山東省煙臺(tái)市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

山東省煙臺(tái)市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．若集合A={x|y=x}，B={x|xA．{x|0<x<1} B．{x|0≤x<1}C．{x|0<x<2} D．{x|0≤x<2}2．已知a，b∈R，則“a>b”的一個(gè)充分不必要條件為（）A．a(chǎn)2>b2 B．lna>ln3．過(guò)點(diǎn)(0，3)且與曲線A．x?y?3=0 B．x?y+3=0 C．x+y+3=0 D．x+y?3=04．米斗是古代官倉(cāng)、米行等用來(lái)稱(chēng)量糧食的器具，鑒于其儲(chǔ)物功能以及吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用.如圖為一個(gè)正四棱臺(tái)形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長(zhǎng)分別為30cm、20cm，側(cè)棱長(zhǎng)為511cm，若將該米斗盛滿(mǎn)大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重A．6.6千克 B．6.8千克 C．7.5．設(shè)A，B分別為橢圓C：x2a2+y2bA．3?12 B．3?1 C．26．勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中，已知AB=2，P為弧AC上的點(diǎn)且∠PBC=45°，則BP?A．4?2 B．4+2 C．4?227．過(guò)直線2x?y+1=0上一點(diǎn)P作圓(x?2)2+y2=4的兩條切線PA，PBA．0 B．35 C．±358．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：f(x?π2)為偶函數(shù)，且f(x)=?8sinx，A．?7π B．?6π C．?7π2 二、多選題9．如圖是某正方體的平面展開(kāi)圖，則在該正方體中（）A．AB．A1BC．A1B與D．A1B與平面A10．已知函數(shù)f(x)=sinx?acosA．f(x)的最小正周期為2πB．f(x)在[?πC．f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(πD．若f(x1)+f(x2)=0，且f11．已知a>0，b>0，且a+2b=1，則（）A．a(chǎn)b≤18 C．sina2+2b<112．已知過(guò)拋物線C：y2=4x焦點(diǎn)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)M，其中B點(diǎn)在線段AM上，A．當(dāng)k=1時(shí)，|AB|=8 B．當(dāng)k=22時(shí)，C．存在k使得∠AOB=90° D．存在k三、填空題13．已知2a=3b14．已知向量a=(sinθ，cosθ)，b=(3，15．“0，1數(shù)列”是每一項(xiàng)均為0或1的數(shù)列，在通信技術(shù)中應(yīng)用廣泛.設(shè)A是一個(gè)“0，1數(shù)列”，定義數(shù)列f(A)：數(shù)列A中每個(gè)0都變?yōu)椤?，0，1”，A中每個(gè)1都變?yōu)椤?，1，0”，所得到的新數(shù)列.例如數(shù)列A：1，0，則數(shù)列f(A)：0，1，0，1，0，1.已知數(shù)列A1：1，0，1，0，1，記數(shù)列Ak+1=f(Ak)，16．在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA1=2，M為側(cè)棱B四、解答題17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acos（1）求A；（2）若AD=2DC，BD=3，求18．已知數(shù)列{an}和{bn}的各項(xiàng)均不為零，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且（1）求數(shù)列{an}（2）設(shè)cn=anbn，求數(shù)列19．如圖，△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，△BCD是等邊三角形，BC=2，AD=7（1）求證：BC⊥AD；（2）求平面ABD與平面BCD夾角的余弦值.20．某工廠擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的上端為半球形，下部為圓柱形，該容器的體積為160π3立方米，且l≥6r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分側(cè)面的建造費(fèi)用為每平方米2.25千元，半球形部分以及圓柱底面每平方米建造費(fèi)用為m(m>2.25)（1）寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（2）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.21．已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0，b>0)的焦距為25，A，（1）求雙曲線C的方程；（2）過(guò)C的右焦點(diǎn)F且斜率不為0的直線l交C于兩點(diǎn)M，N，在x軸上是否存在一定點(diǎn)D，使得DM?DN為定值？若存在，求定點(diǎn)22．已知a>0，f(x)=xex?a(x2+2x)，（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若存在a使得f'(x)≥b?2a對(duì)任意x恒成立，求實(shí)數(shù)

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】A={x|y=xx2?x?2<0?(x+1)(x?2)<0故B={x|x∴A∩B={x|0≤x<2}.故答案為：D.

【分析】求出集合A、B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可得答案.2．【答案】B【解析】【解答】A：取a=?2，b=1，滿(mǎn)足a2>bB：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性可知若lna>lnb，則a>b；若a>b，lna，lnC：取a=?2，b=1，滿(mǎn)足1b>1D：由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得若2a>2b，則a>b；若a>b，則2a故答案為：B

【分析】利用賦值法可判斷A、C；由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性可判斷B；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.3．【答案】B【解析】【解答】由y=x3?2x+1設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x0由切線過(guò)點(diǎn)(0，3)，代入切線方程解得x0=?1，則切線方程為故答案為：B

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，4．【答案】C【解析】【解答】設(shè)該正棱臺(tái)為ABCD?A1B1C易知四邊形AA1C1C為等腰梯形，且AC=30分別過(guò)點(diǎn)A1、C1在平面AA1C1C內(nèi)作A由等腰梯形的幾何性質(zhì)可得AA1=CC1所以，Rt△AA1E≌Rt△C因?yàn)锳1C1故四邊形A1C1FE為矩形，則所以，A1E=A所以，該米斗的體積為V=1所以，該米斗所盛大米的質(zhì)量為9.故答案為：C.

【分析】由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合勾股定理可求出正四棱臺(tái)的高，再根據(jù)棱臺(tái)的體積公式可求出該米斗所盛大米的質(zhì)量.5．【答案】A【解析】【解答】由題意可得A(所以直線AB的方程l為y?b0?b=x?0所以F到直線AB的距離d=|?cb?ab|a2+又因?yàn)闄E圓中a2=b2+所以聯(lián)立①②③得2e2+2e?1=0又因?yàn)閑>0，所以e=3故答案為：A

【分析】先求出A，B，F(xiàn)的坐標(biāo)，利用F到直線AB的距離建立等式關(guān)系，結(jié)合a，b，c的關(guān)系以及離心率的公式即可求解出答案.6．【答案】C【解析】【解答】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，垂直于BC方向?yàn)閥，建立平面直角坐標(biāo)系，

因?yàn)椤螾BC=45°，PB=2，所以P(2cos且B(0，所以BP?故答案為：C.

【分析】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，垂直于BC方向?yàn)閥，建立平面直角坐標(biāo)系，求出P，B，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出BP→，CP7．【答案】D【解析】【解答】如下圖，過(guò)直線2x?y+1=0上一點(diǎn)P作圓(x?2)2+y2=4設(shè)圓心C(2，0)，連接AC，可得△PAC?△PBC，PA?PB=0所以|PA|=|AC|=2，所以|PC|=2因?yàn)辄c(diǎn)P在直線2x?y+1=0上，所以設(shè)P(a，2a+1)，|PC|=(a?2)2+故答案為：D.

【分析】求出圓的圓心，利用兩條切線垂直得|PA|=|AC|=2，則|PC|=22+8．【答案】A【解析】【解答】因?yàn)閒(x?π2)為偶函數(shù)，所以f(x)所以當(dāng)x∈(?π，0)時(shí)，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，x?π∈(?π，當(dāng)x∈(π，2π)時(shí)，x?π∈(0，當(dāng)x∈(2π，3π)時(shí)，x?π∈(π，當(dāng)x∈(?π，0)時(shí)，x+π∈(0，……函數(shù)g(x)=lg|x+π2|f(x)，f(x)，g(x)均關(guān)于x=?π所以函數(shù)y=f(x)?g(x)的所有零點(diǎn)之和為：7?(?π故答案為：A.

【分析】由f(x?π2)為偶函數(shù)，得f(x)關(guān)于x=?π2對(duì)稱(chēng)，函數(shù)g(x)=lg|x+π2|為y=lg9．【答案】B,C【解析】【解答】將展開(kāi)圖合成空間圖形如下圖并連接AD1，∵A∴A1D1//BC，A若A1B//∵A1B//CD1，CD1∴A1B//設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則D1C=CB故∠B1CD1=60°，而以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A(1，則AC=(?1設(shè)平面AB1C的一個(gè)方向量m即?x+y=0y+z=0，令y=1，則x=1，z=?1設(shè)A1B與平面AB則sinα=|故答案為：BC.

【分析】把平面展開(kāi)圖還原幾何體，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)向量，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷可得答案.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sinx?acos所以f(0)=f(?π3)，即?a=f(x)=sin且f(?π對(duì)于A，T=2π，A符合題意；對(duì)于B，x∈[?π3，π3]，所以x?π對(duì)于C，f(π對(duì)于D，若f(x1)+f(可得x1?π3=?x1+x2=且f'(x)=2cos(x?π3)的半周期為π故答案為：ACD.

【分析】由f(0)=f(?π3)解得a=11．【答案】A,C,D【解析】【解答】a>0，b>0，且a+2b=1，所以ab=1(1B符合題意；要證sina證sina即證sina由a>0，b>0，且a+2b=1，知0<a<1，所以f(C符合題意；要證lna?即證lna+1<因?yàn)閘nx≤x?1<x<x+1≤所以lna+1≤a≤前后取得等號(hào)條件分別是a=0和a=1，所以不同時(shí)取得等號(hào)，D選項(xiàng)正確；故答案為：ACD.

【分析】利用基本不等式可判斷A，B；利用分析法可判斷C，D.12．【答案】A,B,D【解析】【解答】對(duì)于A.當(dāng)k=1時(shí)，過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1，0)聯(lián)立方程組y=x?1y2=4x，整理可得：x由拋物線的定義：|AB對(duì)于B.當(dāng)k=22時(shí)，過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1，0聯(lián)立方程組y=22(x?1)y2=4x所以A(2又因?yàn)橹本€y=22(x?1)與拋物線的準(zhǔn)線則|BM|=(?1?12對(duì)于C.設(shè)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1，0)k2x2y1所以x1x2+y1y2=1?4=?3對(duì)于D.設(shè)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1，聯(lián)立方程組y=k(x?1)y2y1若∠AOB=120°，因?yàn)镺A?OB=則(x12+y即：x1x2[x1x故存在k使得∠AOB=120故答案為：ABD.

【分析】由拋物線的定義，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)|AB|=x113．【答案】1【解析】【解答】由2a=3b=6所以1a故答案為：1。

【分析】利用已知條件結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化公式，再利用換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，進(jìn)而得出1a14．【答案】3【解析】【解答】已知向量a=(sinθ，cosθ)，b∴sin故答案為：3

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的恒等變換，即可求解出sin15．【答案】67【解析】【解答】依題意，可知經(jīng)過(guò)一次變換A→f(A)，每個(gè)1變成3項(xiàng)，其中2個(gè)0，1個(gè)1；每個(gè)0變成3項(xiàng)，其中2個(gè)1，1個(gè)0，因?yàn)閿?shù)列A1所以A2=f(A1)A3=f(A2)A4=f(A3)所以數(shù)列A4的所有項(xiàng)之和為67故答案為：67.

【分析】根據(jù)給定的定義寫(xiě)出A2，A3，A416．【答案】1【解析】【解答】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，C(且x=0和z=2不同時(shí)成立，CM因?yàn)閨CM所以有CM所以△MCD1是直角三角形，于是設(shè)平面MCD1的法向量為因此有n?取x1=?1，則yND1=(?x，0d=|三棱錐N?MCD1體積為因?yàn)?≤x≤1，所以當(dāng)x=1，z=0時(shí)，V有最大值，顯然滿(mǎn)足x=0和即Vmax故答案為：1

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，由勾股定理可得△MCD1是直角三角形，求出平面MCD1的法向量，利用向量法可求出點(diǎn)N到平面17．【答案】（1）解：由正弦定理可得sinA因?yàn)锳+B+C=π，所以sinA即sinA整理得：sinA因?yàn)?<C<π，所以sinC≠0，所以tan因?yàn)?<A<π，所以A=π（2）解：在△ABD中，由余弦定理得：BD即9=AB整理得AB?AD≤9(2+2)所以S△ABD因?yàn)锳D=2DC，所以所以△ABC面積的最大值為27(2【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和兩角和的正弦公式可求出tanA=1，結(jié)合0<A<π，可得A的值；

（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式可得AB?AD的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式可求出△ABC18．【答案】（1）解：因?yàn)閍nan+1兩式相減得an又因?yàn)閍n≠0，所以所以數(shù)列{a2n?1}因?yàn)閍1=1，所以在anan+1所以a2n?1=1+2(n?1)=2n?1，所以an對(duì)于數(shù)列{bn}，因?yàn)閎n+1=所以數(shù)列{bn}（2）解：由cn有Tn2T兩式相減得，?T所以Tn【解析】【分析】（1）由anan+1=2Sn(n∈N*)，得an?1an=2Sn?1(n≥2)，可得an+1?an?1=2(n≥2)，得數(shù)列{a2n?1}和{a2n}19．【答案】（1）證明：取BC中點(diǎn)O，連接OA，OD，因?yàn)椤鰽BC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，所以O(shè)A⊥BC.因?yàn)椤鰾CD是等邊三角形，所以O(shè)D⊥BC.OA∩OD=O，OA?平面AOD，OD?平面AOD，所以BC⊥平面AOD.因?yàn)锳D?平面AOD，故BC⊥AD.（2）解：在△AOD中，AO=1，OD=3，AD=cos∠AOD=?32如圖，以O(shè)A，OB及過(guò)O點(diǎn)垂直于平面ABC的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，可得D(?32，0，32設(shè)n=(x1則n?AB=0令x=3，可得n設(shè)m=(x2則m?CB=0令x2=3所以cos?故平面ABD與平面BCD夾角的余弦值為393【解析】【分析】（1）取BC中點(diǎn)O，連接OA，OD，可得△BCD是等邊三角形，OD⊥BC，利用線面垂直的判定定理可得BC⊥平面AOD，進(jìn)而證得BC⊥AD；

（2）以O(shè)A，OB及過(guò)O點(diǎn)垂直于平面ABC的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求出平面ABD的一個(gè)法向量和平面BCD的一個(gè)法向量，利用向量法可求出平面ABD與平面BCD夾角的余弦值.20．【答案】（1）解：設(shè)該容器的體積為V，則V=πr又V=1603因?yàn)閘≥6r，所以0<r≤2.所以建造費(fèi)用y=2πrl×9因此y=3π(m?1)r2+（2）解：由（1）得y'=6π(m?1)r?240π由于m>94，所以m?1>0，令r3若340m?1<2，即m>6，當(dāng)r∈(0，340m?1)時(shí)，y'<0，y(r)為減函數(shù)，當(dāng)若340m?1≥2，即94<m≤6，當(dāng)r∈(0，2]時(shí)，y綜上所述，當(dāng)94<m≤6時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r=2；當(dāng)m>6時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)【解析】【分析】(1)由圓柱和球的體積的表達(dá)式，得到l和r的關(guān)系，再由圓柱和球的表面積公式建立關(guān)系式，將表達(dá)式中的l用r表示，利用l≥6r，求出該函數(shù)的定義域；

(2)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決，注意到定義域的限制，在區(qū)間(0，2]中，極值未必存在，將極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間外進(jìn)行分類(lèi)討論可得該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.21．【答案】（1）解：設(shè)A(?a，0)，B(a，0)，又因?yàn)辄c(diǎn)P(x1，于是y12=所以b2a2又因?yàn)閏=5，c可得a2=4，b2=1，所以雙曲線（2）解：設(shè)直線l的方程為：x=ty+5，M(x3，y聯(lián)立x24?y2則有y3+y