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2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)第2課時(shí)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)1.掌握不等式的有關(guān)性質(zhì).2.能利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較或不等式證明或解決范圍問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))1、邏輯推理2、數(shù)學(xué)運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】一.等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a=b,那么b=a;性質(zhì)2如果a=b,b=c,那么a=c;性質(zhì)3如果a=b,那么a±c=b±c;性質(zhì)4如果a=b,那么ac=bc;性質(zhì)5如果a=b,c≠0,那么eq\f(a,c)=eq\f(b,c).二.不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱性a>b?b
a?2傳遞性a>b,b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a+c
b+c可逆4可乘性a>b,c>0?
_______a>b,c<0?
_______c的符號(hào)5同向可加性a>b,c>d?
___________同向6同向同正可乘性a>b>0,c>d>0?
________同向7可乘方性a>b>0?an
bn(n∈N,n≥2)同正思考1:若a>b,c>d,那么a+c>b+d成立嗎?a-c>b-d呢?思考2:若a>b,c>d,那么ac>bd成立嗎?【小試牛刀】思辨解析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)a=b是eq\f(a,c)=eq\f(b,c)成立的充要條件.()(2)a>b?ac2>bc2.()(3)若a+c>b+d,則a>b,c>d.()(4)同向不等式相加與相乘的條件是一致的.()(5)設(shè)a,b∈R,且a>b,則a3>b3.()【經(jīng)典例題】題型一利用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式點(diǎn)撥:利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)
(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上,記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.
(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí),應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件,且不可省略條件或跳步推導(dǎo),更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.例1若a>b>0,c<0,求證:?!靖櫽?xùn)練】1已知a>b,e>f,c>0,求證:f-ac<e-bc.題型二利用不等式的性質(zhì)求取值范圍點(diǎn)撥:利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略
1.建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系,最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算,求得待求的范圍.
2.同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減),這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形,如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化,就有可能擴(kuò)大其取值范圍.
注意:求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地分別求出單個(gè)變量的范圍,再去求其他不等式的范圍.
例2已知1<a<4,2<b<8.試求2a+3b與a-b的取值范圍.【跟蹤訓(xùn)練】2已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求3a-2b的范圍.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.(多選)若,則下面四個(gè)不等式成立的有()
A.|a|>|b| B.a<bC.a+b<ab D.a3>b32.已知a>b,c>d,且c,d不為0,那么下列不等式一定成立的是()A.a(chǎn)d>bc B.a(chǎn)c>bdC.a(chǎn)+c>b+d D.a(chǎn)-c>b-d3.若8<x<10,2<y<4,則eq\f(x,y)的取值范圍為________.4.下列命題中,真命題是________(填序號(hào)).①若a>b>0,則eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2);②若a>b,則c-2a<c-2b;③若a<0,b>0,則eq\r(-a)<eq\r(b);④若a>b,則2a>2b.5.已知1<a<6,3<b<4,求a-b,eq\f(a,b)的取值范圍.6.若bc-ad≥0,bd>0,求證:eq\f(a+b,b)≤eq\f(c+d,d).【課堂小結(jié)】1.知識(shí)點(diǎn):
(1)等式的性質(zhì).
(2)不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用.
2.方法歸納:作商比較法、乘方比較法.
3.常見誤區(qū):注意不等式性質(zhì)的單向性或雙向性,即每條性質(zhì)是否具有可逆性.
【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】<>ac>bcac>bca+c>b+da+c>b+d>思考1:a+c>b+d成立,a-c>b-d不一定成立,但a-d>b-c成立.思考2:不一定,但當(dāng)a>b>0,c>d>0時(shí),一定成立.【小試牛刀】(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√【經(jīng)典例題】例1【跟蹤訓(xùn)練】1證明因?yàn)閍>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc.又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc.例2解∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2.又∵1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2.故8<2a+3b<32,-7<a-b<2.【跟蹤訓(xùn)練】2設(shè)x=a+b,y=a-b,則a=eq\f(x+y,2),b=eq\f(x-y,2),∵1≤x≤5,-1≤y≤3,∴3a-2b=eq\f(1,2)x+eq\f(5,2)y.又eq\f(1,2)≤eq\f(1,2)x≤eq\f(5,2),-eq\f(5,2)≤eq\f(5,2)y≤eq\f(15,2),∴-2≤eq\f(1,2)x+eq\f(5,2)y≤10.即-2≤3a-2b≤10.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.AB解析:由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0可得b<a<0,從而|a|<|b|,A,B均不正確;a+b<0,ab>0,則a+b<ab成立,C正確;a3>b3,D正確.2.C解析:由a>b,c>d得a+c>b+d,故選C.3.2<eq\f(x,y)<5解析:∵2<y<4,∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).又∵8<x<10,∴2<eq\f(x,y)<5.4.①②④解析:①∵a>b>0∴0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2);②∵a>b∴-2a<-2b∴c-2a<c-2b;對(duì)③取a=-2,b=1,則eq\r(-a)<eq\r(b)不成立.④正確.5.解∵3<b<4,∴-4<-b<-3.∴1-4<a-b<6-3,即-3<a-b<3.又eq\f(1,4)<eq\f(1,b)<eq\f(1,3),∴eq\f(1,4
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