新教材2025版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量及其應(yīng)用4平面向量基本定理及坐標(biāo)表示4.2平面向量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)案北師大版必修第二冊

4．2平面對量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一平面對量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為標(biāo)準(zhǔn)正交基．對于坐標(biāo)平面內(nèi)的隨意向量a，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作eq\o(OP,\s\up14(→))＝a(通常稱eq\o(OP,\s\up14(→))為________向量)．由平面對量基本定理可知，有且僅有一對實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up14(→))＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj，把________稱為向量a在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i，j}下的坐標(biāo)，記作a＝________.eq\x(狀元隨筆)1.對平面對量坐標(biāo)的幾點(diǎn)相識(1)設(shè)eq\o(OA,\s\up14(→))＝xeq\o(i,\s\up14(→))＋yeq\o(j,\s\up14(→))(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則向量eq\o(OA,\s\up14(→))的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，終點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量eq\o(OA,\s\up14(→))的坐標(biāo)(x，y)．因此，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面對量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對唯一表示，即以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量與實(shí)數(shù)對是一一對應(yīng)的．(2)兩向量相等的等價(jià)條件是它們對應(yīng)的坐標(biāo)相等．(3)要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開來，相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可以不同．2．符號(x，y)的意義符號(x，y)在直角坐標(biāo)系中有兩重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量，為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)．要點(diǎn)二平面對量運(yùn)算的坐標(biāo)表示文字?jǐn)⑹龇柋硎炯臃▋蓚€(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________________減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝________________數(shù)乘向量實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝________向量的坐標(biāo)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up14(→))＝(x2－x1，y2－y1)eq\x(狀元隨筆)(1)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的詳細(xì)位置沒有關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)系，即兩向量的坐標(biāo)相同時(shí)，兩個(gè)向量相等，但它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻不肯定相同．例如，若A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，則eq\o(AB,\s\up14(→))＝(3,3)，eq\o(CD,\s\up14(→))＝(3,3)，明顯eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(CD,\s\up14(→))，但A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo)都不相同．(2)運(yùn)算時(shí)，留意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)的依次不要顛倒．要點(diǎn)三中點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是線段AB的中點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝,y＝.))要點(diǎn)四平面對量平行的坐標(biāo)表示a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)向量a，b(b≠0)共線的充要條件是____________．eq\x(狀元隨筆)已知eq\o(a,\s\up14(→))＝(x1，y1)，eq\o(b,\s\up14(→))＝(x2，y2)，(1)當(dāng)eq\o(b,\s\up14(→))≠0時(shí)，eq\o(a,\s\up14(→))＝λeq\o(b,\s\up14(→)).這是幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了向量eq\o(a,\s\up14(→))與eq\o(b,\s\up14(→))的長度及方向之間的關(guān)系．(2)x1y2－x2y1＝0.這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點(diǎn)在于不須要引入?yún)?shù)“λ”，從而削減未知數(shù)個(gè)數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)、程序化的特征．(3)當(dāng)x2y2≠0時(shí)，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，即兩向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例．通過這種形式較易記憶向量共線的坐標(biāo)表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤．[基礎(chǔ)自測]1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)肯定不同．()(2)向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)．()(3)在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)相等向量的坐標(biāo)相同．()(4)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的依次無關(guān)．()(5)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同．()(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，則x1y2＝x2y1.()2．已知M(2,3)，N(3,1)，則eq\o(NM,\s\up14(→))的坐標(biāo)是()A．(2，－1)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(1，－2)3．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，則m＝()A．－9B．9C．3D．－34．已知A(1,2)，B(4,5)．若eq\o(AP,\s\up14(→))＝2eq\o(PB,\s\up14(→))，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.題型一平面對量的坐標(biāo)表示——師生共研例1(1)設(shè)i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，求a＋b與a－b的坐標(biāo)．(2)如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點(diǎn)B，D的坐標(biāo)和eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))的坐標(biāo)．方法歸納在向量的坐標(biāo)表示中，肯定要分清表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)留意區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)寫法的不同．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，且a＝4e1－3e2，則向量a的坐標(biāo)為()A．(4e1,3e2)B．(4e1，－3e2)C．(4,3)D．(4，－3)(2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在其次象限，|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝6，∠xOA＝150°，向量eq\o(OA,\s\up14(→))的坐標(biāo)為________．題型二平面對量的坐標(biāo)運(yùn)算——自主完成已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(BC,\s\up14(→))＝b，eq\o(CA,\s\up14(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up14(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up14(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求滿意a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up14(→))的坐標(biāo)．

方法歸納1．向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，另外，解題過程中要留意方程思想的運(yùn)用．2．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要依據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解．題型三平面對量共線的坐標(biāo)表示——微點(diǎn)探究微點(diǎn)1向量共線的判定與證明例2已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(BF,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up14(→))，求證：eq\o(EF,\s\up14(→))∥eq\o(AB,\s\up14(→)).方法歸納向量共線的判定方法(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))干脆推斷a與b是否平行．微點(diǎn)2利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)例3已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)．若(a＋2b)∥(2a－2b)，則λ的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C．1D．2方法歸納依據(jù)向量共線的條件求參數(shù)問題的兩種思路(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)列方程組求解．(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0求解．微點(diǎn)3三點(diǎn)共線問題例4已知向量eq\o(AB,\s\up14(→))＝i－2j，eq\o(BC,\s\up14(→))＝2i＋μj，其中i，j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實(shí)數(shù)μ的值，使A，B，C三點(diǎn)共線．方法歸納利用向量解決三點(diǎn)共線問題的一般思路：(1)利用三點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)向量，求出唯一確定的實(shí)數(shù)λ；(2)利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示得出兩向量共線，再結(jié)合兩向量過同一點(diǎn)，可得兩向量所在的直線必重合，即三點(diǎn)共線．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)，推斷eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))是否共線，假如共線，它們的方向相同還是相反？(2)已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,3)，c＝(2,1)，且(a－λb)∥c，則λ＝()A．3B．－3C.eq\f(1,7)D．－eq\f(1,7)(3)已知A(1，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三點(diǎn)共線，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是()A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)易錯(cuò)辨析誤把向量的坐標(biāo)當(dāng)作點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算致誤例5已知點(diǎn)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋λeq\o(AC,\s\up14(→))(λ∈R)，試求當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)λ的取值范圍．解析：由已知得eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋λeq\o(AC,\s\up14(→))＝(5－2,4－3)＋λ(7－2,10－3)＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up14(→))＝(x－2，y－3)．于是(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ.))又點(diǎn)P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5＋5λ<0，,y＝4＋7λ<0，))解得λ<－1.故λ的取值范圍為(－∞，－1)．易錯(cuò)警示易錯(cuò)緣由糾錯(cuò)心得誤把向量eq\o(AP,\s\up14(→))的坐標(biāo)當(dāng)作點(diǎn)P的坐標(biāo)運(yùn)算致錯(cuò)，得到錯(cuò)誤答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,5))).向量的坐標(biāo)反映的是向量的長度和向量的方向，與終點(diǎn)坐標(biāo)無關(guān)，只有當(dāng)向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)才是一樣的.4．2平面對量及運(yùn)算的坐標(biāo)表示新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一位置(x，y)(x，y)要點(diǎn)二(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)要點(diǎn)三eq\f(x1＋x2,2)eq\f(y1＋y2,2)要點(diǎn)四x1y2－x2y1＝0[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×(6)√2．解析：eq\o(NM,\s\up13(→))＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．答案：B3．解析：因?yàn)閍＝(－6,2)，b＝(m，－3)，若a∥b，則－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.答案：B4．解析：設(shè)P(x，y)，所以eq\o(AP,\s\up13(→))＝(x－1，y－2)，eq\o(PB,\s\up13(→))＝(4－x,5－y)，又eq\o(AP,\s\up13(→))＝2eq\o(PB,\s\up13(→))，所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝24－x，,y－2＝25－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4.))答案：(3,4)題型探究·課堂解透題型一例1解析：(1)∵a＝3i＋4j，b＝－i＋j，∴a＋b＝(3i＋4j)＋(－i＋j)＝2i＋5j，a－b＝(3i＋4j)－(－i＋j)＝4i＋3j.又∵i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴a＋b與a－b的坐標(biāo)分別是(2,5)與(4,3)．(2)由題意知，點(diǎn)B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點(diǎn)．設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函數(shù)的定義，得x1＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，y1＝sin30°＝eq\f(1,2)，x2＝cos120°＝－eq\f(1,2)，y2＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).∴eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)∵e1，e2是相互垂直的單位向量，且a＝4e1－3e2，∴a＝(4，－3)．(2)設(shè)點(diǎn)A(x，y)則x＝|eq\o(OA,\s\up13(→))|cos150°＝6cos150°＝－3eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up13(→))|sin150°＝6sin150°＝3即A(－3eq\r(3)，3)，∴eq\o(OA,\s\up13(→))＝(－3eq\r(3)，3)．答案：(1)D(2)(－3eq\r(3)，3)題型二解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1,n＝－1.))∴實(shí)數(shù)m的值為－1，n的值為－1.(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．∵eq\o(CM,\s\up13(→))＝eq\o(OM,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up13(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up13(→))＝eq\o(ON,\s\up13(→))－eq\o(OC,\s\up13(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up13(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up13(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up13(→))＝(9，－18)．題型三例2解析：設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．由題意知eq\o(AC,\s\up13(→))＝(2,2)，eq\o(BC,\s\up13(→))＝(－2,3)，eq\o(AB,\s\up13(→))＝(4，－1)，∴eq\o(AE,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，eq\o(BF,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，∴(x1，y1)－(－1,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，(x2，y2)－(3，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)).∴(x1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))，(x2，y2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)).∴eq\o(EF,\s\up13(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).∵4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－(－1)×eq\f(8,3)＝0，∴eq\o(EF,\s\up13(→))∥eq\o(AB,\s\up13(→)).例3解析：方法一：由題意得a＋2b＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．∵(a＋2b)∥(2a－2b)，∴2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,2).方法二：假設(shè)a，b不共線，則由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝2μ，,2＝－2μ，))方程組明顯無解，∴a＋2b與2a－2b不共線，這與(a＋2b)∥(2a－2b)沖突，∴假設(shè)不成立，∴a，b共線，∴eq\f(1,λ)＝2，解得λ＝eq\f(1,2).答案：A例4解析：方法一：∵A，B，C三點(diǎn)共線，即eq\o(AB,\s\up13(→))，eq\o(BC,\s\up13(→))共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up13(→))＝λeq\o(BC,\s\up13(→))，即i－2j＝λ(2i＋μj)．可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＝1，,μλ＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－4.))故當(dāng)μ＝