第五章 三角函數(shù)（14類題型清單）-2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)單元速記（人教A版必修第一冊）

PAGE1第五章三角函數(shù)知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記1、象限角的常用表示：第一象限角第二象限角第三象限角或第四象限角或2、軸線角的表示：①終邊落在軸非負半軸②終邊落在軸非負半軸③終邊落在軸非正半軸或④終邊落在軸非正半軸或⑤終邊落在軸⑥終邊落在軸或⑦終邊落在坐標軸3、角度與弧度的換算弧度與角度互換公式：，4、扇形中的弧長公式和面積公式弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，扇形面積公式：.5、任意角的三角函數(shù)定義如圖,設(shè)是一個任意角,,它的終邊與單位圓相交于點①正弦函數(shù)：把點的縱坐標叫做的正弦函數(shù),記作,即②余弦函數(shù)：把點的橫坐標叫做的余弦函數(shù),記作,即

③正切函數(shù)：把點的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切,記作,即()

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)6、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1、平方關(guān)系：2、商數(shù)關(guān)系:（，）7、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)當時，為奇函數(shù)；當時，為偶函數(shù)；當時，為奇函數(shù)；當時，為偶函數(shù)；8、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)圖象定義域定義域值域周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間(上都單調(diào)遞減在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞減最值當()時，;當()時，;當()時，;當()時，;圖象的對稱性對稱中心為(),對稱軸為直線()對稱中心為(),對稱軸為直線()9、正切（型）函數(shù)的性質(zhì)正切函數(shù)正切型函數(shù)定義域由值域周期性奇偶性奇函數(shù)當時是奇函數(shù)單調(diào)性在，上單調(diào)遞增當,時，由，解出單調(diào)增區(qū)間對稱性對稱中心：；無對稱軸令：，對稱中心為：，無對稱軸10、兩角和與差的余弦公式兩角和與差的余弦公式（1）（2）11、兩角和與差的正弦公式（1）（2）12、兩角和與差的正切公式兩角和與差的正切公式（1）（2）13、二倍角的正弦、余弦正切公式①②；；③0303題型歸納題型一倍（分）角所在象限例題1．（23-24高一下·遼寧遼陽·期中）已知角的終邊經(jīng)過點，則是（

）A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角【答案】A【分析】根據(jù)角所在的象限，表示所在的象限.【詳解】由題意可知是第二象限角，，則,則是第一或第三象限角．故選：A例題2．（23-24高一下·上海黃浦·期中）已知是第一象限角，那么（

）A．是第一、二象限角 B．是第一、三象限角C．是第三、四象限角 D．是第二、四象限角【答案】B【分析】由是第一象限角，可得，，進而得到，，進而求解.【詳解】因為是第一象限角，所以，，所以，，當為偶數(shù)時，是第一象限角，當為奇數(shù)時，是第三象限角，綜上所述，第一、三象限角.故選：B.鞏固訓(xùn)練1．（多選）（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知角是第一象限角，則角可能在以下哪個象限（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ABC【分析】由所在的象限求出的范圍，再求出的范圍，最后對分類討論，即可判斷；【詳解】解：因為角是第一象限角，所以，，所以，，當，時，，，位于第一象限，當，時，，，位于第二象限，當，時，，，位于第三象限，綜上可得位于第一、二、三象限；故選：ABC2．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）若角是第二象限角，試確定，的終邊所在位置．【答案】角的終邊落在第三象限、第四象限或軸的負半軸；角的終邊落在第一象限、第三象限【分析】根據(jù)象限角的知識確定正確答案.【詳解】由于角是第二象限角，所以，所以，，所以角的終邊落在第三象限、第四象限或軸的負半軸，角的終邊落在第一象限、第三象限.題型二扇形弧長和面積例題1．（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知扇形的弧所對的圓心角為，且半徑為．求該扇形的弧長和面積．【答案】弧長：；面積：【分析】先將角度轉(zhuǎn)化成弧度，然后根據(jù)弧長公式面積公式求解.【詳解】,根據(jù)弧長公式，弧長為：，面積為例題2．（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長為；(1)若，求扇形的弧長；(2)若扇形的周長為，當扇形的圓心角為多少弧度時，這個扇形的面積最大，最大值是多少？并求出此時的半徑.【答案】(1)(2)，，【分析】（1）利用弧長公式可得答案；（2）利用周長和面積公式，結(jié)合二次函數(shù)可得答案.【詳解】（1），.（2）由已知得，，所以，，所以當時，面積取得最大值，此時，所以.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高三下·四川德陽·階段練習(xí)）扇形的半徑為2，圓心角所對的長為4，則該扇形的面積是.【答案】4【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合扇形的面積公式直接求解即可.【詳解】因為扇形的半徑為2，圓心角所對的長為4，所以該扇形的面積是.故答案為：42．（23-24高一下·北京·階段練習(xí)）（1）一條弦的長等于它所在圓的半徑，求弦和劣弧所組成的弓形的面積;（2）一扇形的周長為，那么扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形的面積最大?并求出最大值?【答案】（1）；（2）扇形半徑，扇形圓心角為，扇形面積最大值.【分析】（1）要怕給定條件，求出劣弧所對的圓心角，再求出扇形面積及三角形面積即得.（2）設(shè)出扇形的半徑，結(jié)合已知建立函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)求解即得.【詳解】（1）如圖，在圓中，弦，則是正三角形，，邊上的高為，因此，而扇形面積為，所以弦和劣弧所組成的弓形的面積是.

（2）設(shè)扇形的半徑為，則扇形弧長，扇形面積，當且僅當時取等號，所以扇形半徑，扇形的圓心角為時，扇形面積取得最大值.題型三三角函數(shù)的定義例題1．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知角α的終邊上一點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)定義，求出，即可求出的值．【詳解】解：角的終邊上有一點，，故選：B．例題2．（23-24高一·上海·課堂例題）已知角的終邊過點，求角的正弦、余弦、正切及余切值．【答案】答案見解析【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求解.【詳解】設(shè)為坐標原點，則，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，，，，鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·北京懷柔·期末）已知角的終邊經(jīng)過點，則.【答案】/【分析】利用三角函數(shù)的定義易得正切值和余弦值.【詳解】依題意，，，則故答案為：；.2．（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知為第二象限的角，其終邊上有一點，且．求．【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義先算出，然后由正切函數(shù)值的定義求解.【詳解】由于為第二象限的角，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義，，解得，則題型四已知求其他分式或多項式例題1．（23-24高一·上海·課堂例題）已知，求的值．【答案】.【分析】根據(jù)給定條件，利用齊次式法計算即得.【詳解】，所以.例題2．（23-24高一·上?！ふn堂例題）已知，求的值．【答案】【分析】分子分母同時除以即可.【詳解】由于有意義，則，對表達式分子分母同時除以，則鞏固訓(xùn)練1．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)將所求式子分子化為齊次式，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系化弦為切，最后代入切的值得結(jié)果.【詳解】.故選：D2．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將式子齊次化即可求解；（2）將1看做，再進行齊次化即可求解.【詳解】（1）因為，所以，將式子的分子分母同時除以得：所以．（2）．題型五與的關(guān)系例題1．（23-24高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求得，再逐項分析判斷得解.【詳解】由，得，解得，對于A，，則，，A正確；對于D，，D正確；對于B，由，，得，B錯誤；對于C，，C正確.故選：B例題2．（多選）（23-24高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）設(shè)，，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】將兩邊平方，結(jié)合平方關(guān)系求出A，即可判斷，則，即可判斷B、C，利用平方差公式判斷D.【詳解】因為，所以，即，即，所以，故A錯誤；又，，所以，則，則，所以，故B正確、C錯誤；，故D正確；故選：BD鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·山東威海·階段練習(xí)）已知，且，則．【答案】【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求得的值．【詳解】，，則，故答案為：．2．（23-24高一·上海·課堂例題）（1）已知，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用商數(shù)關(guān)系，得到，再由條件，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件及平方關(guān)系，得到，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，又，所以.（2）因為，兩邊同時平方得到，整理得到，所以.題型六利用誘導(dǎo)公式化簡例題1．（23-24高一下·陜西渭南·期中）已知是第三象限角，且.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知直接利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求值；（2）利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】（1）因為是第三象限角，且，所以，所以（2）例題2．（23-24高一上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）化簡：(1)；(2)；【答案】(1)0(2)【分析】（1）由誘導(dǎo)公式進行求解即可；（2）由誘導(dǎo)公式進行求解即可．【詳解】（1），，則原式；（2）原式．鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·安徽亳州·階段練習(xí)）已知.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）先根據(jù)條件求出,然后把轉(zhuǎn)換成的形式代入即可.（2）把轉(zhuǎn)化成的形式代入即可.【詳解】（1）因為，所以,所以.（2）.2．（23-24高一下·北京·期中）已知角為第二象限角，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；（2）法1，利用誘導(dǎo)公式化簡，直接代入計算可得；法2，由（1）的結(jié)論求出，利用誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計算可得；【詳解】（1），∵角為第二象限角，∴．（2）法1：法2：易得，則題型七求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例題1．（2024高一下·上?！ｎ}練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【答案】．【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，整體代入法求解即可.【詳解】令，，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是:．故答案為:．例題2．（23-24高二上·云南文山·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期及；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)周期公式即可求函數(shù)的最小正周期；（2）根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性即可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；【詳解】（1）對于函數(shù)，它的最小正周期為；；（2）令，，求得，，即，．所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．例題3．（23-24高一·上?！ふn堂例題）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)區(qū)間．【答案】答案見詳解【分析】根據(jù)周期公式求最小正周期，以為整體，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性運算求解.【詳解】由題意可知：的最小正周期；令，解得，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高二上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則在上的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】當時，，所以當，即x∈0,5π12故選：B.2．（24-25高一上·全國·單元測試）已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先化簡函數(shù)，再應(yīng)用整體代換計算余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可.【詳解】，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．故選：A．3．（24-25高二·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；(2).【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，，無單調(diào)遞增區(qū)間【分析】（1）直接根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）首先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）由題意得，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間；（2），由題意得，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，無單調(diào)遞增區(qū)間.題型八三角函數(shù)奇偶性，對稱性有關(guān)的問題例題1．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）下列各點中，可以作為函數(shù)圖象的對稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，逐項驗證即可得解.【詳解】對于AC，，AC不是；對于BD，，B是，D不是.故選：B例題2．（23-24高一下·山東威海·階段練習(xí)）已知函數(shù)，的圖象的對稱中心是．【答案】【分析】將看成整體角，利用正切函數(shù)的對稱中心即可求得.【詳解】由函數(shù)可得，，解得：，即的圖象的對稱中心是.故答案為：.例題3．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的圖象的對稱軸為，對稱中心為．【答案】，，【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性直接求解可得．【詳解】由，，得，．由，，得，．故函數(shù)的圖象的對稱軸為，，對稱中心為，．故答案為：；.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·上?！て谀┫铝泻瘮?shù)為奇函數(shù)，且在上是嚴格增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，因為定義域為R，其在上是嚴格減函數(shù)，A錯誤；對于B，定義域為R，，為偶函數(shù)；B錯誤；對于C，定義域為，，為奇函數(shù)，由正切函數(shù)性質(zhì)知在上是嚴格增函數(shù)，C正確；對于D，定義域為R，，為偶函數(shù)；D錯誤.故選：C.2．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，既在上單調(diào)遞增，又以為周期且為偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正余弦函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性逐個分析判斷.【詳解】對于A，因為為奇函數(shù)，所以A錯誤，對于B，為偶函數(shù)，且周期為，當時，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以B錯誤，對于C，因為為奇函數(shù)，所以C錯誤，對于D，因為，所以為偶函數(shù)，因為的圖象是由在軸下方的圖象翻折上去、軸上方的圖象保持不變得到的，所以函數(shù)的周期為，當時，，此時，而在上單調(diào)遞增，故D符合．故選：D．3．（23-24高一下·上?！て谥校┮阎瘮?shù)是奇函數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)對稱性解得，結(jié)合題中的范圍分析求解.【詳解】由題意可知：關(guān)于原點對稱，可知，且，所以.故答案為：.題型九與三角函數(shù)周期有關(guān)的問題例題1．（25-26高一上·全國·課后作業(yè)）下列函數(shù)中，以為最小正周期的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對于AD，根據(jù)圖象變換和周期公式分析判斷，對于BC，根據(jù)周期公式分析判斷.【詳解】對于A，的圖象是由把軸下方的圖象翻折上去、軸上方的圖象保持不變得到的，則最小正周期為，故A錯誤；對于B，的最小正周期為，故B錯誤；對于C，的最小正周期為，故C錯誤；對于D，的圖象是由把軸下方的圖象翻折上去、軸上方的圖象保持不變得到的，則最小正周期為，故D正確．故選：D．例題2．（24-25高三上·貴州黔東南·開學(xué)考試）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】由正弦函數(shù)與正切的函數(shù)的周期即可直接判斷.【詳解】因為函數(shù)與的最小正周期分別為，，所以的最小正周期為.故選：A.例題3．（多選）（22-23高一上·重慶合川·期末）下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】先用誘導(dǎo)公式對函數(shù)進行化簡，再判別奇偶性及周期.【詳解】由，則該函數(shù)為偶函數(shù)，且周期為，故A正確；，∵，故該函數(shù)為偶函數(shù)，周期為周期的一半，故，故B正確；，故是偶函數(shù)，,周期，故C錯誤；為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤；故選：AB.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高三上·河南·開學(xué)考試）函數(shù)的的一個周期為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)兩部分的周期，即可求得函數(shù)的周期.【詳解】易知，的最小正周期分別為，，則，的公倍數(shù)是的一個周期.故選：D2．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）下列函數(shù)中，周期為，且在區(qū)間上為嚴格減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的最小正周期，并利用整體法驗證函數(shù)的單調(diào)性，得到答案.【詳解】A選項，的最小正周期為，又時，，由于在上單調(diào)遞減，故A正確；B選項，的最小正周期為，又時，，由于在上單調(diào)遞增，故B錯誤；C選項，的最小正周期為，不合要求，C錯誤；D選項，的最小正周期為，又時，，由于在上單調(diào)遞增，故D錯誤；故選：A3．（多選）（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（多選）下列函數(shù)中周期為π，且為偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)周期的定義以及奇偶性的定義判斷A；根據(jù)是奇函數(shù)，的周期為，分別判斷BD；化簡,再判斷C.【詳解】對于A,因為,所以的周期為π,因為,所以是偶函數(shù),A符合題意；對于B,是奇函數(shù)，B不合題意；對于D,的周期為，所以D不合題意；對于C,因為是偶函數(shù)，因為的周期是符合題意.故選:AC.題型十三角函數(shù)的值域問題例題1．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)，，當時，fx最小且最小值為．【答案】【分析】利用換元法令，由余弦型函數(shù)單調(diào)性可得的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得答案.【詳解】令，∴，．∵在上是減函數(shù)，∴當，即時，．故答案為：，.例題2．（23-24高一下·江西上饒·期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值、最小值及相應(yīng)的的值．【答案】(1)，(2)的最小值為，此時；的最大值為，此時【分析】（1）由題意，利用簡單的三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的周期性得出結(jié)論；（2）由題意，根據(jù)正弦型函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)在區(qū)間上的最值及相應(yīng)的的值.【詳解】（1）故；由令則故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當時，，則，即，即在區(qū)間上的最小值和最大值分別為0，3，即時，即時有最小值0，當，即時有最大值3．例題3．（23-24高一·上海·課堂例題）求下列函數(shù)的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時所有x的值：(1)；(2)，；(3)；(4)，.【答案】(1)時有最小值；時有最大值(2)時有最小值；時有最大值(3)時有最大值；時有最小值(4)時有最大值；時有最小值【分析】（1）利用配方法和三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（2）利用正弦的性質(zhì)可得答案；（3）利用配方法和三角函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（4）利用余弦的性質(zhì)可得答案；.【詳解】（1），因為，所以當，即，或時，有最小值；所以當，即時，有最大值；（2）因為，所以，所以，當即時，有最小值，為；當即時，有最大值，為；（3），因為，所以當，即時，有最大值；所以當，即時，有最小值；（4），.因為，所以，可得，當即時，有最大值，為；當即時，有最小值，為.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·海南?？凇て谀┮阎瘮?shù)（），直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸.(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，求函數(shù)的值域.【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)對稱性求出，即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）根據(jù)的取值范圍，求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）因為直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，所以，解得，又，所以，所以，所以函數(shù)的最小正周期，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為，所以，所以，所以，即在上的值域為.2．（23-24高一·上?！ふn堂例題）求函數(shù)，的最大值與最小值．【答案】最大值為，最小值為【分析】利用換元法，結(jié)合正切函數(shù)、二次函數(shù)等知識求得正確答案.【詳解】依題意，函數(shù)，，設(shè)，則，所以當時，取得最小值為，當時，取得最大值為.3．（24-25高一上·上?！卧獪y試）求下列函數(shù)的值域.(1)；(2)，；(3).【答案】(1)最小值，無最大值；(2)；(3).【分析】（1）令，用換元法得到，然后結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可；（2）將原式化為，，根據(jù)函數(shù)奇偶性，然后結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解即可；（3）令，用換元法得到，即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，則.當時，y取最小值，無最大值，（2），.由知為偶函數(shù).當時，，令，，當時，y取最大值為；當時，y取最小值為.故值域為.（3）令，則，因為函數(shù)的定義域為，即，所以，則，.由得，所以函數(shù)值域為.題型十一圖象平移與伸縮變換例題1．（23-24高一下·河南南陽·階段練習(xí)）要得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【分析】將整理成，然后利用平移變換即可求解.【詳解】由于函數(shù)，故只需將函數(shù)的圖象向右平移可得函數(shù)的圖象.故選：D．例題2．（23-24高一下·上海普陀·期末）為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位【答案】B【分析】先將兩個三角的名字根據(jù)誘導(dǎo)公式化為相同，然后再平移即可.【詳解】將函數(shù)向左平移個單位得：故選：B鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·山東濟寧·期中）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（

）A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度【答案】C【分析】根據(jù)圖象平移的規(guī)則判斷．【詳解】由，因此向左平行個單位得到圖象，故選：C．2．（23-24高一下·云南迪慶·期末）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平移變換的性質(zhì)即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位長度，得到，故，故選：B題型十二求三角函數(shù)解析式例題1．（多選）（23-24高一下·貴州六盤水·期中）已知函數(shù)fx=Asinωx+φ（，，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

A．B．的圖象關(guān)于點對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．將的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象【答案】ACD【分析】由圖象求出得解析式，然后利用正弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】由題意可得，，，所以，所以，所以，又，因為，所以，所以，故A正確；，故B錯誤；令，解得，所以在單調(diào)遞減，而，故C正確；將的圖象向右平移個單位長度可得函數(shù)的圖象，故D正確.故選：ACD例題2．（多選）（23-24高二下·廣東湛江·期中）函數(shù)fx=sinωx+φω>0,0<φ<π的部分圖象如圖，若

A．B．C．的零點形成的集合為D．的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】ABD【分析】對于A，由周期即可求解；對于B，由得，再結(jié)合且在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)即可得解；對于C，令結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求解；對于D，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性令并求解即可得解.【詳解】對于A，由已知得最小正周期，又，所以，故A正確；對于B，因為，所以，又因為，且由圖可知在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，所以，故B正確；對于C，由選項A和B得，令得，，所以，故C錯誤；對于D，令，解得，所以當時，單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.例題3．（23-24高一下·新疆喀什·期中）函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的表達式為．【答案】【分析】根據(jù)圖象求出，由周期公式可得，代點的坐標可求得.【詳解】由題意可知，，函數(shù)的周期為：所以，由五點法作圖可知：，即，又因為，所以，所以函數(shù)的表達式為.故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（多選）（23-24高一下·四川綿陽·期末）函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列正確的是（

）A．，B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．若，則D．函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)是奇函數(shù)【答案】ACD【分析】由題意可得，結(jié)合圖象過點，，可求函數(shù)解析式，進而逐項計算可得結(jié)論.【詳解】由題意可得，又因為函數(shù)過點，所以，所以，又因為，所以，又函數(shù)的第二個關(guān)鍵點的坐標為，所以，解得，故A正確；所以，由，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，故B錯誤；若，則可得，所以，，故C正確；函數(shù)的最小正周期為，，所以，函數(shù)是奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD.2．（多選）（2024·湖南·三模）已知是某個簡諧運動的函數(shù)解析式，其部分圖象如圖所示，則下列命題正確的是（

）

A．B．這個簡諧運動的初相為或C．在上單調(diào)遞減D．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)【答案】AD【分析】由題意得，或，對分類討論求的符合題意的、，可判斷AB，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷C，由函數(shù)平移變換法則、偶函數(shù)定義判斷D.【詳解】對于AB，由題意，，因為，所以或，當時，由，解得，此時只能是當時，由，解得，此時無解，綜上所述，，這個簡諧運動的初相為，故A正確，B錯誤；對于C，由題意，當時，，而在上不單調(diào)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上不單調(diào)，故C錯誤；對于D，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)，顯然，且的定義域（全體實數(shù)）關(guān)于原點對稱，所以是偶函數(shù)，故D正確.故選：AD.3．（23-24高一下·廣東廣州·期中）函數(shù)的部分圖象如圖所示，直線與這部分圖象相交于三個點，橫坐標從左到右分別為，則.【答案】/【分析】由圖象求得參數(shù)，根據(jù)余弦函數(shù)的對稱性，結(jié)合即可求值.【詳解】由圖知，，，點位于減區(qū)間內(nèi)，點位于增區(qū)間內(nèi)，且這兩個區(qū)間相鄰，則，而，解得，，函數(shù)的最小正周期，而，即，解得，于是，，，直線與這部分圖象相交于三個點，橫坐標從左到右分別為，觀察圖得，，所以.故答案為：題型十三五點法作圖例題1．（23-24高一下·河北石家莊·階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點法”列表、描點、連線得到.(1)說明圖象經(jīng)過怎樣的變換得到函數(shù)的圖象；(2)用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖.【答案】(1)答案見解析(2)作圖見解析【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)論；（2）由可計算出的取值范圍，列表、描點、連線可作出函數(shù)在上的圖象.【詳解】（1）解：因為，所以，要得到函數(shù)的圖象，可先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，將所得函數(shù)的圖象上每點的橫坐標縮短為原來的，再將所得函數(shù)圖象上每點的縱坐標縮短為原來的，可得到函數(shù)的圖象.（2）解：當時，，列表如下：作出函數(shù)在上的圖象如下圖所示：例題2．（23-24高一下·海南?？凇るA段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且直線是其圖象的一條對稱軸.(1)求的值；(2)用“五點法”列表，并在圖中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）通過對稱軸之間的距離求出周期進而求得，再通過直線是其圖象的一條對稱軸，代入整體的思想求出；（2）利用五點作圖法，列表、描點、連線可作函數(shù)在區(qū)間上的圖象.【詳解】（1）相鄰兩條對稱軸之間的距離為的最小正周期.直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，.（2）由知0-1010故函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖.鞏固訓(xùn)練1．（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)在用“五點法”作函數(shù)的圖象時，列表如下：完成上述表格，并在坐標系中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1)圖表見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)“五點法”作圖的取點方式，分別求出對應(yīng)的x和，進而填表，結(jié)合“五點法”畫出圖象即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間計算即可；（3）根據(jù)x的范圍求出的范圍，即可利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）0020-20函數(shù)圖象如圖所示，（2）令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（3）因為，所以，所以.當，即時，；當，即時，.所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.2．（23-24高一上·云南昆明·期末）要得到函數(shù)的圖象，可以從正弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到，也可以用“五點法”列表、描點、連線得到．(1)由圖象變換得到函數(shù)的圖象，寫出變換的步驟和函數(shù)；(2)用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間上的簡圖．【答案】(1)答案見解析(2)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識求得正確答案.（2）利用“五點法”畫出圖象.【詳解】（1）步驟1：把圖象上所有點向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；步驟2：把圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象；步驟3：最后把函數(shù)的圖象的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（橫坐標不變），得到函數(shù)的圖象．（2）列表：題型十四三角函數(shù)綜合大題例題1．（23-24高一上·河南漯河·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)填寫下表，并用“五點法”畫出在上的圖象；(2)將的圖象向上平移個單位長度，橫坐標縮短為原來的，再將得到的圖象上所有點向右平移個單位長度后，得到的圖象，求的解析式.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)五點法作圖的步驟，列表，描點，連線即可完成.（2）將進行平移和伸縮變換得最后解析式.【詳解】（1）由題意可得表格如下：可得圖象如下圖所示：（2）將的圖象向上平移個單位得到的圖象，再將橫坐標縮短為原來的可得到的圖象，再向右平移個單位可得的圖象，即.例題2．（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將所得函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等變換