2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 解直角三角形 解答題練習(xí)一（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解直角三角形解答題練習(xí)一LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，一水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂BC寬6米，壩高20米，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，斜坡CD的坡角為30°，求壩底AD的長度.(精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)LISTNUMOutlineDefault\l3為加快城鄉(xiāng)對接，建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，某地區(qū)對A、B兩地間的公路進(jìn)行改建.如圖，A、B兩地之間有一座山.汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車可直接沿直線AB行駛.已知BC=100千米，∠A=45°，∠B=30°.(1)開通隧道前，汽車從A地到B地要走多少千米？(2)開通隧道后，汽車從A地到B地可以少走多少千米？(結(jié)果保留根號)LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，小明利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識測量大橋主架在水面以上的高度AB，在觀測點(diǎn)C處測得大橋主架頂端A的仰角為30°，測得大橋主架與水面交匯點(diǎn)B的俯角為14°，觀測點(diǎn)與大橋主架的水平距離CM為60米，且AB垂直于橋面.（點(diǎn)A,B,C,M在同一平面內(nèi)）（1）求大橋主架在橋面以上的高度AM；（結(jié)果保留根號）（2）求大橋主架在水面以上的高度AB.（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)）LISTNUMOutlineDefault\l3小敏家對面新建了一幢圖書大廈，小敏在自家窗口測得大廈頂部的仰角為45°，大廈底部的俯角為30°，如圖所示，量得兩幢樓之間的距離為20eq\r(3)米.(1)求出大廈的高度BD；(2)求出小敏家的高度AE.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，物理教師為同學(xué)們演示單擺運(yùn)動，單擺左右擺動中，在OA的位置時俯角∠EOA=30°，在OB的位置時俯角∠FOB=60°，若OC⊥EF，點(diǎn)A比點(diǎn)B高7cm，求單擺的長度(結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.73).LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，一艘輪船以每小時40海里的速度在海面上航行，當(dāng)該輪船行駛到B處時，發(fā)現(xiàn)燈塔C在它的東北方向，輪船繼續(xù)向北航行，30分鐘后到達(dá)A處，此時發(fā)現(xiàn)燈塔C在它的北偏東75°方向上，求此時輪船與燈塔C的距離.(結(jié)果保留根號)LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，一艘輪船在A處測得燈塔P在船的北偏東30°的方向，輪船沿著北偏東60°的方向航行16km后到達(dá)B處，這時燈塔P在船的北偏西75°的方向.求燈塔P與B之間的距離(結(jié)果保留根號).LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，線段MN表示一段高架道路，線段AB表示高架道路旁的一排居民樓．已知點(diǎn)A到MN的距離為15m，BA的延長線與MN相交于點(diǎn)D，且∠BDN＝30°．若汽車沿著從M到N的方向在MN上行駛，方圓39m以內(nèi)會受到噪音的影響，當(dāng)其到達(dá)點(diǎn)P時，噪音開始影響這一排的居民樓；當(dāng)其到達(dá)點(diǎn)Q時，它與這一排居民樓的距離為39m，求PQ的長度(精確到1m)(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.7)

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案LISTNUMOutlineDefault\l3解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形BCFE是矩形.由題意，得BC=EF=6米，BE=CF=20米，∵斜坡AB的坡度i為1∶2.5，BE=20米，∴eq\f(BE,AE)=eq\f(1,2.5).∴AE=50米.在Rt△CFD中，∠D=30°，∴DF=eq\f(CF,tanD)=20eq\r(3)米.∴AD=AE＋EF＋FD=50＋6＋20eq\r(3)≈90.6(米).答：壩底AD的長度約為90.6米.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)過點(diǎn)C作AB的垂線CD，垂足為D，∵AB⊥CD，sin30°=，BC=100千米，∴CD=BC?sin30°=100×=50(千米)，AC==50(千米)，AC+BC=(100+50)千米，答：開通隧道前，汽車從A地到B地要走(100+50)千米；(2)∵cos30°=，BC=100(千米)，∴BD=BC?cos30°=100×=50(千米)，CD=BC=50(千米)，∵tan45°=，∴AD==50(千米)，∴AB=AD+BD=(50+50)千米，答：開通隧道后，汽車從A地到B地可以少走(50+50)千米.LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）AB垂直于橋面在中，（米）答：大橋主架在橋面以上的高度AM為米.

（2）在中，（米）答：大橋主架在水面以上的高度AB約為50米.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵AC⊥BD，BD⊥DE，AE⊥DE，∴四邊形AEDC是矩形.∴AC=DE=20eq\r(3)米.∵在Rt△ABC中，∠BAC=45°，∴BC=AC=20eq\r(3)米.在Rt△ACD中，tan30°=eq\f(CD,AC)，∴CD=AC·tan30°=20eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)=20(米).∴BD=BC＋CD=(20eq\r(3)＋20)米.∴大廈的高度BD為(20eq\r(3)＋20)米.(2)∵四邊形AEDC是矩形，∴AE=CD=20米.∴小敏家的高度AE為20米.LISTNUMOutlineDefault\l3解：如圖，過點(diǎn)A作AP⊥OC于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BQ⊥OC于點(diǎn)Q，∵∠EOA=30°、∠FOB=60°，且OC⊥EF，∴∠AOP=60°、∠BOQ=30°，設(shè)OA=OB=x，則在Rt△AOP中，OP=OAcos∠AOP=eq\f(1,2)x，在Rt△BOQ中，OQ=OBcos∠BOQ=eq\f(\r(3),2)x，由PQ=OQ﹣OP可得eq\f(\r(3),2)x﹣eq\f(1,2)x=7，解得：x=7+7eq\r(3)cm≈19.1cm，答：單擺的長度約為19.1cm.LISTNUMOutlineDefault\l3解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.由題意，AB＝20(海里)∵∠PAC＝∠B＋∠C，∴∠C＝∠PAC﹣∠B＝75°﹣45°＝30°，在Rt△ABD中，sinB＝，∴AD＝AB?sinB＝20×eq\f(\r(2),2)＝10eq\r(2)(海里)，在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AD＝20eq\r(2)(海里)，答：此時輪船與燈塔C的距離為20eq\r(2)海里.LISTNUMOutlineDefault\l3解：過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，由題意得∠PAB=30°，∠PBA=45°，設(shè)PH=x，則AH=eq\r(3)x，BH=x，PB=eq\r(2)x，∵AB=16，∴eq\r(3)x+x=16，解得：x=8eq\r(3)﹣8，∴PB=eq\r(2)x=8eq\r(6)﹣8eq\r(2)，答：燈塔P與B之間的距離為(8eq\r(6)﹣8eq\r(2))km.LISTNUMOutlineDefault\l3解：如圖，連接PA，作