借助模型轉(zhuǎn)化 凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)模型的建立，可以讓學(xué)生感受到很多生活問題都可以用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行表達(dá)和解釋，從而更深刻地認(rèn)識到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。一、建構(gòu)模型，建立數(shù)學(xué)與外界的關(guān)聯(lián)（一）數(shù)學(xué)的本質(zhì)與作用數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。它是對現(xiàn)實生活的抽象化，具體包括數(shù)量以及數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象。這些抽象化的概念形成了數(shù)學(xué)的探究目標(biāo)。建立在抽象結(jié)構(gòu)之上，通過對研究目標(biāo)進(jìn)行符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，生成數(shù)學(xué)的觀點和途徑，它能協(xié)助我們理解、識別并描述現(xiàn)實生活中的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律性質(zhì)。新課標(biāo)將“數(shù)與代數(shù)”和“圖形與幾何”兩個主題進(jìn)行了重新組織，以便更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，把傳統(tǒng)的六個主題整合為“數(shù)與運算”“數(shù)量關(guān)系”兩個主題；在“圖形與幾何”領(lǐng)域，把傳統(tǒng)的四個主題整合為“圖形的認(rèn)識與測量”“圖形的位置與運動”兩個主題[1]。例如，通過對數(shù)量的抽象，可以更好地理解自然數(shù)的大小關(guān)系，而通過對角的概念的介紹，可以更好地理解角的大小關(guān)系?？梢钥吹?，這樣的整合有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。（二）數(shù)學(xué)建模的意義研究數(shù)學(xué)就是探討現(xiàn)實生活中的數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)，從而發(fā)現(xiàn)一些具有普遍適用性的規(guī)律，將這些規(guī)律運用到其他領(lǐng)域或日常生活中，從而形成多種多樣的數(shù)學(xué)模型。因此，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本方式，模型思想是數(shù)學(xué)的一種基本思想。一套完備的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建步驟涵蓋了從現(xiàn)實狀況中用數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、創(chuàng)建模型、解決問題、檢驗結(jié)果、對模型進(jìn)行優(yōu)化的過程，最后成功處理實際問題。這一過程比較充分地反映了數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)觀察、數(shù)學(xué)思考與數(shù)學(xué)表達(dá)。正因為如此，許多國家和國際組織提煉數(shù)學(xué)素養(yǎng)的依據(jù)就是數(shù)學(xué)建模過程[2]。以數(shù)量關(guān)系這一部分為例，數(shù)與運算包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識及其四則運算，是按照加、減、乘、除數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律進(jìn)行教學(xué)的。數(shù)與運算的關(guān)系圖體現(xiàn)了數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，從中可以看出加法是四則運算的核心（見圖1）。數(shù)概念的教學(xué)應(yīng)融合進(jìn)“＋”的主題，討論數(shù)量關(guān)系涉及到數(shù)學(xué)模型的使用。利用這些模型，人們會采用數(shù)學(xué)創(chuàng)造的語言、符號和方法來解讀真實世界中的故事，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)與生活實際的聯(lián)系。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)活動中較為復(fù)雜的內(nèi)容，構(gòu)建模型的過程中難度相對較大。因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該更關(guān)注學(xué)生的生活體驗，利用一些簡單的日常環(huán)境以及現(xiàn)有的模型，重視數(shù)學(xué)化的過程。二、立足教材，落實數(shù)學(xué)語言素養(yǎng)數(shù)學(xué)語言素養(yǎng)在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)之一是“模型意識”。教學(xué)前教師要對學(xué)習(xí)內(nèi)容有深入的了解，抓住知識本質(zhì)巧妙設(shè)計問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，獲得學(xué)習(xí)動力，引導(dǎo)思考方向，提出建構(gòu)模型的問題，這樣在設(shè)計問題時就有了方向，學(xué)生的思考就有了目標(biāo)，為推導(dǎo)模型的建立指明了方向。下面以“乘法的初步認(rèn)識”為例進(jìn)行解讀。（一）整體解讀，直指單元本質(zhì)新課標(biāo)指出：通過感悟數(shù)的運算及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)的一致性，形成運算能力和推理意識。“乘法的初步認(rèn)識”一課，學(xué)生通過在具體情境中運用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程，感悟乘法模型的意義，形成模型意識，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識到乘法是一種簡化的加法運算。感受乘法和加法內(nèi)在的一致性，是求幾個相同加數(shù)的和是多少。所以本課核心素養(yǎng)聚焦在“推理意識”“模型意識”兩個核心詞上?！俺朔ǖ某醪秸J(rèn)識”這個部分，是學(xué)生對乘法運算概念的首次觸碰和理解，是學(xué)習(xí)乘法、除法以及多位數(shù)的乘除法的基石，同時也是增強(qiáng)學(xué)生運算能力的重要步驟。在教學(xué)過程中，我們通過豐富且生動的直觀表象，輔助學(xué)生構(gòu)筑乘法模型的理解。我們將一連串的同加數(shù)相加的運算抽象為“幾個幾”的表述方式，進(jìn)而構(gòu)建起加法運算式與乘法運算式之間的聯(lián)系。（二）前后勾連，形成整體模型構(gòu)架在學(xué)生已經(jīng)熟練掌握“加法”及“100以內(nèi)加減法”的基礎(chǔ)之上，開始深入研究“乘法的初步認(rèn)識”?，F(xiàn)階段，學(xué)生已經(jīng)成功地建立了加法模型，即幾個數(shù)相加就是把幾個數(shù)合起來，且他們能準(zhǔn)確地完成基礎(chǔ)的加法運算。在接觸這節(jié)課之前，有一部分學(xué)生已經(jīng)通過多種途徑對乘法有了直觀的理解，還有一些學(xué)生已經(jīng)通過各種方法記住了乘法表。然而，他們對乘法含義的理解相對寬泛，需要借助直觀表象，以及連加的加法表達(dá)式，初步了解乘法模型。建立模型的過程包含：從實際生活或特定情境中提煉數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)符號構(gòu)建等式來描繪數(shù)量關(guān)系，推導(dǎo)答案并剖析答案的意義。這些步驟能幫助學(xué)生開始形成模型思維，提升他們對數(shù)學(xué)的興趣和實踐觀念。教材應(yīng)遵循課程內(nèi)容，排列出利用現(xiàn)存知識和經(jīng)驗進(jìn)行解決問題的任務(wù)。這類任務(wù)應(yīng)以“問題情境——建?！鉀Q驗證”作為流程，這一流程有助于理解和掌握相關(guān)知識技能，感受數(shù)學(xué)思維，積累實踐經(jīng)驗。三、圍繞本質(zhì)，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型學(xué)生對于乘法其實并不陌生，那么，怎么讓學(xué)生的認(rèn)識從加法過渡到乘法，在思考中真正掌握知識的“生長點”與“延伸點”？這是我們每一位教師在用新課標(biāo)指引下進(jìn)行教學(xué)設(shè)計時都應(yīng)該思考的問題。選擇學(xué)生熟悉的生活素材，讓他們體會乘法的由來。通過多元的表征方法，幫助學(xué)生理解加法與乘法的關(guān)系，初步感受乘法的意義，體會乘法的簡便性。（一）問題引領(lǐng)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程教師可直接出示教材游樂園主題圖（見圖2），并引導(dǎo)學(xué)生從圖中找到數(shù)學(xué)信息，提出數(shù)學(xué)問題。從問題“小飛機(jī)里面一共有多少人？”入手，預(yù)設(shè)學(xué)生會出現(xiàn)以下幾種方法。方法一：每架小飛機(jī)里的人數(shù)相同，都是3人。于是3個3個數(shù)，并且把每3人圈了起來，數(shù)出15人。方法二：列出連加法算式求出一共有多少人。3+3+3+3+3=15。此時，可借助學(xué)生匯報的契機(jī)進(jìn)行追問：你能用一句話讓我一聽就明白嗎？學(xué)生會總結(jié)出——5個3相加。利用加數(shù)數(shù)量多的特點，巧妙地在讀法中鋪墊乘法的意義，5個3相加是15。這為學(xué)生塑造了關(guān)于幾個幾相加的表象，為之后深化乘法含義提煉打下堅實的基礎(chǔ)。接下來按此方法將學(xué)生提出的問題依次進(jìn)行分析，列式計算。“過山車有多少人？”學(xué)生已經(jīng)建立了幾個幾的表象，發(fā)現(xiàn)圖中有7個2，直接列出連加法算式：2+2+2+2+2+2+2=14。此時，讓學(xué)生的思維進(jìn)一步延伸：如果過山車增加一排座位呢？那就是8個2相加，如果增加到20排座位呢？那就是20個2相加?；蛘咴黾痈嗟淖?，你還想繼續(xù)列出連加算式嗎？學(xué)生會提出不想，因為太麻煩，想用幾個2來表示，或者直接有學(xué)生提出可以用乘法。由此揭示乘法，幫助學(xué)生初步建立乘法模型。（二）結(jié)果解釋，感悟建模的意義我們分析問題、解決問題的過程，就是靈活運用學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維并再創(chuàng)造的過程。這個過程，既需要正向的、發(fā)散的思維，又需要逆向的、收斂的思維，正逆向思維的結(jié)合處，就是問題得以解決的關(guān)鍵節(jié)點。加深學(xué)生對乘法含義的把握，根據(jù)乘法的含義構(gòu)建“乘法模型”，嘗試多種方法理解乘法的本質(zhì)，在進(jìn)行數(shù)學(xué)活動的累積過程中，充實數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。進(jìn)一步理解乘法算式中2和7的含義。可設(shè)計這樣幾個核心問題。1.乘法算式會讀了，那算式中的2在圖中表示什么，能找到嗎？2.能從加法算式中找到2嗎？3.能在圖中找到7嗎？4.能在加法算式中找到7嗎？深刻理解7是2的個數(shù)。7在圖中表示7節(jié)車廂，在加法算式中是2的個數(shù)。引領(lǐng)和深入的問題使乘法算式的每個部分變得更細(xì)致，逐步揭示“2”和“7”，為理解創(chuàng)建基礎(chǔ)。目標(biāo)在于加強(qiáng)“相同加數(shù)”的概念以及它們在乘法算式中的數(shù)量的理解，讓學(xué)生認(rèn)識到乘法其實是加法的延伸，含義相同，只是更加簡潔明了，突出了乘法意義的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識。（三）多種維度，驗證乘法模型數(shù)學(xué)建模要引導(dǎo)學(xué)生在實際生活中探尋知識的根本，利用數(shù)形結(jié)合去理解數(shù)量關(guān)系，同時在多元表征中拓展概念的形象。理清學(xué)生的思路，深化學(xué)生對乘法意義的理解：一個乘法算式可以表示兩層含義。出示方格圖（見圖3），每個方格站一人，一共有多少人？分別列出加法算式和乘法算式。經(jīng)過對比和研究，學(xué)生察覺到同一情境可以被表述為不同的加法算式以及相同的乘法算式。比如，以橫向視角觀察，每行有5個，有這樣的4行，此時可以用加法表達(dá)為：5+5+5+5，或者乘法表達(dá)為：4×5或5×4。而從豎向?qū)Ρ龋梢砸暈槊苛泻?個，有這樣的5列，加法的表達(dá)形式是：4+4+4+4+4，而乘法仍舊