（寒假）人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)寒假精講精練05 巧解平行線中的拐點(diǎn)問(wèn)題+隨堂檢測(cè)（教師版）

第頁(yè)05巧解平行線中的拐點(diǎn)問(wèn)題題型一過(guò)一個(gè)拐點(diǎn)作平行線求角度題型一過(guò)一個(gè)拐點(diǎn)作平行線求角度【例題1】如圖，AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝30°，則∠3的度數(shù)為（）A．55° B．75° C．80° D．105°【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，利用平行線的性質(zhì)得出∠3＝∠1+∠2＝75°．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，如圖所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故選：B．解題技巧提煉當(dāng)兩條平行線不是被第三條直線所截,而是被一條折線所截時(shí)，平行線的性質(zhì)則不能直接應(yīng)用，遇到一個(gè)拐點(diǎn)時(shí)，只需過(guò)折線的“拐點(diǎn)”作一條平行線,利用平行公理的推論得出三條直線互相平行，從而多次利用平行線的性質(zhì)解決問(wèn)題.【變式1-1】如圖，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，則∠C＝度．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF平行于AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CF平行于AB，如圖：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF?∠1＝180°﹣∠B＝30°，CF∥ED?∠2＝180°﹣∠D＝35°，∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．故填65°．【變式1-2】如圖，直線a∥b，點(diǎn)M、N分別在直線a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3等于（）A．360° B．300° C．270° D．180°【分析】先過(guò)點(diǎn)P作PA∥a，構(gòu)造三條平行線，然后利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PA∥a，則a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故選：A．【變式1-3】為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某學(xué)校將“抖空竹”引入陽(yáng)光體育一小時(shí)活動(dòng)．圖1是一位同學(xué)抖空竹時(shí)的一個(gè)瞬間，數(shù)學(xué)老師把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度數(shù)．小明在解決過(guò)程中，過(guò)E點(diǎn)作EF∥CD，則可以得到EF∥AB，其理由是，根據(jù)這個(gè)思路可得∠AEC＝．【分析】根據(jù)平行公理推論得到EF∥AB，再根據(jù)平行線的x性質(zhì)求解即可．【解答】解：過(guò)E點(diǎn)作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠EAB+∠AEF＝180°，∵EF∥CD，∴∠CEF+∠ECD＝180°，∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．故答案為：平行于同一直線的兩直線平行；30°．【變式1-4】如圖，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度數(shù)．【分析】過(guò)C作CF∥AB，得到AB∥DE∥CF，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，求出∠ACF、∠DCF的度數(shù)，根據(jù)∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，即可求出答案．【解答】解：過(guò)C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，∵∠1＝120°，∠2＝110°，∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°，∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，＝180°﹣60°﹣70°＝50°，答：∠3的度數(shù)是50°．【變式1-5】如圖，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度數(shù)．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，由平行公理的推論得出CF∥DE，再由平行線的性質(zhì)求得∠4的度數(shù)為70°，再根據(jù)CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度數(shù)即可．【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，∵CF∥AB∴∠3＝∠1＝25°∵AB∥DE，∴DF∥CE，∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．【變式1-6】課堂上老師呈現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：下面提供三種思路：思路一：過(guò)點(diǎn)F作MN∥CD（如圖（1））；思路二：過(guò)點(diǎn)P作PN∥EF，交AB于點(diǎn)N；思路三：過(guò)點(diǎn)O作ON∥FG，交CD于點(diǎn)N．解答下列問(wèn)題：（1）根據(jù)思路一（圖（1）），可求得∠EFG的度數(shù)為；（2）根據(jù)思路二、思路三分別在圖（2）和圖（3）中作出符合要求的輔助線；（3）請(qǐng)你從思路二、思路三中任選其中一種，試寫(xiě)出求∠EFG的度數(shù)的解答過(guò)程．【分析】（1）過(guò)F作MN∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠EFG的度數(shù)；（2）由圖可得，思路二輔助線的做法為過(guò)P作PN∥EF；思路三輔助線的做法為過(guò)O作ON∥FG；（3）若選擇思路二，過(guò)P作PN∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠NPD的度數(shù)，再根據(jù)∠1的度數(shù)以及平行線的性質(zhì)，即可得到∠EFG的度數(shù)；若選擇思路三，過(guò)O作ON∥FG，先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到∠BON的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠EFG的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖（1），過(guò)F作MN∥CD，∵M(jìn)N∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案為：120°；（2）由圖可得，思路二輔助線的做法為過(guò)P作PN∥EF；思路三輔助線的做法為過(guò)O作ON∥FG；（3）若選擇思路二，理由如下：如圖（2），過(guò)P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若選擇思路三，理由如下：如圖（3），過(guò)O作ON∥FG，∵ON∥FG，∠1＝30°，∴∠PNO＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠BON＝∠PNO＝30°，又∵EF⊥AB，∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°，∵ON∥FG，∴∠EFG＝∠EON＝120°．題型二過(guò)多個(gè)拐點(diǎn)作平行線求角度題型二過(guò)多個(gè)拐點(diǎn)作平行線求角度【例題2】如圖，直線l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，則∠1+∠2等于（）A．40° B．35° C．36° D．30°【分析】過(guò)點(diǎn)A作l1的平行線，過(guò)點(diǎn)B作l2的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后計(jì)算即可得解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作l1的平行線AC，過(guò)點(diǎn)B作l2的平行線BD，則∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故選：D．解題技巧提煉題型一中的題平行線間有個(gè)一折點(diǎn)，只需過(guò)折點(diǎn)處作一條輔助平行線即可，若有個(gè)多個(gè)折點(diǎn)，則需要過(guò)每一個(gè)折點(diǎn)作輔助平行線，再利用平行線的判定和性質(zhì)解決問(wèn)題即可.【變式2-1】如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠D，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【分析】過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，過(guò)點(diǎn)D作DH∥EF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB，過(guò)點(diǎn)D作DH∥EF，則∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．故選：C．【變式2-2】如圖所示，若AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數(shù)是．【分析】過(guò)E作EQ∥CD，過(guò)F作FW∥CD，過(guò)G作GR∥CD，過(guò)H作HY∥CD，根據(jù)平行線的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．【解答】解：如圖1，過(guò)E作EQ∥CD，過(guò)F作FW∥CD，過(guò)G作GR∥CD，過(guò)H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．故答案為：900°.【變式2-3】如圖，AB∥CD，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，EH、FH分別是∠AEG和∠CFG的角平分線．若∠G＝110°，則∠H＝°．【分析】過(guò)點(diǎn)G作GM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AEG+∠EGM＝180°，再結(jié)合已知可得CD∥GM，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠CFG+∠MGF＝180°，從而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分線的定義可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：過(guò)點(diǎn)G作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠CFG+∠MGF＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，∵EH、FH分別是∠AEG和∠CFG的角平分線，∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=1∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+12∠CFG＝125°，∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠故答案為：125．【變式2-4】如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．（1）若∠M＝90°，則∠AEM+∠CFM＝；（2）若∠M＝n°，∠BEM與∠DFM的角平分線交于點(diǎn)N，則∠N的度數(shù)為．（用含n的式子表示）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，則AB∥CD∥MP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AB，則AB∥CD∥NQ，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等和角平分線的定義可得答案．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案為：270°；（2）過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點(diǎn)N，∵∠NEB=12∠MEB，∠DFN=∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN=12（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠∴∠ENF=12∠EMF=12n°．故答案為：【變式2-5】（1）填空：如圖1，MA1∥NA2，則∠A1+∠A2＝°．如圖2，MA1∥NA3，則∠A1+∠A2+∠A3＝°．如圖3，MA1∥NA4，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝°．如圖4，MA1∥NA5，則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝°．（2）歸納：如圖5，MA1∥NAn，則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝°．（3）應(yīng)用：如圖6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分線相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)．【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得結(jié)論；②根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行，把此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上題形式，可得結(jié)論；③在上題的基礎(chǔ)上，多加一個(gè)180°，思路不變，可得結(jié)論；④在③的基礎(chǔ)上，多加一個(gè)180°，思路不變，可得結(jié)論；（2）通過(guò)觀察圖形，尋找規(guī)律：兩個(gè)A點(diǎn)時(shí)，結(jié)論是1×180°，三個(gè)A點(diǎn)時(shí)，結(jié)論是2×180°，四個(gè)A點(diǎn)時(shí)，結(jié)論是3×180°，所以n個(gè)A點(diǎn)時(shí)，即可得結(jié)論．（3）運(yùn)用上述結(jié)論和角平分線定義可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，∵M(jìn)A1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如圖2，過(guò)點(diǎn)A2作A2C1∥A1M，∵M(jìn)A1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如圖3，過(guò)點(diǎn)A2作A2C1∥A1M，過(guò)點(diǎn)A3作A3C2∥A1M，∵M(jìn)A1∥NA4，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA4，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如圖4，過(guò)點(diǎn)A2作A2C1∥A1M，過(guò)點(diǎn)A3作A3C2∥A1M，過(guò)點(diǎn)A4作A4C3∥A1M，∵M(jìn)A1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．故答案為：180；360；540；720；（2）∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝180（n﹣1）°．故答案為：180（n﹣1）；（3）根據(jù)上述結(jié)論得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，又∵∠ABE和∠CDE的平分線相交于F，∴2∠ABF+∠E+2∠CDF＝360°，即2（∠ABF+∠CDF）+∠E＝360°，∴2（∠ABF+∠CDF）＝360°﹣∠E＝360°﹣80°＝280°，∴∠ABF+∠CDF=12×280°＝140°，即∠BFD題型三過(guò)拐點(diǎn)作平行線的證明題題型三過(guò)拐點(diǎn)作平行線的證明題【例題3】小華在學(xué)習(xí)“平行線的性質(zhì)”后，對(duì)圖中∠B，∠D和∠BOD的關(guān)系進(jìn)行了探究：（1）如圖1，AB∥CD，點(diǎn)O在AB，CD之間，試探究∠B，∠D和∠BOD之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由；小華添加了過(guò)點(diǎn)O的輔助線OM，并且OM∥CD請(qǐng)幫助他寫(xiě)出解答過(guò)程；（2）如圖2，若點(diǎn)O在CD的上側(cè)，試探究∠B，∠D和∠BOD之間有什么關(guān)系？并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)O在AB的下側(cè)，試探究∠B，∠D和∠BOD之間有什么關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出它們的關(guān)系式．【分析】（1）求出AB∥CD∥OM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（2）求出AB∥CD∥OM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（3）求出AB∥CD∥OM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：如圖：過(guò)O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：如圖：過(guò)O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．解題技巧提煉對(duì)于兩條平行線間“折線”與“拐點(diǎn)”的證明題，一般都是在拐點(diǎn)處作平行線，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)造一些相等的角或互補(bǔ)的角，使已知和未知一目了然，達(dá)到解題的目的，具體步驟是：①作輔助線（過(guò)拐點(diǎn)處作平行線）；②找特殊角（找相等的角或互補(bǔ)的角）；③解決問(wèn)題（找到數(shù)量關(guān)系）.【變式3-1】如圖,已知∠1=70°，∠2=30°,EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求證：AB∥CD.【分析】先過(guò)點(diǎn)E在∠BEC的內(nèi)部作EM∥AB，求出∠BME的度數(shù)，根據(jù)角平分線求出∠BEC的度數(shù)，從而求出∠CEM的度數(shù)，然后根據(jù)∠CEM=∠2，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出EM∥AB.【解答】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E在∠BEC的內(nèi)部作EM∥AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM∥CD,又∵EM∥AB∴AB∥CD.【變式3-2】如圖，點(diǎn)E在線段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求證：BE⊥DE.【分析】過(guò)點(diǎn)E在∠BED的內(nèi)部作EM∥AB，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根據(jù)∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，從而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可證明BE⊥DE.【解答】證明：過(guò)點(diǎn)E在∠BED的內(nèi)部作EM∥AB，則∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB∥CD，EM∥CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.【變式3-3】如圖1，AB∥CD，EOF是直線AB、CD間的一條折線．（1）試證明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果將折一次改為折二次，如圖2，則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之間會(huì)滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．【分析】（1）作OM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根據(jù)平行線的傳遞性得OM∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【解答】（1）證明：作OM∥AB，如圖1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如圖2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【變式3-4】問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)．請(qǐng)寫(xiě)出具體求解過(guò)程．問(wèn)題遷移：（1）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【分析】過(guò)P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分兩種情況：①點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間，②點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)點(diǎn)P在A、M兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖4，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)點(diǎn)P在B、O兩點(diǎn)之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖5，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【變式3-5】閱讀下面內(nèi)容，并解答問(wèn)題在學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)后，老師請(qǐng)同學(xué)們證明命題：兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內(nèi)角的平分線互相垂直．小穎根據(jù)命題畫(huà)出圖形并寫(xiě)出如下的已知條件．已知：如圖1，AB∥CD，直線EF分別交AB，C于點(diǎn)E，F(xiàn)．∠BEF的平分線與∠DFE的平分線交于點(diǎn)G．（1）直線EG，F(xiàn)G有何關(guān)系？請(qǐng)補(bǔ)充結(jié)論：求證：“”，并寫(xiě)出證明過(guò)程；（2）請(qǐng)從下列A、B兩題中任選一題作答，我選擇題，并寫(xiě)出解答過(guò)程．A．在圖1的基礎(chǔ)上，分別作∠BEG的平分線與∠DFG的平分線交于點(diǎn)M，得到圖2，求∠EMF的度數(shù)．B．如圖3，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．點(diǎn)O在直線AB，CD之間，且在直線EF右側(cè)，∠BEO的平分線與∠DFO的平分線交于點(diǎn)P，請(qǐng)猜想∠EOF與∠EPF滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明它．【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理解決問(wèn)題即可．（2）A、利用基本結(jié)論，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．B、利用基本結(jié)論∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．【解答】解：（1）結(jié)論：EG⊥FG；理由：如圖1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠DFE，∴∠GEF=12∠BEF∴∠GEF+∠GFE=12∠BEF+在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案為：EG⊥GF；（2）A．如圖2中，由題意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=12（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45B．結(jié)論：∠EOF＝2∠EPF．理由：如圖3中，由題意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案為：A或B．題型四與拐點(diǎn)有關(guān)的綜合探究題題型四與拐點(diǎn)有關(guān)的綜合探究題【例題4】（1）問(wèn)題背景：如圖1，已知AB∥CD，點(diǎn)P的位置如圖所示，連結(jié)PA，PC，試探究∠APC與∠A、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，以下是小明同學(xué)的探索過(guò)程，請(qǐng)你結(jié)合圖形仔細(xì)閱讀，并完成填空（理由或數(shù)學(xué)式）：解：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（），∴∠A+∠C＝+（等式的性質(zhì)）．即∠APC，∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）類比探究：如圖2，已知AB∥CD，線段AD與BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)．若∠ABC＝41°，∠ADC＝78°，則∠AEC＝．（3）拓展延伸：如圖3，若∠ABC與∠ADC的角平分線相交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BFD與∠AEC之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）利用題干中的思路，依據(jù)兩條直線平行的判定，平行線的性質(zhì)和等式的性質(zhì)解答即可；（2）利用類比的方法，依據(jù)（1）的思路與方法解答即可；（3）利用類比的方法，依據(jù)（1）的思路與方法分別計(jì)算∠BFD與∠AEC，觀察結(jié)論即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性質(zhì)）．即∠APC，∠A，∠C之間的數(shù)量關(guān)系是：∠APC＝∠A+∠C．故答案為：平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；（2）過(guò)點(diǎn)E作EP∥AB，如圖，∵AB∥CD（已知），∴∠ADC＝∠BAD＝78°，∴PE∥CD，∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，故答案為：119°；（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，∵DF，BF分別是∠ABC，∠ADC的平分線，∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．過(guò)點(diǎn)F作FP∥AB，如圖，則∠ABF＝∠BFP，∵AB∥CD，∴FP∥CD，∴∠PFD＝∠FDC，∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，∴2∠BFD＝∠AEC，故答案為：2∠BFD＝∠AEC．解題技巧提煉綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定解決與拐點(diǎn)有關(guān)的探究題，作輔助線是解題的關(guān)鍵，有時(shí)要用到分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是學(xué)生的難點(diǎn)突破.【變式4-1】小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖①，已知：AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接BE，ED，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D．小亮幫助小明給出了該問(wèn)的證明．證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．請(qǐng)你參考小亮的思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：直線l1∥l2，直線EF和直線l1、l2分別交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別在直線l1、l2上，猜想：如圖②，若點(diǎn)P在線段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度數(shù)．拓展：如圖③，若點(diǎn)P在直線EF上，連接PA、PB（BD＜AC），直接寫(xiě)出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】猜想：過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，從而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度數(shù)；拓展：分情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在射線DF上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在射線CE上時(shí)，然后過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行探究角之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：猜想：如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在射線DP上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在射線CE上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH∥AC，則∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；綜上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系為∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．【變式4-2】如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點(diǎn)G在AB、CD之間，連接GE、GF．（1）當(dāng)∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG時(shí)：①如圖1，若EG⊥FG，則∠P的度數(shù)為；②如圖2，在CD的下方有一點(diǎn)Q，EG平分∠BEQ，F(xiàn)D平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度數(shù)；（2）如圖3，在AB的上方有一點(diǎn)O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長(zhǎng)線平分∠OEA，則當(dāng)∠EOF+∠EGF＝100°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠OEA與∠OFC的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①②根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)O作OT∥AB，則OT∥CD，設(shè)∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得α+β＝80°，進(jìn)而根據(jù)3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．【解答】解：（1）①如圖，分別過(guò)點(diǎn)G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG；∴∠BEP=12∠BEG，∠PFD∴∠EPF=12（∠BEG+∠GFD）=12∠EGF②如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，F(xiàn)D恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，設(shè)∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）結(jié)論：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一點(diǎn)O，若FO平分∠GFC，線段GE的延長(zhǎng)線平分∠OEA，設(shè)H為線段GE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，設(shè)∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如圖，過(guò)點(diǎn)O作OT∥AB，則OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴12∠OEA+∠OFC＝80°，∴∠OEA+2∠PFC＝160°【變式4-3】【感知】（1）如圖①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF的度數(shù)．小樂(lè)想到了以下方法，請(qǐng)幫忙完成推理過(guò)程．解：如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，【探究】（2）如圖②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度數(shù)；【應(yīng)用】（3）如圖③，在以上【探究】條件下，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)．（4）已知直線a∥b，點(diǎn)A，B在直線a上，點(diǎn)C，D在直線b上（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），連接AD，BC，∠ABC的平分線與∠ADC的平分線所在的直線交于點(diǎn)E，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），請(qǐng)畫(huà)出圖形并求出∠BED的度數(shù)（用含α，β的式子表示）．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可求解；（2）過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，根據(jù)AB∥CD，PM∥CD，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求∠EPF的度數(shù)；（3）如圖③所示，在[探究]的條件下，根據(jù)∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，可得∠G的度數(shù)；（4）畫(huà)出圖形，分點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)和點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)，兩種情況，分別求解．【解答】解：（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵AB∥CD，∴PM∥CD（平行于同一直線的兩條直線平行），∴∠2+∠PFD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°，∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°；（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，∴∠MPE＝∠AEP＝50°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠PFC＝∠MPF＝120°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性質(zhì)）．（3）如圖③所示，∵EG是∠PEA的平分線，F(xiàn)G是∠PFC的平分線，∴∠AEG=12∠AEP＝25°，∠GFC=12∠過(guò)點(diǎn)G作GM∥AB，∴∠MGE＝∠AEG＝25°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行），∴∠GFC＝∠MGF＝60°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°；（4）當(dāng)點(diǎn)A在B左側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABE＝∠BEF=12α，∠CDE＝∠DEF=12β，∴∠BED＝∠BEF+當(dāng)點(diǎn)A在B右側(cè)時(shí)，點(diǎn)E在AB和CD外時(shí)，點(diǎn)E在AB上方時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，∠ABG＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠DEF＝∠CDE=12β，∠ABG＝∠BEF=12α，∴∠BED＝∠BEF當(dāng)點(diǎn)A在B右側(cè)時(shí)，點(diǎn)E在AB和CD外時(shí)，點(diǎn)E在AB下方時(shí)，同理可求∠BED=β?α2，當(dāng)點(diǎn)A在B右側(cè)時(shí)，點(diǎn)E在AB和CD內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥∴∠DEF+∠CDE＝180°，∠ABE＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠CDE=12β，∠ABE＝∠BEF=12α，∴∠DEF＝180∴∠BED＝∠DEF+∠BEF＝180°?12β+12α，或∠BED＝360°﹣（∠DEF+∠BEF）＝180°+綜上，∠BED的度數(shù)為α+β2或α?β2或180°?12β+12α或180【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行公理及推論，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．平行線的性質(zhì)與判定隨堂檢測(cè)1.如圖，點(diǎn)E為直線AB上一點(diǎn)，∠B=∠ACB，BC平分∠ACD，求證：AB∥CD．【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【詳解】證明：∵BC平分∠ACD，∴∠ACB=∠BCD，∵∠B=∠ACB，∴∠B=∠BCD，∴AB∥