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云南省玉溪市元江一中2025屆高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為,,且成等比數(shù)列,則()A.56 B.72 C.88 D.402.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,則()A. B. C.1 D.23.已知邊長(zhǎng)為4的菱形,,為的中點(diǎn),為平面內(nèi)一點(diǎn),若,則()A.16 B.14 C.12 D.84.拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是上一點(diǎn),,則()A. B. C. D.5.已知向量,(其中為實(shí)數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知雙曲線的一條漸近線為,圓與相切于點(diǎn),若的面積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.7.如圖所示,三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計(jì),?。?,則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.1088.已知,,,,則()A. B. C. D.9.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.610.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B.4 C. D.11.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.12.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,則滿足的正整數(shù)的值為_(kāi)_____.14.若函數(shù)(R,)滿足,且的最小值等于,則ω的值為_(kāi)__________.15.在數(shù)列中,,,曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn),下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④數(shù)列是等比數(shù)列;其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______.16.在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線,的交點(diǎn)分別為、(、異于原點(diǎn)),當(dāng)斜率時(shí),求的最小值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線的極坐標(biāo)方程為().設(shè)與相交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),求.19.(12分)已知,如圖,曲線由曲線:和曲線:組成,其中點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn),點(diǎn)為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn).(Ⅰ)若,求曲線的方程;(Ⅱ)如圖,作直線平行于曲線的漸近線,交曲線于點(diǎn),求證:弦的中點(diǎn)必在曲線的另一條漸近線上;(Ⅲ)對(duì)于(Ⅰ)中的曲線,若直線過(guò)點(diǎn)交曲線于點(diǎn),求面積的最大值.20.(12分)已知數(shù)列,,數(shù)列滿足,n.(1)若,,求數(shù)列的前2n項(xiàng)和;(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,且對(duì)任意n,恒成立.①當(dāng)數(shù)列為等差數(shù)列時(shí),求證:數(shù)列,的公差相等;②數(shù)列能否為等比數(shù)列?若能,請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)列;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(12分)已知,,不等式恒成立.(1)求證:(2)求證:.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)分別交于兩點(diǎn)(與原點(diǎn)不重合),求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
,將代入,求得公差d,再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】由已知,,,故,解得或(舍),故,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算,是一道容易題.2、C【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
取中點(diǎn),可確定;根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則可求得,利用可求得結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn),連接,,,即.,,,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問(wèn)題,涉及到平面向量的線性運(yùn)算,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M(jìn)行拆解,進(jìn)而利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.4、B【解析】
根據(jù)拋物線定義得,即可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所?故選B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.5、A【解析】
結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,將兩個(gè)條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當(dāng),則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的運(yùn)算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識(shí).6、D【解析】
由圓與相切可知,圓心到的距離為2,即.又,由此求出的值,利用離心率公式,求出e.【詳解】由題意得,,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),直線與圓相切的性質(zhì),離心率的求法,屬于中檔題.7、B【解析】
根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為,
則小正方形的邊長(zhǎng)為,小正方形的面積,
則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.8、D【解析】
令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時(shí),令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.9、A【解析】
由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標(biāo)為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的的值,當(dāng),,退出循環(huán),輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過(guò)程如下:,;,;,;,;,;,;,,退出循環(huán),輸出結(jié)果為,故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題目.11、D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意二項(xiàng)分布的靈活運(yùn)用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、6【解析】
已知,利用,求出通項(xiàng),然后即可求解【詳解】∵,∴當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),,∴,故數(shù)列是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列,∴.又,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查通項(xiàng)求解問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題14、1【解析】
利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心與一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離為,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,,因?yàn)?,且的最小值等于,即相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心與一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn).15、①③④【解析】
先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點(diǎn)處的切線方程,由此求得與的遞推關(guān)系式,進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列,由此判斷出四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論編號(hào).【詳解】∵,∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則.∵,∴,則是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,從而,,.故所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③④.故答案為:①③④【點(diǎn)睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法,考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)的極坐標(biāo)方程為;曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)【解析】
(1)消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程,再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,即可求解.(2)解法1:設(shè)直線的傾斜角為,把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程,求得,再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程,得,得出,利用基本不等式,即可求解;解法2:設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為,分別代入曲線,的極坐標(biāo)方程,得,,得出,即可基本不等式,即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù),可得曲線的直角坐標(biāo)方程為,即,則曲線的極坐標(biāo)方程為,即,又因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為,即,根據(jù),代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1:設(shè)直線的傾斜角為,則直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得:,解得,,,把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得:,解得,,,,,即,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故的最小值為.解法2:設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為),代入曲線的極坐標(biāo)方程,得,,把直線的參數(shù)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程得:,,即,,曲線的參,即,,,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程,以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程點(diǎn)互化,以及直線參數(shù)方程的應(yīng)用和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,其中解答中熟記互化公式,合理應(yīng)用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)曲線的普通方程為;直線的直角坐標(biāo)方程為(2)【解析】
(1)利用消去參數(shù),將曲線的參數(shù)方程化成普通方程,利用互化公式,將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)根據(jù)(1)求出曲線的極坐標(biāo)方程,分別聯(lián)立射線與曲線以及射線與直線的極坐標(biāo)方程,求出和,即可求出.【詳解】解:(1)因?yàn)椋閰?shù)),所以消去參數(shù),得,所以曲線的普通方程為.因?yàn)樗灾本€的直角坐標(biāo)方程為.(2)曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)的極徑分別為和,將()代入,解得,將()代入,解得.故.【點(diǎn)睛】本題考查利用消參法將參數(shù)方程化成普通方程以及利用互化公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,還考查極徑的運(yùn)用和兩點(diǎn)間距離,屬于中檔題.19、(Ⅰ)和.;(Ⅱ)證明見(jiàn)解析;(Ⅲ).【解析】
(Ⅰ)由,可得,解出即可;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),設(shè)直線,與橢圓方程聯(lián)立可得:,利用,根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,證明即可;(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲線,且,設(shè)直線的方程為:,與橢圓方程聯(lián)立可得:,利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面釈計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì),即可求解.【詳解】(Ⅰ)由題意:,,解得,則曲線的方程為:和.(Ⅱ)證明:由題意曲線的漸近線為:,設(shè)直線,則聯(lián)立,得,,解得:,又由數(shù)形結(jié)合知.設(shè)點(diǎn),則,,,,,即點(diǎn)在直線上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲線,點(diǎn),設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立,得:,,設(shè),,,,面積,令,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問(wèn)題、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理論證能力與運(yùn)算求解能力,屬于難題.20、(1)(2)①見(jiàn)解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列,見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn),奇數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列,選用分組求和的方法進(jìn)行求解;(2)①設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),得出;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),得出,從而可證數(shù)列,的公差相等;②利用反證法,先假設(shè)可以為等比數(shù)列,結(jié)合題意得出矛盾,進(jìn)而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列.【詳解】(1)因?yàn)?,,所以,且,由題意可知,數(shù)列是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為4的等比數(shù)列,所以;(2)①證明:設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,若,則當(dāng)時(shí),,即,與題意不符,所以,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),,,若,則當(dāng)時(shí),,即,與題意不符,所以,綜上,,原命題得證;②假設(shè)可以為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,因?yàn)?,所以,所以,,因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以當(dāng)n為偶數(shù),且時(shí),,即當(dāng)n為偶數(shù),且
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