傳感器技術(shù) 課件 第2章 傳感器的特性

第2章

傳感器的特性傳感器的特性是指?jìng)鞲衅魉赜行再|(zhì)的總稱；傳感器的基本特性是指?jìng)鞲衅鞯妮敵?-輸入特性；靜態(tài)特性是指當(dāng)被測(cè)量(輸入量)為常量或變化極慢（穩(wěn)定狀態(tài)）時(shí)傳感器的輸出--輸入特性（函數(shù)描述方式）；信號(hào)不隨時(shí)間變化動(dòng)態(tài)特性是指當(dāng)被測(cè)量(輸入量)隨時(shí)間較快地變化時(shí)傳感器的輸出--輸入特性。

（微分方程描述）信號(hào)隨時(shí)間變化2.1傳感器的靜態(tài)特性3

傳感器的靜態(tài)特性是指被測(cè)量的值處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的輸出與輸入的關(guān)系。（動(dòng)態(tài)平衡）傳感器的靜態(tài)特性可以用一組性能指標(biāo)來(lái)描述，其主要指標(biāo)：線性度、遲滯、重復(fù)性、靈敏度與靈敏度誤差、分辨率與閾值、穩(wěn)定性、溫度穩(wěn)定性、靜態(tài)誤差、多種抗干擾能力等。4式中：a0——輸入量x為零時(shí)的輸出量；

a1——傳感器的靈敏度，常用K表示。a2，…，an——

非線性項(xiàng)系數(shù)。各項(xiàng)系數(shù)決定了特性曲線的具體形式。

式中：y—輸出量；x—輸入量；a0—零位（點(diǎn)）輸出；

a1—理論靈敏度；a2、a3、…、an—非線性項(xiàng)系數(shù)。傳感器的輸出與輸入關(guān)系：對(duì)靜態(tài)特性而言，傳感器的輸入量x與輸出量y之間的關(guān)系通常可用一個(gè)如下的多項(xiàng)式表示：（忽略遲滯、蠕變等因素）

y=a0+a1x+a2x2+…+anxn

當(dāng)a0=0時(shí)，由上多項(xiàng)式方程獲得的靜態(tài)特性經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，此時(shí)，靜態(tài)特性有線性項(xiàng)（a1X）和非線性項(xiàng)(a2X2,a3X3,...,anXn）疊加而成。

（1）理想線性Y=a1X（2）具有X奇次項(xiàng)的非線性Y=a1X+a3X3+a5X5+......（3）具有X偶次項(xiàng)的非線性Y=a1X+a2X2+a4X4+a6X6......（4）具有X奇、偶次項(xiàng)的非線性Y=a1X+a2X2+a3X3+......各項(xiàng)系數(shù)不同，決定了特性曲線的具體形式。4種典型情況（回顧）a理想線性bx奇次項(xiàng)的非線性cx偶次項(xiàng)的非線性dx奇、偶次項(xiàng)的非線性y=a1xy=a1x+a3x3+…y=a1x+a2x2+a4x4…

y=a1x+a2x2+…+anxn

1、線性度

靜態(tài)特性曲線可實(shí)際測(cè)試獲得(后面稱之為校準(zhǔn)曲線)。即（*）

在獲得（用標(biāo)準(zhǔn)儀器，逐一定點(diǎn)連線）特性曲線（*）式之后，可以說(shuō)問(wèn)題已經(jīng)得到解決。那為什么還要研究線性度呢？——為了標(biāo)定和數(shù)據(jù)處理的方便，希望得到線性關(guān)系。（*）式中a2，…，an這些非線性項(xiàng)系數(shù)均為0，得到

y=a0+a1x

，才是最理想的。傳感器的線性度是指?jìng)鞲衅鞯妮敵雠c輸入之間數(shù)量關(guān)系的線性程度。y=a0+a1x+a2x2+…+anxn

理想情況——線性，實(shí)際情況——非線性。在實(shí)際使用中處理辦法：

①引入各種非線性補(bǔ)償環(huán)節(jié)（把曲線“掰”成直線），如采用差動(dòng)技術(shù)。

②計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行線性化處理。

③直線擬合：用一條直線（切線或割線）近似地代表實(shí)際曲線的一段，使傳感器輸入輸出特性線性化，所采用的直線稱為擬合直線。簡(jiǎn)言之就是用直線代替曲線。

傳感器的線性度取決于在全量程范圍內(nèi)校準(zhǔn)曲線（實(shí)際測(cè)試曲線）與擬合直線之間的最大偏差值和輸出的量程。

量程：又稱滿度值，是指系統(tǒng)能夠承受的最大輸出值與最小輸出值之差。如圖中yFS所示（上圖）

擬合直線校準(zhǔn)曲線式中：yFS——滿量程輸出值。Δymax——最大非線性絕對(duì)誤差；線性度也稱為非線性誤差，通常用相對(duì)誤差來(lái)表示，即：線性度：指系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)輸入輸出特性（校準(zhǔn)曲線或標(biāo)定曲線）與擬合直線的不一致程度，也稱非線性誤差（或線性誤差）。δL=±（B/A）×100%其中，

δL是線性度；B是傳感器實(shí)際靜態(tài)特性曲線與擬合直線間的最大偏差；

A是滿量程輸出。線性度指標(biāo)越小，說(shuō)明實(shí)際曲線與理論擬合直線之間的偏差越小。

直線擬合線性化出發(fā)點(diǎn)獲得最小的非線性誤差擬合方法：①理論擬合；②過(guò)零旋轉(zhuǎn)擬合；③端點(diǎn)連線擬合；④端點(diǎn)連線平移擬合；⑤最小二乘擬合；

圖2-1曲線擬合圖2-2

理論擬合圖2-3

過(guò)零旋轉(zhuǎn)擬合圖2-5

端點(diǎn)平移擬合圖2-4

端點(diǎn)連線擬合①理論擬合擬合直線為傳感器的理論特性，與實(shí)際測(cè)試值無(wú)關(guān)。方法十分簡(jiǎn)單，但一般說(shuō)Δymax較大②過(guò)零旋轉(zhuǎn)擬合曲線過(guò)零的傳感器。擬合時(shí)，使③端點(diǎn)連線擬合（端基法）把輸出曲線兩端點(diǎn)的連線作為擬合直線xy④端點(diǎn)連線平移擬合在端點(diǎn)連線擬合基礎(chǔ)上使直線平移，移動(dòng)距離為原先Δymax的一半，新的Δymax也只有原來(lái)的一半。設(shè)擬合直線方程：0yyixy=kx+bxI最小二乘擬合法⑤最小二乘法擬合y=kx+b若實(shí)際校準(zhǔn)測(cè)試點(diǎn)有n個(gè)，則第i個(gè)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)與擬合直線上響應(yīng)值之間的殘差為最小二乘法擬合直線的原理就是使為最小值，即Δi=yi-(kxi+b)對(duì)k和b一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，求出b和k的表達(dá)式即得到k和b的表達(dá)式將k和b代入擬合直線方程，即可得到擬合直線，然后求出殘差的最大值Lmax即為非線性誤差。例題：已知傳感器靜態(tài)特性方程

（實(shí)測(cè)曲線），試分別用端點(diǎn)擬合(端基法)、理論擬合（切線法）、及最小二乘法，在0＜X＜1范圍內(nèi)擬合直線方程，并求出相應(yīng)的線性度指標(biāo)（非線性誤差）。

解：（1）端點(diǎn)擬合（端基法）：在測(cè)量?jī)牲c(diǎn)（0,1）（1，e）間連直線為擬合直線y=a0+kx。則a0=1，得端基法刻度直線方程為y=1.718x+1（為求最大值△Lmax產(chǎn)生在哪一點(diǎn)）

由:（上式中，擬合直線與實(shí)際曲線的誤差值：△L=ex-(1.718x+1)將△L看作x的函數(shù)，在其最大值△Lmax產(chǎn)生的那一點(diǎn)處，△L對(duì)x求導(dǎo)為0，所以列出上式）

解方程得x=0.5413△Lmax=|ex-（1.718x+1）|x=0.5413=0.2118端點(diǎn)擬合的非線性誤差

（注意：yFS是從1到e,而不是從0到e）（2）切線法：切線過(guò)（0，1）點(diǎn)，即校準(zhǔn)曲線的起始點(diǎn)。經(jīng)（0，1）點(diǎn)做切線，切線斜率y’=ex|x=0=1切線方程為：y=x+1

最大非線性誤差為：理論擬合的相對(duì)非線性誤差：（3）最小二乘法：（理解）根據(jù)計(jì)算公式將測(cè)量范圍分成8等份，N=9，列表如下：

分別計(jì)算得：∑X=4.5，∑Y=15.623，∑XY=9.4051，∑X2=3.1874X00.1250.2500.3750.5000.6250.7500.8751.000Y11.1331.2841.4551.6491.8682.1172.3992.718X200.01560.06250.14060.25000.39060.56250.76561.0000XY00.14160.32100.54560.82451.16751.58782.09912.7180根據(jù)最小二乘法公式：所求的最小二乘法擬合直線方程為

y=1.7000x+0.8859由

解出X=0.5306，則得最小二乘法線性度此題計(jì)算結(jié)果表明：最小二乘法擬合的直線非線性誤差值最小。因而此法擬合精度最高，在計(jì)算過(guò)程中若N取值越大，則擬合直線非線性誤差值越小。2．遲滯式中△Hmax—正反行程間輸出的最大差值。

回程誤差常用絕對(duì)誤差表示。檢測(cè)回程誤差時(shí)，可選擇幾個(gè)測(cè)試點(diǎn)。對(duì)應(yīng)于每一輸入信號(hào)，傳感器正行程及反行程中輸出信號(hào)差值的最大者即為回程誤差。

定義：

傳感器在正(輸入量增大)反(輸入量減小)行程中輸出輸入曲線不重合現(xiàn)象稱為遲滯。(2)遲滯誤差:又稱回程誤差(回差)，一般以滿量程輸出的百分?jǐn)?shù)表示,即3重復(fù)性（不重復(fù)性）重復(fù)性誤差可用正反行程的最大偏差表示，即重復(fù)性是指?jìng)鞲衅髟谳斎氚赐环较蜻B續(xù)多次變動(dòng)時(shí)所得特性曲線不一致的程度。

重復(fù)性誤差也常用絕對(duì)誤差表示。檢測(cè)時(shí)也可選取幾個(gè)測(cè)試點(diǎn)，對(duì)應(yīng)每一點(diǎn)多次從同一方向趨近，獲得輸出值系列yi1，yi2，yi3，…，yin

，算出最大值與最小值之差或3σ（標(biāo)準(zhǔn)誤差或均方根誤差）作為重復(fù)性偏差ΔRi，在幾個(gè)ΔRi中取出最大值ΔRmax

作為重復(fù)性誤差?！鱎max1正行程的最大重復(fù)性偏差，△Rmax2反行程的最大重復(fù)性偏差。4．靈敏度與靈敏度誤差由于某種原因，會(huì)引起靈敏度變化，產(chǎn)生靈敏度誤差。靈敏度誤差用相對(duì)誤差表示，即可見(jiàn)，傳感器輸出曲線的斜率就是其靈敏度。對(duì)線性特性的傳感器，其特性曲線的斜率處處相同，靈敏度k是一常數(shù)，與輸入量大小無(wú)關(guān)。傳感器輸出的變化量y與引起該變化量的輸入變化量x之比即為其靜態(tài)靈敏度，其表達(dá)式為

非線性傳感器：的靈敏度用dY/dX表示，其數(shù)值為擬合直線斜率。見(jiàn)圖b:

線性傳感器：校準(zhǔn)曲線斜率即為靈敏度，可用S或K表示。圖a:

分辨力用絕對(duì)值表示，用與滿量程的百分?jǐn)?shù)表示時(shí)稱為分辨率。

在傳感器輸入零點(diǎn)附近的分辨力稱為閾值。閾值在工程上通常叫死區(qū)，它指檢測(cè)系統(tǒng)在量程零點(diǎn)（或起始點(diǎn)）處能引起輸出量發(fā)生變化的最小輸入量。工程使用過(guò)程中通常均希望減小閾值，對(duì)數(shù)字儀表來(lái)說(shuō)閾值應(yīng)小于數(shù)字儀表最低位的二分之一。5．分辨力（率）與閾值分辨力是指?jìng)鞲衅髂軝z測(cè)到的最小的輸入增量。有些傳感器,當(dāng)輸入量連續(xù)變化時(shí),輸出量只作階梯變化，則分辨力就是輸出量的每個(gè)“階梯”所代表的輸入量的大小。

分辨力用絕對(duì)值表示，用與滿量程的百分?jǐn)?shù)表示時(shí)稱為分辨率。

例：某溫度變送器（輸出為標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)4~20mA）在溫度變化時(shí)，輸出的順序跳變值為0.01mA。問(wèn)其分辨力和分辨率分別是多少？解：輸出量的每個(gè)“階梯”就是輸出的順序跳變值，所以分辨力為0.01mA。分辨率=分辨力/量程=0.01/（20-4）=1/1600對(duì)于輸出為數(shù)字量的傳感器，分辨率可以定義為一個(gè)量化單位所對(duì)應(yīng)的輸入增量，如圖所示。注：因圖中數(shù)字為二進(jìn)制，分辨力為1

6．穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是指?jìng)鞲衅髟陂L(zhǎng)時(shí)間工作的情況下輸出量發(fā)生的變化，有時(shí)稱為長(zhǎng)時(shí)間工作穩(wěn)定性或零點(diǎn)漂移。

穩(wěn)定性誤差：測(cè)試時(shí)先將傳感器輸出調(diào)至零點(diǎn)或某一特定點(diǎn)，相隔4h、8h或一定的工作次數(shù)后，再讀出輸出值，前后兩次輸出值之差即為穩(wěn)定性誤差。它可用相對(duì)誤差表示，也可用絕對(duì)誤差表示。

如一傳感器輸出電壓在8小時(shí)內(nèi)的變化量為1.3mV，則系統(tǒng)的穩(wěn)定度為1.3mV/8h；還可以利用影響量表示，即在外部環(huán)境和工作條件變化時(shí)而引起輸出值的變化，如某傳感器由于電源變化10%而引起輸出輸出值變化0.02mA，則應(yīng)寫(xiě)成0.02mA/(u10%)測(cè)試時(shí)先將傳感器置于一定溫度(如20℃),將其輸出調(diào)至零點(diǎn)或某一特定點(diǎn)，使溫度上升或下降一定的度數(shù)(如5℃或10℃),再讀出輸出值，前后兩次輸出值之差即為溫度穩(wěn)定性誤差。7．溫度穩(wěn)定性溫度穩(wěn)定性又稱為溫度漂移，是指?jìng)鞲衅髟谕饨鐪囟认螺敵隽堪l(fā)生的變化。溫度穩(wěn)定性誤差用溫度每變化若干℃的絕對(duì)誤差或相對(duì)誤差表示。每℃引起的傳感器誤差又稱為溫度誤差系數(shù)。傳感器無(wú)輸入(或某一輸入值不變)時(shí)，每隔一段時(shí)間進(jìn)行讀數(shù)，其輸出偏離零值(或原指示值)，即為零點(diǎn)漂移(簡(jiǎn)稱零漂)。溫漂表示溫度變化時(shí)，傳感器輸出值的偏離程度，一般用溫度變化1℃，輸出最大偏差與滿量程的百分比表示

8．抗干擾穩(wěn)定性傳感器的抗干擾穩(wěn)定性是指?jìng)鞲衅鲗?duì)外界干擾的抵抗能力，例如抗沖擊和振動(dòng)的能力、抗潮濕的能力、抗電磁場(chǎng)干擾的能力等。評(píng)價(jià)這些能力比較復(fù)雜，一般也不易給出數(shù)量概念，需要具體問(wèn)題具體分析。

9．靜態(tài)誤差取2σ和3σ值即為傳感器的靜態(tài)誤差。靜態(tài)誤差也可用相對(duì)誤差來(lái)表示，也可用幾個(gè)單項(xiàng)誤差綜合而得，即

靜態(tài)誤差的求取方法如下：把全部輸出數(shù)據(jù)與擬合直線上對(duì)應(yīng)值的殘差,看成是隨機(jī)分布,求出其標(biāo)準(zhǔn)偏差,即

靜態(tài)誤差是指?jìng)鞲衅髟谄淙砍虄?nèi)任一點(diǎn)的輸出值與其理論值（或標(biāo)準(zhǔn)值）的偏離程度?！鱵i—各測(cè)試點(diǎn)的殘差；

n一測(cè)試點(diǎn)數(shù)。

傳感器的動(dòng)態(tài)特性是指輸入量隨時(shí)間變化時(shí)傳感器的響應(yīng)特性。實(shí)際應(yīng)用中，大量的被測(cè)信號(hào)是動(dòng)態(tài)信號(hào)（即被測(cè)信號(hào)是在隨時(shí)間變化的），那么傳感器的輸出要良好地跟隨輸入量的變化。研究動(dòng)態(tài)特性方法：時(shí)域的瞬態(tài)響應(yīng)法；頻域的頻率響應(yīng)法。評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)：動(dòng)態(tài)特性好的傳感器應(yīng)具有很短的暫態(tài)響應(yīng)時(shí)間或者應(yīng)具有很寬的頻率響應(yīng)特性。2.2傳感器的動(dòng)態(tài)特性

為了說(shuō)明傳感器的動(dòng)態(tài)特性，下面簡(jiǎn)要介紹動(dòng)態(tài)測(cè)溫的問(wèn)題。當(dāng)被測(cè)溫度隨時(shí)間變化或傳感器突然插入被測(cè)介質(zhì)中，以及傳感器以掃描方式測(cè)量某溫度場(chǎng)的溫度分布等情況時(shí)，都存在動(dòng)態(tài)測(cè)溫問(wèn)題。如把一支熱電偶從溫度為t0℃環(huán)境中迅速插入一個(gè)溫度為t1℃的恒溫水槽中（插入時(shí)間忽略不計(jì)），這時(shí)熱電偶測(cè)量的介質(zhì)溫度從t0突然上升到t1，而熱電偶反映出來(lái)的溫度從t0℃變化到t1℃需要經(jīng)歷一段時(shí)間，即有一段過(guò)渡過(guò)程，如圖2-8所示。熱電偶反映出來(lái)的溫度與其介質(zhì)溫度的差值就稱為動(dòng)態(tài)誤差。

一個(gè)動(dòng)態(tài)特性好的傳感器，其輸出將再現(xiàn)輸入量的變化規(guī)律，即具有相同的時(shí)間函數(shù)。實(shí)際的傳感器，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的差異稱作動(dòng)態(tài)誤差。

集中參數(shù)模型中模型的各變量與空間位置無(wú)關(guān)，而把變量看作在整個(gè)系統(tǒng)中是均一的，對(duì)于穩(wěn)態(tài)模型，其為代數(shù)方程，而把變量看作在整個(gè)系統(tǒng)中是均一的，對(duì)于穩(wěn)態(tài)模型，其為代數(shù)方程，對(duì)于動(dòng)態(tài)模型，則為常微分方程。

對(duì)于線性的集中參數(shù)對(duì)象

通?？捎糜邢揠A的常系數(shù)線性微分方程式來(lái)描述，如果以x（t）表示輸入量，y（t）表示輸出量，則對(duì)象特性可用下列微分方程式來(lái)描述

n>m，為什么？在允許的范圍內(nèi)，多數(shù)過(guò)程對(duì)象動(dòng)態(tài)特性可以忽略輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)可表示為

（2-1）測(cè)量不失真的條件

輸入x（t），輸出y（t）y(t)=Ax（t-t0）A，t0均為常數(shù)

則y（t）為不失真輸出。

輸出與輸入完全一致時(shí)，

A=1，t0=0，幅值一致，無(wú)相位差。畫(huà)圖說(shuō)明

1.傳感器的基本動(dòng)態(tài)特性方程

傳感器的種類和形式很多，但它們的動(dòng)態(tài)特性一般都可以用下述的微分方程來(lái)描述：

式中，a0、a1、…,an,b0、b1、….,bm是與傳感器的結(jié)構(gòu)特性有關(guān)的常系數(shù)。1）零階系統(tǒng)在方程式中的系數(shù)除了a0、b0之外，其它的系數(shù)均為零，則微分方程就變成簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，即a0y(t)=b0x(t)通常將該代數(shù)方程寫(xiě)成y(t)=kx(t)式中，k=b0/a0為傳感器的靜態(tài)靈敏度或放大系數(shù)。傳感器的動(dòng)態(tài)特性用方程式來(lái)描述的就稱為零階系統(tǒng)。

零階系統(tǒng)具有理想的動(dòng)態(tài)特性，無(wú)論被測(cè)量x(t)如何隨時(shí)間變化，零階系統(tǒng)的輸出都不會(huì)失真，其輸出在時(shí)間上也無(wú)任何滯后，所以零階系統(tǒng)又稱為比例系統(tǒng)。在工程應(yīng)用中，電位器式的電阻傳感器、變面積式的電容傳感器及利用靜態(tài)式壓力傳感器測(cè)量液位均可看作零階系統(tǒng)。

零階傳感器，其輸入量無(wú)論隨時(shí)間如何變化，其輸出量的幅值總是與輸入量成確定的比例關(guān)系，在時(shí)間上也不滯后，幅角φ等于零。所以零階傳感器的動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)就是靜態(tài)特性指標(biāo)。2）一階系統(tǒng)若在方程式（2-8）中的系數(shù)除了a0、a1與b0之外，其它的系數(shù)均為零，則微分方程為上式通常改寫(xiě)成為

式中：τ——傳感器的時(shí)間常數(shù)，τ=a1/a0；

k——傳感器的靜態(tài)靈敏度或放大系數(shù)，k=b0/a0。時(shí)間常數(shù)τ具有時(shí)間的量綱，它反映傳感器的慣性的大小，靜態(tài)靈敏度則說(shuō)明其靜態(tài)特性。用方程式描述其動(dòng)態(tài)特性的傳感器就稱為一階系統(tǒng)，一階系統(tǒng)又稱為慣性系統(tǒng)。如前面提到的不帶套管熱電偶測(cè)溫系統(tǒng)、電路中常用的阻容濾波器等均可看作為一階系統(tǒng)。熱學(xué)系統(tǒng)電學(xué)系統(tǒng)力學(xué)系統(tǒng)

一階系統(tǒng)實(shí)例3）二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)的微分方程為二階系統(tǒng)的微分方程通常改寫(xiě)為式中：k——傳感器的靜態(tài)靈敏度或放大系數(shù)，k=b0/a0；

ξ——傳感器的阻尼系數(shù)，

ωn——傳感器的固有頻率，

根據(jù)二階微分方程特征方程根的性質(zhì)不同，二階系統(tǒng)又可分為：①二階慣性系統(tǒng)：其特點(diǎn)是特征方程的根為兩個(gè)負(fù)實(shí)根，它相當(dāng)于兩個(gè)一階系統(tǒng)串聯(lián)。②二階振蕩系統(tǒng)：其特點(diǎn)是特征方程的根為一對(duì)帶負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根。帶有套管的熱電偶、電磁式的動(dòng)圈儀表及RLC振蕩電路等均可看作為二階系統(tǒng)。

根據(jù)二階微分方程特征方程根的性質(zhì)不同，二階系統(tǒng)又可分為：①二階慣性系統(tǒng)：其特點(diǎn)是特征方程的根為兩個(gè)負(fù)實(shí)根，它相當(dāng)于兩個(gè)一階系統(tǒng)串聯(lián)。②二階振蕩系統(tǒng)：其特點(diǎn)是特征方程的根為一對(duì)帶負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根。帶有套管的熱電偶、電磁式的動(dòng)圈儀表及RLC振蕩電路等均可看作為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)實(shí)例傳感器的傳遞函數(shù)若檢測(cè)系統(tǒng)屬于線性時(shí)不變系統(tǒng)，初始條件為零，則把系統(tǒng)輸出（響應(yīng)函數(shù)）Y（t）的拉氏變換Y（s）與檢測(cè)系統(tǒng)輸入（激勵(lì)函數(shù)）X（t）的拉氏變換X（s）之比稱為檢測(cè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H（s）。在初始t=0時(shí)，滿足輸出Y（t）=0，X（t）=0，以及它們對(duì)時(shí)間的各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零的初始條件，在微分方程中用S代替微分運(yùn)算，用1/S代替積分運(yùn)算，則測(cè)量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身各環(huán)節(jié)固有特性的反映，它不受輸入信號(hào)影響，包含了瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)時(shí)間和頻率響應(yīng)的全部信息；同一傳遞函數(shù)可以表征多個(gè)響應(yīng)特性相似但具體物理結(jié)構(gòu)和形式不同的傳感器。

把檢測(cè)系統(tǒng)的輸出Y（t）的傅立葉變換Y（jω）與輸入X（t）的傅立葉變換X（jω）之比稱為檢測(cè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，簡(jiǎn)稱頻率特性。通常用H（jω）來(lái)表示。由此轉(zhuǎn)換得到測(cè)量系統(tǒng)的頻率特性H（jω）：頻率響應(yīng)函數(shù)是在頻率域中反映測(cè)量系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也被稱為正弦傳遞函數(shù)。

2.傳感器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性

傳感器的動(dòng)態(tài)特性不僅與傳感器的“固有因素”有關(guān)，還與傳感器輸入量的變化形式有關(guān)。也就是說(shuō)，同一個(gè)傳感器在不同形式的輸入信號(hào)作用下，輸出量的變化是不同的，通常選用幾種典型的輸入信號(hào)作為標(biāo)準(zhǔn)輸入信號(hào)，研究傳感器的響應(yīng)特性。

一：瞬態(tài)響應(yīng)特性（過(guò)渡過(guò)程中某一時(shí)刻的輸出響應(yīng)）

傳感器的瞬態(tài)響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)。在研究傳感器的動(dòng)態(tài)特性時(shí)，有時(shí)需要從時(shí)域中對(duì)傳感器的響應(yīng)和過(guò)渡過(guò)程進(jìn)行分析，這種分析方法稱為時(shí)域分析法。傳感器在進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，用得比較多的標(biāo)準(zhǔn)輸入信號(hào)有階躍信號(hào)和脈沖信號(hào)，傳感器的輸出瞬態(tài)響應(yīng)分別稱為階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng)。求解微分方程簡(jiǎn)便易行的方式是用拉氏變換建立傳遞函數(shù)，然后進(jìn)行反拉氏變換。

(1)一階傳感器的單位階躍響應(yīng)一階傳感器的微分方程為設(shè)傳感器的靜態(tài)靈敏度k=1，寫(xiě)出它的傳遞函數(shù)為對(duì)初始狀態(tài)為零的傳感器，若輸入一個(gè)單位階躍信號(hào)，即t≤0t>0輸入信號(hào)x(t)的拉氏變換為思考：非單位階躍，階躍幅值為A呢？一階傳感器的單位階躍響應(yīng)拉氏變換式為對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，可得一階傳感器的單位階躍響應(yīng)信號(hào)為當(dāng)K不為1時(shí)，如輸入信號(hào)x(t)的拉氏變換為一階傳感器的單位階躍響應(yīng)拉氏變換式為進(jìn)行拉氏反變換，可得一階傳感器的單位階躍響應(yīng)信號(hào)為或者：

（t=0時(shí)，系統(tǒng)輸出的初始值不為0，是y(0)）討論：階躍變化幅值為A時(shí)的輸出

相應(yīng)的響應(yīng)曲線如圖所示。由圖可見(jiàn)，傳感器存在慣性，它的輸出不能立即復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，而是從零開(kāi)始，按指數(shù)規(guī)律上升，最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。理論上傳感器的響應(yīng)只在t趨于無(wú)窮大時(shí)才達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，但通常認(rèn)為響應(yīng)時(shí)間t=（3～4）τ時(shí)，如當(dāng)t=4τ時(shí)其輸出就可達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98.2%，可以認(rèn)為已達(dá)到穩(wěn)態(tài)。所以，一階傳感器的時(shí)間常數(shù)τ越小，響應(yīng)越快，響應(yīng)曲線越接近于輸入階躍曲線，即動(dòng)態(tài)誤差小。因此，τ值是一階傳感器重要的性能參數(shù)。例：用y表示輸出電壓（mV），x代表輸入的溫度（℃），某一溫度傳感器（儀表）的微分方程為：1）求此溫度儀表的時(shí)間常數(shù)與靈敏度。2）將此儀表從冰水混合物中取出，開(kāi)始測(cè)

25℃的室溫，寫(xiě)出輸出y的階躍響應(yīng)表達(dá)式。解：①由已知得

時(shí)間常數(shù)是S

靈敏度是

②相當(dāng)于給測(cè)溫儀表一個(gè)25℃的階躍輸入，其輸出為：

例：在幅值為10的階躍函數(shù)作用下，一階傳感器在t=0時(shí)，輸出為50mV；在t=15s時(shí)，輸出為110mV；在t→∞時(shí)，輸出為170mV。試求：①該傳感器的輸出表達(dá)式。②假設(shè)因某原因造成測(cè)量滯后，滯后時(shí)間為3s,當(dāng)t=46.3s時(shí)，輸出為多少mV？解：①y=KA（1-e-t/T）+y0t=0,y=50mV∴y0=50mV幅值為10,t→∞,y=170mV∴K=12110=120（1-e-15/T）+50∴T=21.65（s）∴y=120（1-e-t/21.65）+50②據(jù)題意滯后時(shí)間=3s，∴t=46.3s時(shí)，響應(yīng)時(shí)間為43.3s=2T∴y=120（1-e-2）+50=153.8（mV）（2）二階傳感器的單位階躍響應(yīng)二階傳感器的微分方程為設(shè)傳感器的靜態(tài)靈敏度k=1，其二階傳感器的傳遞函數(shù)為傳感器輸出的拉氏變換為二階傳感器的單位階躍響應(yīng)圖

上圖二階傳感器的單位階躍響應(yīng)曲線，二階傳感器對(duì)階躍信號(hào)的響應(yīng)在很大程度上取決于阻尼比ξ和固有角頻率ωn。ξ=0時(shí)，特征根為一對(duì)虛根，階躍響應(yīng)是一個(gè)等幅振蕩過(guò)程，這種等幅振蕩狀態(tài)又稱為無(wú)阻尼狀態(tài)；ξ>1時(shí)，特征根為兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根，階躍響應(yīng)是一個(gè)不振蕩的衰減過(guò)程，這種狀態(tài)又稱為過(guò)阻尼狀態(tài)；ξ=1時(shí)，特征根為兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根，階躍響應(yīng)也是一個(gè)不振蕩的衰減過(guò)程，但是它是一個(gè)由不振蕩衰減到振蕩衰減的臨界過(guò)程，故又稱為臨界阻尼狀態(tài)；0<ξ<1時(shí)，特征根為一對(duì)共軛復(fù)根，階躍響應(yīng)是一個(gè)衰減振蕩過(guò)程，在這一過(guò)程中ξ值不同，衰減快慢也不同，這種衰減振蕩狀態(tài)又稱為欠阻尼狀態(tài)。

阻尼比ξ直接影響超調(diào)量和振蕩次數(shù)，為了獲得滿意的瞬態(tài)響應(yīng)特性，實(shí)際使用中常按稍欠阻尼調(diào)整，對(duì)于二階傳感器取ξ=0.6～0.8之間，則最大超調(diào)量不超過(guò)10%，趨于穩(wěn)態(tài)的調(diào)整時(shí)間也最短，約為（3～4）/(ξω)。（ξ=0.707是最優(yōu)值）

固有頻率ωn由傳感器的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，固有頻率ωn也即等幅振蕩的頻率，ωn越高，傳感器的響應(yīng)也越快。

（3）傳感器的時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)敘述如下：①

時(shí)間常數(shù)τ：一階傳感器輸出上升到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需的時(shí)間,稱為時(shí)間常數(shù)。（注意，概念對(duì)應(yīng)初始值為0，不為0呢？）②延遲時(shí)間td：傳感器輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時(shí)間。③上升時(shí)間tr：傳感器輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時(shí)間。④峰值時(shí)間tp：二階傳感器輸出響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。⑤超調(diào)量σ：二階傳感器輸出超過(guò)穩(wěn)態(tài)值的最大值。⑥衰減比d：衰減振蕩的二階傳感器輸出響應(yīng)曲線第一個(gè)峰值與第二個(gè)峰值之比。一階傳感器的時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)二階傳感器的時(shí)域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

二：

頻率響應(yīng)特性

傳感器對(duì)不同頻率成分的正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性，稱為頻率響應(yīng)特性。一個(gè)傳感器輸入端有正弦信號(hào)作用時(shí)，其輸出響應(yīng)仍然是同頻率的正弦信號(hào)，只是與輸入端正弦信號(hào)的幅值和相位不同。頻率響應(yīng)法是從傳感器的頻率特性出發(fā)研究傳感器的輸出與輸入的幅值比和兩者相位差的變化。頻率響應(yīng)函數(shù)H（jω）是一個(gè)復(fù)函數(shù)，其模（稱為傳感器的幅頻特性）為A（ω），相角（稱為傳感器的相頻特性）為φ（ω）。

當(dāng)A（ω）≈1，φ（ω）≈0時(shí)，輸出與輸入幅值近似相等，相位差近似為0，此時(shí)可認(rèn)為輸出近似完全再現(xiàn)了輸入的狀態(tài)且近似無(wú)滯后。

(1）一階傳感器的頻率響應(yīng)將一階傳感器傳遞函數(shù)式中的s用jω代替后，即可得如下的頻率特性表達(dá)式：可寫(xiě)成指數(shù)函數(shù)H（jω）=A（ω）ejΦ（ω）方程為：幅頻特性:相頻特性：

可以看出，時(shí)間常數(shù)T越小，頻率響應(yīng)特性越好。當(dāng)ωT<<1時(shí)，A（ω）≈1，Φ（ω）≈0，表明傳感器輸出與輸入成線性關(guān)系，且相位差也很小，輸出y（t）比較真實(shí)地反映了輸入x（t）的變化規(guī)律。因此減小T可改善傳感器的頻率特性。例題一階傳感器測(cè)量150Hz的正弦信號(hào)，如果要求幅值誤差限制在±5％以內(nèi)，時(shí)間常數(shù)應(yīng)取多少？如果用該傳感器測(cè)量100Hz的正弦信號(hào)，其幅值誤差和相位誤差各為多少？

解：一階傳感器頻率響應(yīng)特性：幅頻特性：由題意有，又取即：幅值誤差：所以有相位誤差：所以有

可看出，時(shí)間常數(shù)τ越小，頻率響應(yīng)特性越好。當(dāng)ωτ<<1時(shí)，A（ω）≈1，Φ（ω）≈0，表明傳感器輸出與輸入成線性關(guān)系，且相位差也很小，輸出y(t)比較真實(shí)地反映了輸入x(t)的變化規(guī)律。因此減小τ可改善傳感器的頻率特性。除了用時(shí)間常數(shù)τ表示一階傳感器的動(dòng)態(tài)特性外，在頻率響應(yīng)中也用截止頻率來(lái)描述傳感器的動(dòng)態(tài)特性。所謂截止頻率，是指幅值比下降到零頻率幅值比的倍時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率，截止頻率反映傳感器的響應(yīng)速度，截止頻率越高，傳感器的響應(yīng)越快。對(duì)一階傳感器,其截止頻率為1/τ。一階傳感器頻率響應(yīng)特性(a)幅頻特性；(b)相頻特性(2）二階傳感器的頻率響應(yīng)由二階傳感器的傳遞函數(shù)式可寫(xiě)出二階傳感器的頻率特性表達(dá)式，即其幅頻特性、相頻特性分別為

相位角負(fù)值表示相位滯后?？僧?huà)出二階傳感器的幅頻特性曲線和相頻特性曲線，如圖所示。二階傳感器頻率響應(yīng)特性曲線(a)幅頻特性；(b)相頻特性可見(jiàn)，傳感器的頻率響應(yīng)特性好壞主要取決于傳感器的固有頻率ωn和阻尼比ξ。當(dāng)ξ<1，ωn>>ω時(shí)，A（ω）≈1，Φ（ω）很小，此時(shí)，傳感器的輸出y(t)再現(xiàn)了輸入x(t)的波形，通常固有頻率ωn至少應(yīng)為被測(cè)信號(hào)頻率ω的（3～5）倍，即ωn≥（3～5）ω。

為了減小動(dòng)態(tài)誤差和擴(kuò)大頻率響應(yīng)范圍，一般是提高傳感器固有頻率ωn，而固有頻率ωn與傳感器運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量m和彈性敏感元件的剛度k有關(guān)，即ωn=（k/m）1/2。增大剛度k和減小質(zhì)量m都可提高固有頻率，但剛度k增加，會(huì)使傳感器靈敏度降低。所以在實(shí)際中，應(yīng)綜合各種因素來(lái)確定傳感器的各個(gè)特征參數(shù)。

(3）頻率響應(yīng)特性指標(biāo)頻率響應(yīng)特性指標(biāo)敘述如下：

①通頻帶ω0.707：傳感器在對(duì)數(shù)幅頻特性曲線上幅值衰減3dB時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率范圍。②工作頻帶ω0.95（或ω0.90）：當(dāng)傳感器的幅值誤差為±5%（或±10%）時(shí)其增益保持在一定值內(nèi)的頻率范圍。③時(shí)間常數(shù)τ：用時(shí)間常數(shù)τ來(lái)表征一階傳感器的動(dòng)態(tài)特性。τ越小，頻帶越寬。④固有頻率ωn：二階傳感器的固有頻率ωn表征其動(dòng)態(tài)特性。⑤相位誤差：在工作頻帶范圍內(nèi)，傳感器的實(shí)際輸出與所希望的無(wú)失真輸出間的相位差值，即為相位誤差。⑥跟隨角Φ0.707：當(dāng)ω=ω0.707時(shí)，對(duì)應(yīng)于相頻特性上的相角，即為跟隨角。傳感器的頻域動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)3.傳感器的基本特性的討論意義⑴靜態(tài)特性掌握傳感器的基本測(cè)量精度。⑵