2024屆怒江市重點中學(xué)高三第三次四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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文檔簡介

2023屆怒江市重點中學(xué)高三第三次四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量與向量平行,,且,則()A. B.C. D.2.函數(shù)圖像可能是()A. B. C. D.3.已知函數(shù),若,則的值等于()A. B. C. D.4.給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作,每項工作至少一人,每人做且僅做一項工作,甲不能安排木工工作,則不同的安排方法共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.64種5.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③6.已知平面向量,,滿足:,,則的最小值為()A.5 B.6 C.7 D.87.若復(fù)數(shù)滿足,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,則()A.1 B.0 C. D.8.已知拋物線上一點到焦點的距離為,分別為拋物線與圓上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.9.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.10.已知平面平面,且是正方形,在正方形內(nèi)部有一點,滿足與平面所成的角相等,則點的軌跡長度為()A. B.16 C. D.11.設(shè)是等差數(shù)列的前n項和,且,則()A. B. C.1 D.212.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A. B.64 C. D.32二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.等差數(shù)列(公差不為0),其中,,成等比數(shù)列,則這個等比數(shù)列的公比為_____.14.某種圓柱形的如罐的容積為個立方單位,當它的底面半徑和高的比值為______.時,可使得所用材料最省.15.已知實數(shù)、滿足,且可行域表示的區(qū)域為三角形,則實數(shù)的取值范圍為______,若目標函數(shù)的最小值為-1,則實數(shù)等于______.16.若展開式中的常數(shù)項為240,則實數(shù)的值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.(Ⅰ)求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的前項和.18.(12分)在平面直角坐標系中,,,且滿足(1)求點的軌跡的方程;(2)過,作直線交軌跡于,兩點,若的面積是面積的2倍,求直線的方程.19.(12分)設(shè)函數(shù),(1)當,,求不等式的解集;(2)已知,,的最小值為1,求證:.20.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當時,求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.21.(12分)已知直線過橢圓的右焦點,且交橢圓于A,B兩點,線段AB的中點是,(1)求橢圓的方程;(2)過原點的直線l與線段AB相交(不含端點)且交橢圓于C,D兩點,求四邊形面積的最大值.22.(10分)如圖:在中,,,.(1)求角;(2)設(shè)為的中點,求中線的長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】

設(shè),根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個未知數(shù)的值,即可得出向量的坐標.【詳解】設(shè),且,,由得,即,①,由,②,所以,解得,因此,.故選:B.【點睛】本題考查向量坐標的求解,涉及共線向量的坐標表示和向量數(shù)量積的坐標運算,考查計算能力,屬于中等題.2.D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項A,C,當時,可分析函數(shù)值為正,即可判斷選項.【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù),故排除選項A,C,當正數(shù)越來越小,趨近于0時,,所以函數(shù),故排除選項B,故選:D【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,識別函數(shù)的圖象,屬于中檔題.3.B【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得,【詳解】∵其中為奇函數(shù),也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選:B【點睛】函數(shù)奇偶性的運用即得結(jié)果,小記,定義域關(guān)于原點對稱時有:①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù);②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù);③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù);④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù);⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù);⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù);⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)4.C【解析】

根據(jù)題意,分2步進行分析:①,將4人分成3組,②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,將剩下的2組全排列,安排其他的2項工作,由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,分2步進行分析:①,將4人分成3組,有種分法;②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,有2種情況,將剩下的2組全排列,安排其他的2項工作,有種情況,此時有種情況,則有種不同的安排方法;故選:C.【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項.點睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時,要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯誤.一般地,經(jīng)過恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.6.B【解析】

建立平面直角坐標系,將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式,再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達的算式,利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標系如下圖所示,設(shè),,且,由于,所以..所以,即..當且僅當時取得最小值,此時由得,當時,有最小值為,即,,解得.所以當且僅當時有最小值為.故選:B【點睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模,考查基本不等式的運用,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.7.C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】解:∵,∴,則,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】

利用拋物線的定義,求得p的值,由利用兩點間距離公式求得,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),求得,由取得最小值為,求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點在軸上,準線方程,則點到焦點的距離為,則,所以拋物線方程:,設(shè),圓,圓心為,半徑為1,則,當時,取得最小值,最小值為,故選D.【點睛】該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題,涉及到的知識點有拋物線的定義,點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑,二次函數(shù)的最小值,屬于中檔題目.9.C【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當時,且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當時,且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用,由分段函數(shù)解析式求自變量.10.C【解析】

根據(jù)與平面所成的角相等,判斷出,建立平面直角坐標系,求得點的軌跡方程,由此求得點的軌跡長度.【詳解】由于平面平面,且交線為,,所以平面,平面.所以和分別是直線與平面所成的角,所以,所以,即,所以.以為原點建立平面直角坐標系如下圖所示,則,,設(shè)(點在第一象限內(nèi)),由得,即,化簡得,由于點在第一象限內(nèi),所以點的軌跡是以為圓心,半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程,解得,故,由于,所以,所以點的軌跡長度為.故選:C【點睛】本小題主要考查線面角的概念和運用,考查動點軌跡方程的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.11.C【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】

根據(jù)三視圖,還原空間幾何體,即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖,還原空間幾何體如下圖所示:可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐,其底面是邊長為4的正方形,高為4,故.故選:A【點睛】本題考查了三視圖的簡單應(yīng)用,由三視圖還原空間幾何體,棱錐體積的求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.4【解析】

根據(jù)等差數(shù)列關(guān)系,用首項和公差表示出,解出首項和公差的關(guān)系,即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題意得:,則整理得,,所以故答案為:4【點睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計算,涉及等比中項,考查基本計算能力.14.【解析】

設(shè)圓柱的高為,底面半徑為,根據(jù)容積為個立方單位可得,再列出該圓柱的表面積,利用導(dǎo)數(shù)求出最值,從而進一步得到圓柱的底面半徑和高的比值.【詳解】設(shè)圓柱的高為,底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個立方單位∴,即.∴該圓柱形的表面積為.令,則.令,得;令,得.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴當時,取得最小值,即材料最省,此時.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是寫出表面積的表示式,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,屬中檔題.15.【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義,結(jié)合目標函數(shù)的最小值,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出可行域如圖,則要為三角形需滿足在直線下方,即,;目標函數(shù)可視為,則為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù),該直線截距最大在過點時,此時,直線:,與:的交點為,該點也在直線:上,故,故答案為:;.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法,屬于基礎(chǔ)題.16.-3【解析】

依題意可得二項式展開式的常數(shù)項為即可得到方程,解得即可;【詳解】解:∵二項式的展開式中的常數(shù)項為,∴解得.故答案為:【點睛】本題考查二項式展開式中常數(shù)項的計算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)利用等比數(shù)列的定義結(jié)合得出數(shù)列是等比數(shù)列(Ⅱ)數(shù)列是“等比-等差”的類型,利用分組求和即可得出前項和.【詳解】解:(Ⅰ)當時,,故.當時,,則,,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,.【點睛】(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出(Ⅱ)采用分組求和:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.18.(1).(2)的方程為.【解析】

(1)令,則,由此能求出點C的軌跡方程.(2)令,令直線,聯(lián)立,得,由此利用根的判別式,韋達定理,三角形面積公式,結(jié)合已知條件能求出直線的方程?!驹斀狻拷猓海?)因為,即直線的斜率分別為且,設(shè)點,則,整理得.(2)令,易知直線不與軸重合,令直線,與聯(lián)立得,所以有,由,故,即,從而,解得,即。所以直線的方程為?!军c睛】本題考查橢圓方程、直線方程的求法,考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關(guān)系,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題。19.(1)或;(2)證明見解析【解析】

(1)將化簡,分類討論即可;(2)由(1)得,,展開后再利用基本不等式即可.【詳解】(1)當時,,所以或或解得或,因此不等式的解集的或(2)根據(jù),當且僅當時,等式成立.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法、利用基本不等式證明不等式問題,考查學(xué)生基本的計算能力,是一道基礎(chǔ)題.20.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)求導(dǎo),代入,求出在處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值,由此即可求得切線方程;(2)分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】(1),當時,,,則在的切線方程為;(2)證明:令,解得或,①當時,恒成立,此時函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴函數(shù)無極值;②當時,令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴;③當時,令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴,綜上,函數(shù)的極大值恒大于0.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.21.(1)(2)【解析】

(1)由直線可得橢圓右焦點的坐標為,由中點可得,且由斜率公式可得,由點在橢圓上,則,二者作差,進而代入整理可得,即可求解;(2)設(shè)直線,點到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點到直線距離求得,根據(jù)直線l與線段AB(不含端點)相交,可得,即,進而整理換元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】(1)直線與x軸交于點,所以橢圓右焦點的坐標為,故,因為線段AB的中點是,設(shè),則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.(2)由(1)聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設(shè)直線,代入,得,解得或,設(shè),則,則,因為到直線的距離分別是,由于直線l與線段AB(

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