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甘肅省武威市民勤一中2025屆高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,則實(shí)數(shù)a=()A. B. C.2 D.﹣22.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,則的最小值為A.8 B.16 C.24 D.363.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.4.集合的子集的個數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.85.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.6.已知是空間中兩個不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則7.已知傾斜角為的直線與直線垂直,則()A. B. C. D.8.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為,且,則()A. B. C. D.9.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有勾六步,股八步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是()A. B. C. D.10.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入,,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是()A. B. C. D.11.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.12.“幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中.“階幻方”是由前個正整數(shù)組成的—個階方陣,其各行各列及兩條對角線所含的個數(shù)之和(簡稱幻和)相等,例如“3階幻方”的幻和為15(如圖所示).則“5階幻方”的幻和為()A.75 B.65 C.55 D.45二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______.14.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體),觀察向上的點(diǎn)數(shù),則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為____.15.已知,滿足不等式組,則的取值范圍為________.16.平行四邊形中,,為邊上一點(diǎn)(不與重合),將平行四邊形沿折起,使五點(diǎn)均在一個球面上,當(dāng)四棱錐體積最大時(shí),球的表面積為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識,高二年級準(zhǔn)備成立一個環(huán)境保護(hù)興趣小組.該年級理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環(huán)境保護(hù)興趣小組,再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.(1)設(shè)事件為“選出的這4個人中要求有兩個男生兩個女生,而且這兩個男生必須文、理科生都有”,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.(12分)某公司欲投資一新型產(chǎn)品的批量生產(chǎn),預(yù)計(jì)該產(chǎn)品的每日生產(chǎn)總成本價(jià)格)(單位:萬元)是每日產(chǎn)量(單位:噸)的函數(shù):.(1)求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本(即生產(chǎn)過程中一段時(shí)間的總成本對該段時(shí)間產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù));(2)記每日生產(chǎn)平均成本求證:;(3)若財(cái)團(tuán)每日注入資金可按數(shù)列(單位:億元)遞減,連續(xù)注入天,求證:這天的總投入資金大于億元.19.(12分)已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),直線與圓交于,兩點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).(1)求證:直線與橢圓相切;(2)判斷是否為定值,并說明理由.20.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)函數(shù),若對于,使得成立,求的取值范圍.21.(12分)已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個交點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為.(Ⅰ)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;(Ⅱ)若過點(diǎn),延長線段與交于點(diǎn),四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)的斜率,若不能,說明理由.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)已知直線與曲線交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
化簡z=(1+2i)(1+ai)=,再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦=(1+2i)(1+ai)=,又因?yàn)閦∈R,所以,解得a=-2.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
方法一:由題意得,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得成等差數(shù)列,設(shè),則,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,從而的最小值為16,故選B.方法二:設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及,化簡可得,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立,從而的最小值為16,故選B.3、A【解析】
將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,其漸近線方程為,化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.4、D【解析】
先確定集合中元素的個數(shù),再得子集個數(shù).【詳解】由題意,有三個元素,其子集有8個.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查子集的個數(shù)問題,含有個元素的集合其子集有個,其中真子集有個.5、C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.6、D【解析】
利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項(xiàng)做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對于,當(dāng),且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,當(dāng)時(shí),不能判定,故錯;對于,若,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,由可得,又,則故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.7、D【解析】
傾斜角為的直線與直線垂直,利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)橹本€與直線垂直,所以,.又為直線傾斜角,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.9、C【解析】
利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑,再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長為,利用等面積法,可得其內(nèi)切圓的半徑為,所以向次三角形內(nèi)投擲豆子,則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計(jì)算問題,其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì),求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.10、B【解析】
先明確該程序框圖的功能是計(jì)算兩個數(shù)的最大公約數(shù),再利用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計(jì)算,中的最大公約數(shù),所以,,,故當(dāng)輸入,,則計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)是57.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡運(yùn)算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】
計(jì)算的和,然后除以,得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求導(dǎo),x=0代入求k,點(diǎn)斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點(diǎn)睛】本題考查切線方程,求導(dǎo)法則及運(yùn)算,考查直線方程,考查計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題14、【解析】總事件數(shù)為,目標(biāo)事件:當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有,共8種;當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以,則有種;所以目標(biāo)事件共20中,所以。15、【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,易知在點(diǎn)處取得最小值,即,所以由圖可知的取值范圍為.16、【解析】
依題意可得、、、四點(diǎn)共圓,即可得到,從而得到三角形為正三角形,利用余弦定理可得,且,要使四棱錐體積最大,當(dāng)且僅當(dāng)面面時(shí)體積取得最大值,利用正弦定理求出的外接圓的半徑,再又可證面,則外接球的半徑,即可求出球的表面積;【詳解】解:依題意可得、、、四點(diǎn)共圓,所以因?yàn)?,所以,,所以三角形為正三角形,則,,利用余弦定理得即,解得,則所以,當(dāng)面面時(shí),取得最大,所以的外接圓的半徑,又面面,,且面面,面所以面,所以外接球的半徑所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球的相關(guān)計(jì)算,正弦定理、余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解析】
(1)按分層抽樣得抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人,再利用古典概型求解即可(2)由超幾何分布求解即可【詳解】(1)因?yàn)閷W(xué)生總數(shù)為1000人,該年級分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人,則抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人.所以.(2)的可能取值為0,1,2,3,,,,,的分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣,考查超幾何分布及期望,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題18、(1);(2)證明見解析;(3)證明見解析.【解析】
(1)求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由此求得求當(dāng)日產(chǎn)量為噸時(shí)的邊際成本.(2)將所要證明不等式轉(zhuǎn)化為證明,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證得,由此證得不等式成立.(3)利用(2)的結(jié)論,判斷出,由此結(jié)合對數(shù)運(yùn)算,證得.【詳解】(1)因?yàn)樗援?dāng)時(shí),(2)要證,只需證,即證,設(shè)則所以在上單調(diào)遞減,所以所以,即;(3)因?yàn)橛钟桑?)知,當(dāng)時(shí),所以所以所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查放縮法證明數(shù)列不等式,屬于難題.19、(1)證明見解析;(2)是,理由見解析.【解析】
(1)根據(jù)判別式即可證明.(2)根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達(dá)定理即可證明,需要分類討論,【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí)直線方程為或,直線與橢圓相切.當(dāng)時(shí),由得,由題知,,即,所以.故直線與橢圓相切.(2)設(shè),,當(dāng)時(shí),,,,所以,即.當(dāng)時(shí),由得,則,,.因?yàn)?所以,即.故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查向量的運(yùn)算,注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運(yùn)用韋達(dá)定理,考查化簡整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.20、(1)當(dāng)時(shí),在上增;當(dāng)時(shí),在上減,在上增(2)【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),分類討論確定的正負(fù),確定單調(diào)區(qū)間;(2)題意說明,利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值,由(1)可得的最小值,從而得出結(jié)論.【詳解】解:(1)定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),即在上增;當(dāng)時(shí),即得得綜上所述,當(dāng)時(shí),在上增;當(dāng)時(shí),在上減,在上增(2)由題在上增由(1)當(dāng)時(shí),在上增,所以此時(shí)無最小值;當(dāng)時(shí),在上減,在上增,即,解得綜上【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查不等式恒成立問題,解題關(guān)鍵是掌握轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題恒成立問題轉(zhuǎn)化為,求出兩函數(shù)的最小值后可得結(jié)論.21、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)能,或.【解析】試題分析:(1)設(shè)直線,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理求根與系數(shù)的關(guān)系,并表示直線的斜率,再表示;(2)第一步由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,直線與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo),第二步再整理點(diǎn)的坐標(biāo),如果能構(gòu)成平行四邊形,只需,如果有值,并且滿足,的條件就說明存在,否則不存在.試題解析:解:(1)設(shè)直線,,,.∴由得,∴,.∴直線的斜率,即.即直線的斜率與的斜率的乘積為定值.(2)四邊形能為平行四邊形.∵直線過點(diǎn),∴不過原點(diǎn)且與有兩個交點(diǎn)的充要條件是,由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.∴由得,即將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得,因此.四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分,即∴.解得,.∵,,,∴當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí),四邊形為平行四邊形.考點(diǎn):直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【一題多解】第一問涉及中點(diǎn)弦,當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí),點(diǎn)是弦的中點(diǎn),(1)
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