直線與圓專題復(fù)習(xí)第2講 直線的方程 訓(xùn)練題集【老師版】

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2第2講直線的方程一、單選題1．（2021·全國·高二課時練習(xí)）下列命題，錯誤的個數(shù)是（）①任意一條直線一定是某個一次函數(shù)的圖像；②關(guān)于x的一次函數(shù)的圖像是一條直線；③以一個二元方程的解為坐標的點都在某條直線上，則這個方程叫做這條直線的方程；④若一條直線上所有點的坐標都是某個方程的解，則這條直線叫做這個方程的直線．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)曲線與方程一一對應(yīng)的充要條件，對命題一一判斷即可．【詳解】①直線不是一次函數(shù)，故錯；②一次函數(shù)的圖像是一條射線，故錯；③方程的解為坐標的點都在直線上，但這個方程不是這條直線的方程，故錯；④曲線與方程一一對應(yīng)用的充要條件是曲線上所有點的坐標都是方程的解，同時方程的所有解也是曲線上的點坐標，故錯．故選：D2．（2021·四川·閬中中學(xué)高二月考（文））已知，，，則過點，的直線的方程（）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過觀察求得直線的方程.【詳解】由于兩點在直線上，所以的坐標滿足直線的方程，通過觀察可知，直線的方程為.故選：A3．（2021·江西·景德鎮(zhèn)一中高三月考（理））已知函數(shù)，若是函數(shù)的一條對稱軸，且，則點所在的直線為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由輔助角公式對三角函數(shù)式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)對稱軸的性質(zhì)求得的表達式，代入條件中，用誘導(dǎo)公式化簡即可求得，即可得點所在的直線方程．【詳解】由輔助角公式化簡函數(shù)可得則對稱軸滿足，則因為是函數(shù)的一條對稱軸，則，則，即，所以，即點所在的直線方程為，故選：B．4．（2021·河南·高三月考（文））若函數(shù)的圖象恒經(jīng)過的定點在直線（，）上，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出的圖象所過定點坐標代入直線方程得關(guān)系，然后由基本不等式求得最小值．【詳解】由題意，所以定點坐標為，所以，即，因為，，當且僅當，即時等號成立，故選：C．5．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）若表示兩條直線，則實數(shù)的值為（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】由題可得方程左邊一定可以表示為兩個一次式的乘積，設(shè)比較系數(shù)可求出.【詳解】若表示兩條直線，則其左邊一定可以表示為兩個一次式的乘積，又因缺少項，則可設(shè)，即，則，解得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是判斷出方程左邊一定可以表示為兩個一次式的乘積，可設(shè)為.6．（2021·天津三中高二月考）直線經(jīng)過第一、二、四象限，則a、b、c應(yīng)滿足（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線經(jīng)過第一、二、四象限判斷出即可得到結(jié)論.【詳解】由題意可知直線的斜率存在，方程可變形為，∵直線經(jīng)過第一、二、四象限，∴，∴且．故選：A.7．（2021·湖北·大冶市第一中學(xué)高二月考）已知三角形的三個頂點坐標為：，，，則三角形的面積為()A．5 B． C．10 D．【答案】A【分析】結(jié)合已知條件求出直線AB的方程和，然后利用點到直線的距離公式求出點到直線AB的距離，進而可求出三角形面積.【詳解】由，，故直線的方程：，即，，從而到的距離，故三角形的面積.故選：A.8．（2021·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二月考）已知M（3，），A（1，2），B（3，1），則過點M和線段AB的中點的直線方程為（）A．4x+2y﹣5＝0 B．4x﹣2y﹣5＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0【答案】B【分析】求出線段AB的中點坐標，再根據(jù)直線的兩點式方程即可的解.【詳解】解：因為A（1，2），B（3，1），所以線段AB的中點坐標為，所以過點M和線段AB的中點的直線方程為，即.故選：B.9．（2021·北京·人大附中高二期中）在平面直角坐標系中，是坐標原點，與軸、軸分別交于、兩點，給出下列四個命題：①存在正實數(shù)，使的面積為的直線僅有一條；②存在正實數(shù)，使的面積為的直線僅有兩條；③存在正實數(shù)，使的面積為的直線僅有三條；④存在正實數(shù)，使的面積為的直線僅有四條；其中所有真命題的序號是（）A．①②③ B．③④C．②④ D．②③④【答案】D【分析】用表示的面積，討論其單調(diào)性和值域后可得正確的選項.【詳解】因為，故，其中且.故的面積，故，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得：在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，所以當時，的取值范圍為.而因為在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，所以當時，的取值范圍為，故的圖象如圖所示：所以當時，使的面積為的直線僅有四條；當時，使的面積為的直線僅有三條；當時，使的面積為的直線僅有兩條；故②③④正確.故選：D.10．（2021·安徽·高二月考）已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)（）A．1 B．-1 C．2或1 D．2或-1【答案】C【分析】顯然，再分與兩種情況討論，若，將直線方程化為截距式，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：依題意可知，由題意，當，即時，直線化為，此時直線在兩坐標軸上的截距都為0，滿足題意；當，即時，直線化為，由直線在兩坐標軸上的截距相等，可得，解得；綜上所述，實數(shù)或.故選：C二、多選題11．（2021·福建·高二月考）下列說法正確的是（）A．在兩坐標軸上截距相等的直線都可以用方程表示B．方程表示的直線斜率一定存在C．經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D．經(jīng)過兩點的直線方程為【答案】BD【分析】根據(jù)直線方程、傾斜角、斜率等知識對選項逐一分析，從而確定正確選項.【詳解】A選項中直線在兩坐標軸上的截距相等，但不能用表示，所以A選項錯誤；B選項，方程表示的直線斜率為，所以B選項正確.C選項中若則直線斜率不存在，直線不能用點斜式表示，故C錯.D選項，結(jié)合直線方程兩點式可知，D選項正確.故選：BD12．（2021·湖南·永州市第四中學(xué)高三月考）設(shè)點滿足．則點（）A．只有有限個 B．有無限多個C．位于同一條直線上 D．位于同一條拋物線上【答案】BC【分析】由已知得，根據(jù)的單調(diào)性有，即可知的性質(zhì).【詳解】由題意，可得，又單調(diào)遞增，得，則，故滿足條件的點有無窮多個，且都在直線上．故選：BC13．（2021·江蘇·星海實驗中學(xué)高二月考）已知直線的方程是的方程是，則下列各示意圖中，不正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對A、B、C、D四個選項中的直線方程入手分別分析出，與0的大小且是否滿足題干中的條件，進而找到不正確的選項.【詳解】對于A選項：從可以看出，，從可以看出，，矛盾，A選項錯誤；對于B選項：從可以看出，，從可以看出，，矛盾，B選項錯誤；對于C選項：從可以看出，，從可以看出，，矛盾，C選項錯誤；對于D選項：從可以看出，，從可以看出，，且滿足，，選項D正確.故選：ABC14．（2021·湖北·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）下列說法正確的有（）A．若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則在第二象限B．直線必過定點C．過點，且斜率為的直線的點斜式方程為D．斜率為，且在軸上的截距為的直線方程為【答案】ABC【分析】由直線經(jīng)過象限可確定的正負，由此知A正確；整理可求得B中直線過定點，得B正確；由直線點斜式和斜截式方程定義可確定CD正誤.【詳解】對于A，由直線經(jīng)過第一、二、四象限可得：，，在第二象限，A正確；對于B，由得：，則直線恒過定點，B正確；對于C，由點斜式方程定義可知該直線方程為：，C正確；對于D，由斜截式方程定義可知該直線方程為：，D錯誤.故選：ABC.15．（2021·全國·高二專題練習(xí)）若，，且，則直線經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【分析】根據(jù)題意可得，，，進而轉(zhuǎn)化為，從而求出的值，進而求出直線的方程，即可判斷直線所經(jīng)過的象限.【詳解】∵，，且，∴，，，∴，∴，則直線，即，即，故直線不經(jīng)過第四象限．故選：ABC．16．（2021·全國·高二專題練習(xí)）若三條直線l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0不能圍成三角形，則a的取值為（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)＝-1 C．a(chǎn)＝-2 D．a(chǎn)＝2【答案】ABC【分析】根據(jù)題意得出l1和l3平行或重合，或l2和l3平行或重合，或l1和l2平行或重合以及三線交于同一個點，分類討論，利用兩條直線平行的條件分別求得m的值．【詳解】由題意可得l1和l3平行或重合，或l2和l3平行或重合，或l1和l2平行或重合，或三條直線交于同一個點，若l1和l3平行或重合，則，求得a＝1；若l2和l3平行或重合，則，求得a＝1；若l1和l2平行或重合，則，求得a＝±1；若三條直線l1：ax+y+1＝0，l2：x+ay+1＝0，l3：x+y+a＝0交于同一個點時，a＝-2.綜上可得，實數(shù)a所有可能的值為-1，1，-2，故選：ABC．三、填空題17．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知兩條直線和都過點，則過，兩點的直線方程是______．【答案】【分析】結(jié)合直線方程的定義求過，兩點的直線方程.【詳解】點在直線上，．由此可知點的坐標滿足．點在直線上，．由此可知點的坐標也滿足．兩點確定一條直線，過，兩點的直線方程是，故答案為：.18．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）已知直線l過點，且在橫坐標軸與縱坐標軸上的截距的絕對值相等的直線方程可以是___________（寫出一種即可）【答案】，或（寫出一個即可）【分析】分直線l過原點、直線l在兩個坐標軸上的截距存在且不為0，且截距相等和截距互為相反數(shù)三種情況討論，分別設(shè)點斜式、截距式，待定系數(shù)即得解【詳解】由題意，直線l過點，且在橫坐標軸與縱坐標軸上的截距的絕對值相等（1）若直線l過原點，設(shè)直線方程為，則故直線方程為：（2）若直線l在兩個坐標軸上的截距存在且不為0，且截距相等，設(shè)直線方程為則故直線方程為：（3）若直線l在兩個坐標軸上的截距存在且不為0，且截距互為相反數(shù)，設(shè)直線方程為，則故直線方程為：綜上直線的方程可以是：，或故答案為：，或（寫出一個即可）19．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線，直線.當a_____時，l1與l2相交；當a__時，l1⊥l2；當a___時，l1與l2重合；當a____時，l1∥l2．【答案】且；；；【分析】直接根據(jù)兩條直線位置關(guān)系公式求解即可.【詳解】由，得或，當時，l1：-x+2y+6＝0，l2：x+2y＝0，顯然l1∥l2；當時，l1：x+y+3＝0，l2：x+y+3＝0，顯然l1與l2重合；當且時，l1與l2相交；由，可解得，此時l1⊥l2.故答案為：且；；；.20．（2021·湖北·高二月考）已知直線恒過定點A，點A在直線上，則的最小值為___________.【答案】9【分析】由直線方程分析可得定點A為，進而有，根據(jù)目標式結(jié)合基本不等式“1”的代換求最小值即可，注意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)，，∴當時，方程恒成立，故直線恒過定點，∴，則，當且僅當時等號成立，∴的最小值為.故答案為：四、解答題21．（2021·福建省建甌市芝華中學(xué)高二月考）已知直線l：(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)．（1）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程；（2）當O(0，0)點到直線l的距離最大時，求直線l的方程．【答案】（1）x+y+2=0或3x+y=0；（2）x-3y-10=0．【分析】（1）求得橫截距和縱截距，由此列方程求得的值，從而求得直線的方程.（2）求得直線所過定點，根據(jù)求得直線的斜率，由此求得直線的方程.【詳解】（1）依題意得，a+1≠0．令x=0，得y=a-2；令y=0，得x=．∵直線l在兩坐標軸上的截距相等，∴a-2=，化簡，得a(a-2)=0，解得a=0或a=2．因此，直線l的方程為x+y+2=0或3x+y=0．（2）直線l的方程可化為a(x-1)+x+y+2=0．令解得因此直線l過定點A(1，-3)．由題意得，OA⊥l時，O點到直線l的距離最大．因此，kl==，∴直線l的方程為y+3=(x-1)，即x-3y-10=0．22．（2021·安徽·高二月考）已知直線的傾斜角為60°.（1）若直線過點，求直線的方程；（2）若直線在軸上的截距為4，求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率，再根據(jù)直線的點斜式方程即可求解；（2）根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率，再根據(jù)直線的斜截式方程即可求解.（1）∵直線的傾斜角為60°，∴直線的斜率為，∵直線過點，∴由直線的點斜式方程得直線的方程為，即.（2）∵直線的傾斜角為60°，∴直線的斜率為，∵直線在軸上的截距為4，∴由直線的斜截式方程得直線的方程為.23．（2021·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）已知的三個頂點分別為，，，求：（1）邊上中線所在直線的方程（D為中點）；（2）邊的垂直平分線的方程；（3）求的外接圓方程.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）計算線段的中點坐標，然后得到中線的斜率，最后利用點斜式計算即可.（2）計算直線的斜率，得到中垂線的斜率，然后利用點斜式計算即可.（3）計算中垂線的方程，然后與（2）中方程聯(lián)立可得圓心，進一步得到半徑，可得結(jié)果.（1）線段的中點，所以直線的斜率為，所以中線的方程為：，即（2）直線的斜率，所以中垂線的斜率為所以中垂線的方程為：，即（3）線段中垂線的方程，所以所以該外接圓的圓心為，所以半徑為所以該三角形的外接圓方程為：24．（2021·江蘇如皋·高三月考）如圖，是一張三角形紙片，，，，設(shè)與，的交點分別為，，將沿直線折疊后，使落在邊上的點處.（1）設(shè)，試用表示點到距離；（2）求點到距離的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）以為原點，邊，所在的直線分別為軸，軸建立平面直角坐標系，，設(shè)，求出，由可得，再求出的中點坐標，可得直線的方程與的方程聯(lián)立求得的值即可求解；（2）結(jié)合（1）利用換元法求最大值即可.（1）以為原點，邊，所在的直線分別為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)，又因為，所以，因為點與點重合，所以，所以，因為的中點為，從而直線的方程為：，即①，又直線的方程為：②由①②解得：；（2）令，則，，所以，由于，當且僅當，即時，即時，取最大值，所以當時，點到距離最大，最大值為.25．（2021·重慶市永川景圣中學(xué)校高二月考）已知的三個頂點分別為，，，BC中點為D點，求：（1）邊所在直線的方程（2）邊上中線AD所在直線的方程（3）邊的垂直平分線的方程.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）計算，根據(jù)點斜式得到直線方程.（2）計算中點坐標為，再計算，得到直線方程.（3），得到垂直平分線的斜率為，中點為，得到直線方程.（1），故邊所在直線的方程為：，化簡得到.（2）中點為，即，故，故AD所在直線的方程為，即.（3），故垂直平分線的斜率為，中點為，故垂直平分線的方程為，即.26．（2021·江西師大附中高二月考）設(shè)直線l的方程為（）.（1）若直線不經(jīng)過第三象限，求的取值范圍；（2）若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于兩點，當面積取得最小值時，求的周長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）寫出直線的斜截式，通過直觀想象，利用斜率和縱截距的符號得到答案；（2）根據(jù)題意求出A,B的坐標，進而求出三角形面積，然后結(jié)合基本不等式求出面積的最小值，最后求出周長.【詳解】（1）由題意，，根據(jù)題意，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）由題意，，當時，有，當時，，即，，所以，當且僅當，即時，三角形的面積最小，此時，，所以這時周長為.27．（2021·廣東·蕉嶺縣蕉嶺中學(xué)高二月考）已知直線：.（1）證明：直線一定經(jīng)過第三象限；（2）設(shè)直線與軸，軸分別交于,點，當點離直線最遠時，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）6【分析】（1）先求出直線的定點，進而根據(jù)定點的位置得到答案；（2）記直線所過的定點為Q，進一步判斷當時，點離直線最遠，進而求出直線方程，算出A,B的坐標，然后算出三角形的底邊和高的長度，最后求出答案.（1）解：證明：，令，解得，則直線經(jīng)過定點，故直線一定經(jīng)過第三象限.（2）解：由（1）可知，直線經(jīng)過定點，則當時，點離直線最遠，且,此時，即，所以直線l的斜率為-1，則：，則，，，故的面積為.28．（2021·廣東·大埔縣田家炳實驗中學(xué)高二月考）已知直線過點，且與軸、軸的正方向分別交于，兩點，分別求滿足下列條件的直線方程：（1）時，求直線的方程．（2）當?shù)拿娣e最小時，求直線的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）作于，由，可求得，即得解；（2）設(shè)直線的方程為，則，又，結(jié)合均值不等式即得解.【詳解】（1）由題意，作于，故，由可得故直線的方程為，即（2）由題意，設(shè)直線的方程為則由于直線過，故由于，故，當且僅當，即時等號成立即，故此時直線的方程為：，即29．（2021·江蘇·蘇州中學(xué)高二）已知直線經(jīng)過點，且與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，O是坐標原點，若_______，求直線l的一般式方程．試從下列所給的2個條件中任選1個補充在前面的問題中，完成解答，若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．①的周長為12；②的面積是6．【答案】選①時，直線l的一般式方程為：；選②時，直線l的一般式方程為：；【分析】設(shè)直線的方程為：，若選①時根據(jù)的周長列出關(guān)于第一個表達式，又直線經(jīng)過點列出關(guān)于第二個表達式，聯(lián)立兩個表達式，求出，寫出直線l的一般式方程；若選②時根據(jù)的面積列出關(guān)于第一個表達式，又直線經(jīng)過點列出關(guān)于第二個表達式，聯(lián)立兩個表達式，求出，寫出直線l的一般式方程；【詳解】設(shè)直線的方程為：，⑴、若的周長為12解答如下：由題意可知①又直線過,②聯(lián)立①②，解得直線l的一般式方程為：⑵、若的面積是6解答如下：由題意可知直線l的一般式方程為：30．（2021·福建省將樂縣第一中學(xué)高二月考）已知點，，直線：（1）求證：直線恒過定點，并求出該定點；（2）若直線與線段相交，求的范圍；（3）求點到直線距離的最大值．【答案】（1）證明見解析；；（2）或；（3）．【分析】（1）將已知直線的方程整理為，由即可得定點；（2）直線的斜率為，作圖，求出直線，的斜率，由或即可求解；（3）由題意可得當點與點的連線垂直于直線時，所求距離最大，計算，兩點間距離即可.【詳解】（1）由可得由可得，所以無論取何值時，直線恒過定點；（2）由可得，所以直線的斜率為，由（1）知：直線恒過定點，如圖：，，若直線與線段相交，則或，解得：或；（3）當點與點的連線垂直于直線時，點到直線：距離最大，最大值為.31．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知一條動直線3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，（1）求證：直線恒過定點，并求出定點P的坐標；（2）若直線與x、y軸的正半軸分別交