtan45°=20m，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=40m，∴AB=40≈69.3m，則CD=EC﹣ED=AB﹣ED=40﹣20≈29.3m．答：這兩座建筑物AB，CD的高度分別為69.3m和29.3m．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)連接BA，作OC⊥AB于點(diǎn)C.由題意可得，OA=OB=10cm，∠OCB=90°，∠AOB=20°，∴∠BOC=10°.∴AB=2BC=2OB·sin10°≈2×10×0.174≈3.5(cm)，即所作圓的半徑約為3.5cm.(2)作AD⊥OB于點(diǎn)D，作AE=AB.∵保持∠AOB=20°不變，則折斷的部分為BE.∵∠AOB=20°，OA=OB，∠ODA=90°，∴∠OAB=80°，∠OAD=70°.∴∠BAD=10°.∴BE=2BD=2AB·sin10°≈2×3.5×0.174≈1.2(cm)，即鉛筆芯折斷部分的長(zhǎng)度是1.2cm.LISTNUMOutlineDefault\l3解：連接BD，作DM⊥AB于點(diǎn)M，∵AB=CD，AB，CD分別垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD?cos65°=900×0.423≈381，DM=BD?sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴該中學(xué)樓梯踏步的高度符合規(guī)定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴該中學(xué)樓梯踏步的寬度符合規(guī)定，由上可得，該中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度都符合規(guī)定．LISTNUMOutlineDefault\l3解：如圖，作BE⊥DH于點(diǎn)E，

則GH=BE、BG=EH=10，設(shè)AH=x，則BE=GH=GA+AH=43+x，在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°?x，∴CE=CH﹣EH=tan55°?x﹣10，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°?x﹣10+35，解得：x≈45，∴CH=tan55°?x=1.4×45=63.

答：塔桿CH的高為63米.LISTNUMOutlineDefault\l3解：過點(diǎn)C作CH⊥AD，垂足為H，設(shè)CH=xkm，在Rt△ACH中，∠A=37°，∵tanA=eq\f(CH,AH)，∴AH=eq\f(CH,tan37°)=eq\f(x,tan37°).在Rt△CEH中，∠CEH=45°，∵tan∠CEH=eq\f(CH,EH)，∴E