2023-2024學(xué)年廣東省深圳市紅山中學(xué)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳市紅山中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，共22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.的值為（）A.0 B. C. D.2.直線傾斜角為（）A. B. C. D.3.如圖，在平行六面體中，M為的交點(diǎn)．若，，，則向量＝（）A. B.C. D.4.直線過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，則（）A.直線的點(diǎn)斜式方程為 B.直線的斜截式方程為C.直線的截距式方程為 D.直線的一般式方程為5.如圖所示，已知在正方體中，E、F分別是正方形和的中心，則直線和直線所成的角是（）A. B. C. D.6.已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（）A. B. C. D.7.已知向量，若共面，則在上投影向量的模為（）A. B. C. D.8.曲線方程的化簡(jiǎn)結(jié)果為A. B. C. D.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.給出下列命題，其中正確的有（）A.空間任意三個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底B.已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.對(duì)空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得D.如果，兩個(gè)單位向量，則10.設(shè)l是直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則11.已知圓：和圓：相交于，兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.圓與圓有兩條公切線；B.圓與圓的相交弦所在的直線方程；C.線段的長(zhǎng)為；D.，分別是圓和圓上點(diǎn)，則的最大值為.12.如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，平面B.直線與平面所成角的正弦值是C.三棱柱外接球的表面積是D.當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積是三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為.已知，，，則_____________.14.橢圓其中一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓C的離心率為_(kāi)____________.15.空間三點(diǎn)，，，若與，都垂直，且，則的坐標(biāo)為_(kāi)____________.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，M是C上的動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為9，則橢圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____________.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，.（1）求角的大小；（2）若，，求.18.設(shè)函數(shù)，.（1）求的值；（2）若，求的取值范圍.19.在直三棱柱中，D、E分別是、的中點(diǎn)，，，.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)E到平面距離.20.已知圓C的方程是，且圓C與直線l：相切于點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）若直線m：與圓C有公共點(diǎn)，求k的取值范圍.21.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面.（1）證明：BDCC1；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且橢圓C過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知A、B為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率不為0的直線交橢圓C于點(diǎn)M、N，直線與直線交于點(diǎn)P，記、、的斜率分別為、、，問(wèn)是否是定值，如果是，求出該定值，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.深圳市紅山中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，共22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.的值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正弦公式直接計(jì)算作答.【詳解】.故選：D2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直線的斜率，結(jié)合傾斜角的取值范圍可求得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，直線的方程可化為，則，故，故選：C.3.如圖，在平行六面體中，M為的交點(diǎn)．若，，，則向量＝（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】向量，結(jié)合平行六面體的結(jié)構(gòu)特征即能求出結(jié)果．【詳解】∵在平行六面體中，M為的交點(diǎn)．若，，，∴向量.故選：A．4.直線過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，則（）A.直線的點(diǎn)斜式方程為 B.直線的斜截式方程為C.直線的截距式方程為 D.直線的一般式方程為【答案】D【解析】【分析】利用方向向量求得斜率，從而求得直線點(diǎn)斜式，斜截式，截距式，一般式方程【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線的斜率為2．因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的點(diǎn)斜式方程為，其一般式為．故A錯(cuò)誤，D正確；化為斜截式：，故B錯(cuò)誤；化為截距式：，故C錯(cuò)誤.故選：D5.如圖所示，已知在正方體中，E、F分別是正方形和的中心，則直線和直線所成的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形的中位線得到平行關(guān)系，將異面直線和所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，再求解即可.【詳解】連接，，交點(diǎn)即為正方形的中心，連接，在中，分別為的中點(diǎn)，則，故即直線和直線所成的角，中，，則.故選：B.6.已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，若與互相垂直，則，解得.故選：D.7.已知向量，若共面，則在上的投影向量的模為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用共面的條件求出，再利用投影向量及模的定義計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)楣裁?，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，于是，所以在上投影向量的模為.故選：B8.曲線方程的化簡(jiǎn)結(jié)果為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到給出的曲線方程的幾何意義，是動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和等于定值，符合橢圓定義，然后計(jì)算出相應(yīng)的得到結(jié)果.【詳解】曲線方程，所以其幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于，符合橢圓的定義.點(diǎn)和點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).因此可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，其中，所以，所以所以曲線方程的化簡(jiǎn)結(jié)果為.故選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查曲線方程的幾何意義，橢圓的定義，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于簡(jiǎn)單題.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.給出下列命題，其中正確的有（）A.空間任意三個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底B.已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底C.對(duì)空間任一向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得D.如果，是兩個(gè)單位向量，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)共線向量、空間向量的基本定理、基底、單位向量概念等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】對(duì)于，因?yàn)槭强臻g的一組基底，所以,,為不共線的非零向量，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于，因?yàn)?所以與共線，故,與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故選項(xiàng)正確;對(duì)于，當(dāng)為空間的一組基底時(shí)，對(duì)于空間任一向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得，故選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于，若,都是單位向量，則模長(zhǎng)都為，故，故選項(xiàng)正確.故選：.10.設(shè)l是直線，，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】CD【解析】【分析】對(duì)四個(gè)命題分別進(jìn)行判斷，即可得到結(jié)論.【詳解】l是直線，，是兩個(gè)不同的平面，知：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯(cuò)誤，在B中，若，，則或或與相交，相交也不一定垂直，故B錯(cuò)誤，在C中，若，，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得，故C正確，在D中，，，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得，故D正確，故選：CD11.已知圓：和圓：相交于，兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.圓與圓有兩條公切線；B.圓與圓的相交弦所在的直線方程；C.線段的長(zhǎng)為；D.，分別是圓和圓上的點(diǎn)，則的最大值為.【答案】ABD【解析】【分析】寫出兩圓的圓心與半徑判斷兩圓的位置關(guān)系可知A，利用圓的方程求直線的方程，由圓心與直線關(guān)系可判斷B，利用圓的弦的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)圓上兩點(diǎn)最大距離判斷D．【詳解】圓：的圓心為，半徑，圓：，即，其圓心為，半徑，所以，兩圓相交，對(duì)于A，因?yàn)閳A與圓相交，所以有兩條公切線，A正確；對(duì)于B，兩圓方程相減得，即直線AB的方程為，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)閳A心與圓心的中點(diǎn)為滿足，，所以圓心與圓心關(guān)于直線AB對(duì)稱，且兩圓半徑相等，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，分別是圓和圓上的點(diǎn)，則的最大值為，故D正確，故選：ABD.12.如圖，在直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，平面B.直線與平面所成角的正弦值是C.三棱柱外接球的表面積是D.當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積是【答案】ABD【解析】【分析】利用線面平行的判定定理可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷B選項(xiàng)；利用補(bǔ)形法結(jié)合長(zhǎng)方體的外接球可判斷C選項(xiàng)；利用等體積法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，連接，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，平面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，則，所以，直線與平面所成角的正弦值是，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，將直三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則該長(zhǎng)方體的外接球直徑為，所以，三棱柱外接球的表面積是，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，，易知，又因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，、平面，則平面，故，故，D對(duì).故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為.已知，，，則_____________.【答案】【解析】【分析】已知兩邊與一邊對(duì)角由正弦定理解，再由內(nèi)角和定理求解.【詳解】已知，，，則由正弦定理得，，解得，由，得，則，故.故答案為：.14.橢圓其中一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓C的離心率為_(kāi)____________.【答案】【解析】分析】代點(diǎn)求出，進(jìn)而可求.【詳解】依題得，則，，則.故答案：15.空間三點(diǎn)，，，若與，都垂直，且，則的坐標(biāo)為_(kāi)____________.【答案】或【解析】【分析】先求出，設(shè)，再根據(jù)與垂直及的模長(zhǎng)列出方程組求解即可.【詳解】，設(shè)，則，解得或所以的坐標(biāo)為或.故答案為：或16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，M是C上的動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為9，則橢圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____________.【答案】【解析】【分析】由題意知當(dāng)M為短軸端點(diǎn)時(shí)面積最大，由此求出，由結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】當(dāng)M為短軸端點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以

故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，.（1）求角的大?。唬?）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值，然后利用余弦定理可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，因?yàn)?、，則，所以，，則，故.【小問(wèn)2詳解】解：由平面向量數(shù)量積的定義可得，可得，由余弦定理可得，解得.18.設(shè)函數(shù)，.（1）求的值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用降冪公式與輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再求值；（2）整體角換元求范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗?；【小?wèn)2詳解】由（1）知，令，則，因?yàn)?，所以，函?shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，則.故的取值范圍為.19.在直三棱柱中，D、E分別是、的中點(diǎn)，，，.（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)E到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可證明線面平行；（2）根據(jù)題意，利用空間向量的距離求法，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉橹比庵瑒t平面，且，以的原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，且，分別是，的中點(diǎn)，則，所以,，設(shè)平面的法向量為，則，則，取，則，則平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫妫?，則平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為，且，則點(diǎn)到平面的距離.20.已知圓C的方程是，且圓C與直線l：相切于點(diǎn).（1）求圓C的方程；（2）若直線m：與圓C有公共點(diǎn)，求k的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在圓上以及直線垂直的斜率關(guān)系即可聯(lián)立方程求解，（2）根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可求解.【小問(wèn)1詳解】圓心，切點(diǎn)為在圓上，故，又直線與圓相切，，∴，，圓C的方程是，【小問(wèn)2詳解】∵直線與圓有公共點(diǎn)，，21.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面.（1）證明：BDCC1；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，【解析】【分析】（1）連接,根據(jù)題意證得和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得；（2）取中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)，求得平面和的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，求得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明:如圖所示，連接,因?yàn)闉槔馀_(tái)，所以四點(diǎn)共面，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)槠矫?，平面?/p>