北京市延慶區(qū)高考一?？荚嚁?shù)學(xué)試題（理）含解析試卷分析

延慶區(qū)2015—2016學(xué)年度一模統(tǒng)一考試

高三數(shù)學(xué)（理科）2016年3月

本試卷共6頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.若集合4={X[0KX<2},B={X|%2>1},則ACI8=（）

A.{x|O<x<1}B.{x|x>0或％<—1}

C.{x|l<x?2}D.{A,|0<X<2）

2.更數(shù)2_=（）

1+/

A.14-ZB.1—ZC.-1+iD.-1—Z

3.已知兩條直線。泊和平面a,若alAboa,則是“Z?〃c”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某三楂錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的最長楂的長為（）

A.6二、

B.6

正（主》視圖供1（左）視圖

C.2S19F1）

D.75

<4底留）

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的，，的值為15,則判斷框應(yīng)填寫（）

A.2B.3C.4D.5

/=0,a=0

<----fl=2a+l

。個(gè)

1|

/輸事〃/

麗（5題圖）

6.已知等比數(shù)列｛?,｝的公比4",則下面說法中不氐硬的是（）

A-伍”+2+4｝是等比數(shù)列B.對(duì)于AeNZA>1,&T+&+|W24

C.對(duì)于〃eN?，都有可%+2>0D.若則對(duì)于任意〃wN?，都有《川>4

7.如圖是近三年某市生產(chǎn)總值增速（累計(jì)，%）的折線統(tǒng)計(jì)圖，據(jù)該市統(tǒng)計(jì)局初步核算，2015

年一季度全市生產(chǎn)總值為1552.38億元，與去年同一時(shí)期相比增長12.9%（如圖，折線圖中

其它數(shù)據(jù)類同）.根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖得出正確判斷是（）

A.近三年該市生產(chǎn)總值為負(fù)增長

B.近三年該市生產(chǎn)總值為正增長

C.該市生產(chǎn)總值2013年到2014年

為負(fù)增長，2014年到2015年為正增長

1冬及2季巡3季晚4靠度1季度2季度3季晚4季度1季度

D.以上A、B、C的判斷都不正確

2013年2014亞2015年

8.已知偶函數(shù)/（幻，奇函數(shù)g（x）的圖像分別如圖（1）、圖（2）所示，方程/（g（x））=（）,

g（/*））=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)分別為。/，則。+〃=

A.3

B.7

C.10

D.14

第n卷（非選擇題）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.某校高一學(xué)雷鋒志愿小組共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，現(xiàn)在從中任選

3人，要求每班至多選1人，不同的選取方法的種數(shù)為.

10.2022年冬奧會(huì)高山滑雪項(xiàng)目將在延慶小海坨山舉行。小明想測(cè)量一下小海坨山的高度,

他在延慶城區(qū)（海拔約5。0米）一塊平地上仰望小海坨山頂，仰角15度，他向小海坨山方

向直行3400米后，再仰望小海坨山頂，此時(shí)仰角30度，問小明測(cè)的小海坨山海拔約有

米.

11.如圖，在邊長為。的正六邊形A8CO由中，AECA=.

（11題圖）

12.如圖，半徑為2的0。中，ZAOB=90,。為。8的中點(diǎn)，A。的延長線交

。。于點(diǎn)，則線段OE的長為.

（12題圖）

13.等差數(shù)列伍，中，已知。225,外（3,則應(yīng)能取得最_（大或?。┲禐椤?

14.若動(dòng)點(diǎn)P在直線4：x-），—2=0上，動(dòng)點(diǎn)。在直線4：x—y-6=O上，設(shè)線段PQ的中

點(diǎn)為M（Xo，）b），且（%-2尸+（）b+2）Y8,則玉/+打？的取值范圍是.

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)/（x）=^sin2x-cos2x-^

（I）求f。）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間;

（II）當(dāng)xe［一看，著］時(shí)，求函數(shù)/（幻的最小值和最大值?

16.（本小題滿分13分）

在一次水稻試驗(yàn)田驗(yàn)收活動(dòng)中，將甲、乙

兩種水稻隨機(jī)抽取各6株洋品，單株籽粒數(shù)制成

如圖所示的莖葉圖：

（I）一粒水稻約為0.1克，每畝水稻約為6萬株，估計(jì)甲種水稻畝產(chǎn)約為多少公斤？（II）

分別從甲、乙兩種水稻樣品中任取一株，甲品種中選出的籽粒數(shù)記為。，乙品種中選出的籽

粒數(shù)記為人，求。之8的概率.

(川)如從甲品種的6株中任選2株，記選到的超過187粒的株數(shù)為求J的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

17.(本小題滿分14分)

如圖，已知在四棱錐S—A3CQ中，底面A8CO是邊長為2的菱形，ZABC=60,

側(cè)面SA。為正三角形，側(cè)面SWJJ氐面ABC。，E為線段AO的中點(diǎn).

(I)求證：5￡_1_底面八8。'。；

(H)求證：二面角A-S8-C為直二面角；

(III)在側(cè)棱防上是否存在一點(diǎn)M,使得8。_L平面MAC?如果存在，求絲?的值;

如果不存在，說明理由.

18.(本小題滿分13分)

x

已知函數(shù)f(x)=e9xeR.

(I)求函數(shù)/(x)在x=l處的切線方程:

(H)若〃?>0,討論函數(shù)g(x)=/(x)-機(jī)(XT)?零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

19.（本小題滿分14分）

已知橢圓G:二+二=1（。＞人＞0）的長軸長為2啦，離心率e二立.

cr從2

（I）求橢圓G的方程：

（H）設(shè)過橢圓G的上頂點(diǎn)4的直線/與橢圓G的另一個(gè)交點(diǎn)為8,與x軸交于點(diǎn)C,線

段A8的中點(diǎn)為。，線段A8的垂直平分線分別交x軸、y軸于P、。兩點(diǎn).問：是否存

在直線/使APOC與APOQ的面積相等（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出所有滿足條件的

直線/的方程：若不存在，說明理由.

20.（本小題滿分13分）

已知數(shù)列｛4｝滿足q=q(q=0),對(duì)任意"z、〃eN"都有q,”=ant-ap.

從數(shù)列｛q｝中取出部分項(xiàng)，并將它們按原來順序組成一個(gè)數(shù)列，稱之為數(shù)列｛q｝的一個(gè)

子數(shù)列.

（I）求（：

（II）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

（HI）證明：當(dāng)夕＞（）且qwl時(shí)，數(shù)列｛%｝不存在無窮等差子數(shù)歹U.

延慶區(qū)2015—2016學(xué)年度一模統(tǒng)一考試

高三數(shù)學(xué)(理科答案)2016年3月

一、選擇題：(5^x8=40')

CAADCDBC

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9.3210.2200米11.--a212.—13.大，一114.[8,16]

25

三、解答題：(5&6=30’)

15.(本小題滿分13分)

初/I、、l+cos2x1

解：(I)/(X)=——sin2%-------------???2分

222

省?019.

=——sin2x——cos2x-1

22

=sin(2x---)-1???4分

所以，/(x)的最小正周期為7=—=".1,,5分

2

71TC71

由----F2k兀?2x---4—+2k7t(kGZ),?,6分

262

717t

得——+k7t<X<—+k7T(kGZ)-7分

63

/'(x)的單調(diào)增區(qū)間為[一工+^r,2+GZ).…8分

63

/ii、上r兀5"[r?-i-c兀2冗、

(H)當(dāng)[一二，一]時(shí)，2x--el--,—J,…9分

1212o33

JTTT7T

所以，當(dāng)2x—-二一，即1=一時(shí)，/3)取得最大值0；-11分

623

當(dāng)2不一?二一5,即冗=一自時(shí)，/(x)取得最小值一1一/-.......13分

16.(本小題滿分13分)

解：(1)甲種水稻樣本單株平均數(shù)為182粒，把樣本平均數(shù)看做總體平均數(shù)，則甲種水稻

畝產(chǎn)約為0.000Ixl82x60000=1092公斤.2分

6+2x5+2x25

(II)P(a2b)=.....7分

6x69

(III)J的可能取值為0,1,2,

8r2?

。("2)=浸=一

15C；15

.....13分

515153

17.（本小題滿分14分）

（【）證明：因?yàn)镾A。為正三角形，E為線段AO的中點(diǎn)，所以SE_LAD,

又因?yàn)閭?cè)面S4O_L底面A3CO,側(cè)面S4。、底面A3CZ）=A。，SEu平面S4O,所

以，SE_L底面A3CQ......3分

（H）證明：如圖，取0B、。。依次為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則4。-。）、8（"。,。）、C（。』,。）、S（-卓J,a-

證明一：8s=（-乎

,-；,拒),麗=(-4-1,0),8—,1,0),

設(shè)平面S8A的法向量為m=（&,）［,zj,平面S3C的法向量為〃=*2，M，Z2），

m_L8S=m-BS=0<=>；y+y/3zt=0,....①

m-LBA<=>m-=0<=>一y=0,...②

取x=l,由①②解得乂=二萬1=1,所以〃Z=H,一百,1)；.....7分

3yj

m上BSom?BS=0o——x2-—y2+\/3z2-0,.......③

m±BC<=>tn-BC=0o-y/3Xy+%=°，...④

取工2=1，由③。解得%="z2=2,

所以〃=（1,百,2）......9分

因?yàn)椤??〃=1x1—x6+1x2=0,

所以平面S8A_L平面S8C,

所以，二面角A-SB-C為直二面角.......10分

證明二：取S8的中點(diǎn)為尸，因?yàn)?8=AS=2,所以4/_L8S,

所以A/_LBC,

又BS,BCu平面SBC,BS‘BC=B,

所以A/_L平面SBC,

又AFu平面584,所以平面SB4_L平面SBC,

所以，二面角A—SB-。為直二面角.......10分

(III)假設(shè)存在滿足題設(shè)的點(diǎn)M，設(shè)M(x,y,z),跑=2,

BS

則=X3S,UPU-V3,y,z)=A(--,

“22

解得M(———A+乖),—%>/§1/),

22

則OM=(—述丸+后,一......12分

22

向量BD的方向量為i=(1,0,0),i-OM=--2+6=0,

2

解得4=2......13分

3

2

當(dāng)丸=一時(shí)，QMJLB。，又5OJLAC,所以8。_1_平面M4c.

3

所以，在棱S4上存在一點(diǎn)M,使得3DJL平面MAC,—=.....14分

BS3

18.(本小題滿分13分)

解：(I)/(x)=e*,/'(l)=e,切點(diǎn)為(l,e),

則切線方程為y-e=u(x-l),即ex-y=0......3分

(II)函數(shù)&*)=/1)一機(jī)(1一1尸零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即是方程/")一〃心一1)2=0根的

個(gè)數(shù)，等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)〃與函數(shù)y=m圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).…4分

U-1)''

gA(3)

/2(x)=V.....5分

X

當(dāng)X￡(-8,0)時(shí)，h(A)>0,/?(x)在(-OO,0)上單調(diào)遞增；......6分

當(dāng)XG(0,2)時(shí)，/?(x)<0,,力(幻在(0,3)上單調(diào)遞減；7分

當(dāng)X￡(3,+8)時(shí)，/⑶>(),,〃(外在(3,+8)上單調(diào)遞增，8分

Ah(x)在(0,+co)上有最小值為力⑶=—9分

4

當(dāng)〃2W(0,J)時(shí)，函數(shù)/?(1)=一--與函數(shù)y=〃?圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；…10分

4(x-1)

當(dāng)w=?時(shí)，函數(shù)/?(/)=1幺/3■與函數(shù)y=〃?圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；.......11分

3X

當(dāng)團(tuán)￡(一,+8)時(shí)，曲函數(shù)h(x)=——與函數(shù)y二6圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.

4U-1)-

12分

綜上所述，當(dāng)〃?E(J,+8)時(shí)，函數(shù)g(X)有三個(gè)零點(diǎn);當(dāng)m=J時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)

44

零點(diǎn);當(dāng)"76(0,J)時(shí)函數(shù)g")有一個(gè)零點(diǎn).]3

4

19.(本小題滿分14分)

解：（I）,/2a=2V2,—=9:.a=5/2,c=1.

a2

護(hù)=a

G:----Fy2=1.

2?

(II)假設(shè)滿足題設(shè)條件的直線/存在，則宜線/的斜率存在且不等于零.

由(I)知4(0,1),設(shè)直線，的方程為y=H+l.5分

令…，解得嘉

7分

y=kx+\

?f消去），，得（2公+1）/+4左、=0,8分

—+y2=1

12'

?3肅????9分

I12k

直線PQ的方程：),一內(nèi)=一工(》藥)，10分

.』°,一蛙711分

2|%|（1+