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微專題12概率中的競(jìng)賽問題一、單項(xiàng)選擇題1.[2024·河北滄州模擬]甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽,采納七局四勝制,先贏四局者獲勝,沒有平局、甲每局贏的概率為eq\f(1,2),已知前兩局甲輸了,則甲最終獲勝的概率為()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,8)C.eq\f(3,16)D.eq\f(1,4)2.[2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬]甲、乙二人爭(zhēng)奪一場(chǎng)圍棋競(jìng)賽的冠軍,若競(jìng)賽為“三局兩勝”制,甲在每局競(jìng)賽中獲勝的概率均為eq\f(2,3),且各局競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲獲得冠軍的概率為()A.eq\f(4,9)B.eq\f(8,27)C.eq\f(16,27)D.eq\f(20,27)3.[2024·河北石家莊模擬]2024年7月24日14時(shí)22分,搭載我國(guó)首個(gè)科學(xué)試驗(yàn)艙問天試驗(yàn)艙的長(zhǎng)征五號(hào)B遙三運(yùn)載火箭勝利放射,令世界矚目.為弘揚(yáng)航天精神,M高校舉辦了“逐夢(mèng)星辰大?!教毂睂W(xué)問競(jìng)賽,競(jìng)賽分為初賽和復(fù)賽,初賽通過后進(jìn)入復(fù)賽,復(fù)賽通過后頒發(fā)相應(yīng)榮譽(yù)證書和獎(jiǎng)品.為激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與,學(xué)校后勤部賜予肯定的嘉獎(jiǎng):只參與了初賽的學(xué)生嘉獎(jiǎng)50元的獎(jiǎng)品,參與了復(fù)賽的學(xué)生再嘉獎(jiǎng)100元的獎(jiǎng)品.現(xiàn)有A,B,C三名學(xué)生報(bào)名參與了這次競(jìng)賽,已知A通過初賽、復(fù)賽的概率分別為eq\f(1,2),eq\f(1,3);B通過初賽、復(fù)賽的概率分別為eq\f(2,3),eq\f(1,2),C通過初賽和復(fù)賽的概率與B完全相同.記這三人獲得后勤部的獎(jiǎng)品總額為X元,則X的數(shù)學(xué)期望為()A.300元B.eq\f(1000,3)元C.350元D.eq\f(2000,3)元4.[2024·河南襄城模擬]2024年卡塔爾世界杯上,32支球隊(duì)分成8個(gè)小組,每個(gè)小組的前兩名才能出線,晉級(jí)到1/8決賽.某參賽隊(duì)在開賽前預(yù)料:本隊(duì)獲得小組第一的概率為0.6,獲得小組其次的概率為0.3;若獲得小組第一,則1/8決賽獲勝的概率為0.9,若獲得小組其次,則1/8決賽獲勝的概率為0.3.那么在已知該隊(duì)小組出線的條件下,其1/8決賽獲勝的概率為()A.0.54B.0.63C.0.7D.0.95.[2024·河北保定模擬]某校在校慶期間舉辦羽毛球競(jìng)賽,某班派出甲、乙兩名單打主力,為了提高兩位主力的實(shí)力,體育老師支配了為期一周的對(duì)抗訓(xùn)練,競(jìng)賽規(guī)則如下:甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局,當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時(shí),則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān);否則不過關(guān).若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為p1,p2(0≤p1,p2≤1),且滿意p1+p2=eq\f(3,2),每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在n輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為X,若E(X)=24,則從期望的角度來看,甲、乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為()A.26B.30C.32D.36二、多項(xiàng)選擇題6.乒乓球,被稱為中國(guó)的“國(guó)球”.某次競(jìng)賽采納五局三勝制,當(dāng)參賽甲、乙兩位中有一位贏得三局競(jìng)賽時(shí),就由該選手晉級(jí)而競(jìng)賽結(jié)束.每局競(jìng)賽皆須分出輸贏,且每局競(jìng)賽的輸贏不受之前競(jìng)賽結(jié)果影響.假設(shè)甲在任一局贏球的概率為p(0≤p≤1),實(shí)際競(jìng)賽局?jǐn)?shù)的期望值記為f(p),則下列說法中正確的是()A.三局就結(jié)束競(jìng)賽的概率為p3+(1-p)3B.f(p)的常數(shù)項(xiàng)為3C.函數(shù)f(p)在(0,eq\f(1,2))上單調(diào)遞減D.f(eq\f(1,2))=eq\f(33,8)7.[2024·廣東廣州模擬]甲乙兩人進(jìn)行圍棋競(jìng)賽,共競(jìng)賽2n(n∈N*)局,且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為eq\f(1,2).假如某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人,則此人贏得競(jìng)賽.記甲贏得競(jìng)賽的概率為P(n),則()A.P(2)=eq\f(5,16)B.P(3)=eq\f(11,16)C.P(n)=eq\f(1,2)(1-eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(2n)),22n))D.P(n)的最小值為eq\f(1,4)[答題區(qū)]題號(hào)1234567答案三、填空題8.[2024·安徽合肥模擬]第十九屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2024年9月23日至10月8日在中國(guó)杭州實(shí)行.為了讓更多的同學(xué)了解亞運(yùn)會(huì),學(xué)校團(tuán)委實(shí)行了“迎亞運(yùn),猜謎語”活動(dòng).甲、乙兩位同學(xué)組隊(duì)代表班級(jí)參與此次謎語競(jìng)猜活動(dòng).競(jìng)賽共兩輪,每人每輪各猜一個(gè)謎語.已知甲每輪猜對(duì)謎語的概率為eq\f(2,3),乙每輪猜對(duì)謎語的概率為eq\f(1,2),若甲、乙兩人每輪猜對(duì)謎語與否互不影響,前后兩輪猜對(duì)謎語結(jié)果也互不影響,則甲、乙兩人在此次競(jìng)賽中共猜對(duì)3個(gè)謎語的概率為________.9.甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽:第一局由甲、乙參與而丙輪空,以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行競(jìng)賽,而前一局的失敗者輪空.競(jìng)賽按這種規(guī)則始終進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止.設(shè)在每局中參賽者輸贏的概率均為eq\f(1,2),且各局輸贏相互獨(dú)立.則競(jìng)賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)ξ的分布列是________.10.[2024·山東濰坊模擬]乒乓球被稱為我國(guó)的“國(guó)球”.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽,其中每局中甲獲勝的概率為eq\f(3,4),乙獲勝的概率為eq\f(1,4),每局競(jìng)賽都是相互獨(dú)立的.①若競(jìng)賽為五局三勝制,則需競(jìng)賽五局才結(jié)束的概率為________.②若兩人約定其中一人比另一人多贏兩局時(shí)競(jìng)賽結(jié)束,則須要進(jìn)行的競(jìng)賽局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為________.附:當(dāng)0<q<1時(shí),eq\o(lim,\s\do4(n→+∞))qn=0,eq\o(lim,\s\do4(n→+∞))n·qn=0.四、解答題11.[2024·安徽淮南模擬]2024年10月16日至10月22日,中國(guó)共產(chǎn)黨其次十次全國(guó)代表大會(huì)在北京召開,此次大會(huì)是在全黨全國(guó)各族人民邁上全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家新征程、向其次個(gè)百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍的關(guān)鍵時(shí)刻召開的一次非常重要的大會(huì).在樹人中學(xué)團(tuán)委的組織下,高二年級(jí)各班團(tuán)支部實(shí)行了“學(xué)習(xí)二十大,做有為青年”的學(xué)問競(jìng)賽活動(dòng),經(jīng)過激烈競(jìng)爭(zhēng),高二(1)班(以下簡(jiǎn)稱一班)和高二(3)班(以下簡(jiǎn)稱三班)進(jìn)入了最終的年級(jí)決賽,決賽規(guī)定:共進(jìn)行5輪競(jìng)賽,每輪競(jìng)賽每個(gè)班可以從A,B兩個(gè)題庫中任選1題作答,在前兩輪競(jìng)賽中每個(gè)班的題目必需來自同一題庫,后三輪競(jìng)賽中每個(gè)班的題目必需來自同一題庫,A題庫每題20分,B題庫每題30分,一班能正確回答A,B題庫每題的概率分別為eq\f(3,4),eq\f(1,2),三班能正確回答A,B題庫每題的概率均為eq\f(2,3),且每輪答題結(jié)果互不影響.(1)若一班前兩輪選A題庫,后三輪選B題庫,求其總分不少于100分的概率;(2)若一班和三班在前兩輪競(jìng)賽中均選了B題庫,而且一班兩輪得分60分,三班兩輪得分30分,一班后三輪換成A題庫,三班后三輪不更換題庫,設(shè)一班最終的總分為X,求X的分布列,并從每班總分的均值來推斷,哪個(gè)班贏下這場(chǎng)競(jìng)賽?解:12.[2024·湖北武漢模擬]杭州2024年第19屆亞運(yùn)會(huì)(The19thAsianGamesHangzhou2024)于2024年9月23日至10月8日舉辦.本屆亞運(yùn)會(huì)共設(shè)40個(gè)競(jìng)賽大項(xiàng),包括31個(gè)奧運(yùn)項(xiàng)目和9個(gè)非奧運(yùn)項(xiàng)目.同時(shí),在保持40個(gè)大項(xiàng)目不變的前提下,增設(shè)了電子競(jìng)技項(xiàng)目.與傳統(tǒng)的淘汰賽不同,近年來一個(gè)新型的賽制“雙敗賽制”贏得了很多賽事的青睞.傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場(chǎng)就丟失了冠軍爭(zhēng)奪的權(quán)利,而在雙敗賽制下,每人或者每個(gè)隊(duì)伍只有失敗了兩場(chǎng)才會(huì)淘汰出局,因此更有容錯(cuò)率.假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍,淘汰賽制下會(huì)將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行競(jìng)賽,勝者進(jìn)入到總決賽,總決賽的勝者即為最終的冠軍.雙敗賽制下,兩兩分組,勝者進(jìn)入到勝者組,敗者進(jìn)入到敗者組,勝者組兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的勝者將進(jìn)入到總決賽,敗者進(jìn)入到敗者組.之前進(jìn)入到敗者組的兩個(gè)隊(duì)伍對(duì)決的敗者將干脆淘汰,勝者將跟勝者組的敗者對(duì)決,其中的勝者進(jìn)入總決賽,最終總決賽的勝者即為冠軍.雙敗賽制下會(huì)發(fā)覺一個(gè)有意思的事情,在勝者組中的勝者只要輸一場(chǎng)競(jìng)賽即總決賽就無法拿到冠軍,但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會(huì),近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù),因此很多人戲謔這個(gè)賽制對(duì)強(qiáng)者不公允,是否真的如此呢?這里我們簡(jiǎn)潔探討一下兩個(gè)賽制.假設(shè)四支隊(duì)伍分別為A,B,C,D,其中A對(duì)陣其他三個(gè)隊(duì)伍獲勝概率均為p,另外三支隊(duì)伍彼此之間對(duì)陣時(shí)獲勝概率均為eq\f(1,2).最初分組時(shí)AB同組,CD同組.(1)若p=eq\f(2,3),在淘汰賽賽制下,A,C獲得冠軍的概率分別為多少?(2)分別計(jì)算兩種賽制下A獲得冠軍的概率(用p表示),并據(jù)此簡(jiǎn)潔分析一下雙敗賽制下對(duì)隊(duì)伍的影響,是否如很多人質(zhì)疑的“對(duì)強(qiáng)者不公允”?解:
微專題12概率中的競(jìng)賽問題1.解析:因?yàn)榍皟删旨锥驾斄?,所以甲須要連勝四局或第三局到第六局輸1局,且第七局勝,甲才能最終獲勝,所以甲最終獲勝的概率為(eq\f(1,2))4+Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))(1-eq\f(1,2))×(eq\f(1,2))3×eq\f(1,2)=eq\f(3,16).故選C.答案:C2.解析:若競(jìng)賽兩場(chǎng)甲獲勝,則概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)=eq\f(4,9);若競(jìng)賽三場(chǎng)甲獲勝,則概率為eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)+eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)=eq\f(8,27);甲獲得冠軍的概率eq\f(4,9)+eq\f(8,27)=eq\f(20,27).故選D.答案:D3.解析:由題知X的全部可能取值為150,250,350,450,P(X=150)=eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)=eq\f(1,18),P(X=250)=eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)+2×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)=eq\f(5,18),P(X=350)=2×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)+eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)=eq\f(4,9),P(X=450)=eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)=eq\f(2,9),所以數(shù)學(xué)期望E(X)=150×eq\f(1,18)+250×eq\f(5,18)+350×eq\f(4,9)+450×eq\f(2,9)=eq\f(1000,3)(元).故選B.答案:B4.解析:設(shè)該隊(duì)小組出線為事務(wù)A,該隊(duì)1/8決賽獲勝為事務(wù)B,則P(A)=0.3+0.6=0.9,P(AB)=0.6×0.9+0.3×0.3=0.63,所以P(B|A)=eq\f(P(AB),P(A))=eq\f(0.63,0.9)=0.7.故選C.答案:C5.解析:由題意,設(shè)甲、乙在某一輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的概率為p,則p=peq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))peq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))+Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))p1(1-p1)peq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))+Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))p2(1-p2)peq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))=2p1p2(p1+p2)-3peq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))peq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))=3p1p2-3peq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))peq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),又p1+p2=eq\f(3,2),所以p1p2=p1(eq\f(3,2)-p1),由0≤p1,p2≤1,得eq\f(1,2)≤p1≤1,則eq\f(1,2)≤p1p2=p1(eq\f(3,2)-p1)≤eq\f(9,16),設(shè)t=p1p2,eq\f(1,2)≤t≤eq\f(9,16),則p=3t-3t2=3t(1-t)≤3×(eq\f(t+1-t,2))2=eq\f(3,4),當(dāng)且僅當(dāng)t=1-t即t=eq\f(1,2)即p1p2=eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立,即p的最大值為eq\f(3,4).記甲、乙在n輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為X,則X~B(n,eq\f(3,4)),若E(X)=24,則np=24,當(dāng)p最大時(shí),n最小,則n≥eq\f(24,\f(3,4))=32,即甲、乙兩人訓(xùn)練至少32輪.故選C.答案:C6.解析:設(shè)實(shí)際競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為X,則X的可能取值為3,4,5,所以P(X=3)=p3+(1-p)3,P(X=4)=Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))p3(1-p)+Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))p(1-p)3,P(X=5)=Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))p2(1-p)2,因此三局就結(jié)束競(jìng)賽的概率為p3+(1-p)3,則A正確;故f(p)=3[p3+(1-p)3]+4[Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))p3(1-p)+Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))p(1-p)3]+5×Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))p2(1-p)2=6p4-12p3+3p2+3p+3,由f(0)=3知常數(shù)項(xiàng)為3,故B正確;由f(eq\f(1,2))=6×eq\f(1,16)-12×eq\f(1,8)+3×eq\f(1,4)+eq\f(3,2)=eq\f(33,8),故D正確;由f′(p)=24p3-36p2+6p+3=3(2p-1)(4p2-4p-1),∵0≤p≤1,所以4p2-4p-1=(2p-1)2-2<0,∴令f′(p)>0,則0≤p<eq\f(1,2);令f′(p)<0,則eq\f(1,2)<p≤1,則函數(shù)f(p)在(0,eq\f(1,2))上單調(diào)遞增,則C不正確.故選ABD.答案:ABD7.解析:由題意知:要使甲贏得競(jìng)賽,則甲至少贏n+1局,故P(n)=(eq\f(1,2))2n(Ceq\o\al(\s\up1(n+1),\s\do1(2n))+Ceq\o\al(\s\up1(n+2),\s\do1(2n))+…+Ceq\o\al(\s\up1(2n),\s\do1(2n))),而Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2n))+Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2n))+…+Ceq\o\al(\s\up1(n-1),\s\do1(2n))+Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(2n))+Ceq\o\al(\s\up1(n+1),\s\do1(2n))+…+Ceq\o\al(\s\up1(2n),\s\do1(2n))=22n,且Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2n))=Ceq\o\al(\s\up1(2n),\s\do1(2n)),Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2n))=Ceq\o\al(\s\up1(2n-1),\s\do1(2n)),…,Ceq\o\al(\s\up1(n-1),\s\do1(2n))=Ceq\o\al(\s\up1(n+1),\s\do1(2n)),∴P(n)=eq\f(1,2)-eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(2n)),22n+1),故C正確;A:P(2)=eq\f(1,2)-eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),25)=eq\f(5,16),正確;B:P(3)=eq\f(1,2)-eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),27)=eq\f(11,32),錯(cuò)誤;D:因?yàn)镻(n+1)-P(n)=eq\f(1,2)(eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(2n)),22n)-eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(n+1),\s\do1(2n+2)),22n+2))=eq\f(1,2)·eq\f(4Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(2n))-Ceq\o\al(\s\up1(n+1),\s\do1(2n+2)),22n+2),又eq\f(4Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(2n)),Ceq\o\al(\s\up1(n+1),\s\do1(2n+2)))=eq\f(4·(2n)!,n!n!)÷eq\f((2n+2)!,(n+1)?。╪+1)!)=eq\f(4(n+1)2,(2n+2)(2n+1))=eq\f(2(n+1),2n+1)>1,故P(n+1)>P(n),故P(n)隨著n的增大而增大.故P(n)的最小值為P(1)=eq\f(1,2)-eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),23)=eq\f(1,4),正確.故選ACD.答案:ACD8.解析:甲乙共猜對(duì)3個(gè)謎語有如下兩種狀況:甲猜對(duì)一個(gè),乙猜對(duì)兩個(gè),其概率為:2×[eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×(1-eq\f(2,3))×eq\f(1,2)]=eq\f(1,9);或甲猜對(duì)兩個(gè),乙猜對(duì)一個(gè),其概率為:2×[eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×(1-eq\f(1,2))×eq\f(2,3)]=eq\f(2,9),故甲、乙兩人在此次競(jìng)賽中共猜對(duì)3個(gè)謎語的概率為eq\f(1,9)+eq\f(2,9)=eq\f(1,3).答案:eq\f(1,3)9.解析:分別記Ai,Bi,Ci為甲、乙、丙在第i局獲勝,則P(Ai)=P(Bi)=P(Ci)=eq\f(1,2).由已知,ξ可取2,3,4,5,6.ξ=2表示事務(wù)“甲連勝兩局”或“乙連勝兩局”,所以P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,2).ξ=3表示事務(wù)“甲勝丙勝丙勝”或“乙勝丙勝丙勝”,所以P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,4).ξ=4表示事務(wù)“甲勝丙勝乙勝乙勝”或“乙勝丙勝甲勝甲勝”,所以P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,8).ξ=5表示事務(wù)“甲勝丙勝乙勝甲勝甲勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝乙勝”,所以P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,16).ξ=6表示事務(wù)“甲勝丙勝乙勝甲勝丙勝丙勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝丙勝丙勝”或“甲勝丙勝乙勝甲勝丙勝乙勝”或“乙勝丙勝甲勝乙勝丙勝甲勝”,所以P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5C6)+P(B1C2A3B4C5C6)+P(A1C2B3A4C5B6)+P(B1C2A3B4C5A6)=eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,16).所以,ξ的分布列是ξ23456Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,8)eq\f(1,16)eq\f(1,16)答案:ξ23456Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,8)eq\f(1,16)eq\f(1,16)10.解析:①需競(jìng)賽五局才結(jié)束,則說明前四局雙方為2∶2,概率為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))(eq\f(3,4))2·(eq\f(1,4))2=eq\f(27,128).②假設(shè)競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,由已知,需競(jìng)賽局?jǐn)?shù)為偶數(shù),則X可取2,4,6,…,2n,…(n∈N*).則P(X=2)=Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))(eq\f(3,4))2+Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))(eq\f(1,4))2=eq\f(5,8),當(dāng)n≥2時(shí),雙方前2n-2局戰(zhàn)為平局,且隨意前2m(1≤m≤n-1,且m∈N*)局雙方均戰(zhàn)為平局,則P(X=2n)=(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(3,4)×eq\f(1,4))n-1×(eq\f(3,4))2+(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(3,4)×eq\f(1,4))n-1×(eq\f(1,4))2=eq\f(5,8)×(eq\f(3,8))n-1,明顯n=1,滿意該式.設(shè)an=P(X=2n)=eq\f(5,8)×(eq\f(3,8))n-1,則有eq\f(an+1,an)=eq\f(\f(5,8)×(\f(3,8))n,\f(5,8)×(\f(3,8))n-1)=eq\f(3,8),所以{an}是以a1=eq\f(5,8)為首項(xiàng),q=eq\f(3,8)為公比的等比數(shù)列.設(shè)bn=2nan,則bn=eq\f(5n,4)×(eq\f(3,8))n-1.設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn=b1+b2+b3+…+bn=eq\f(5,4)[1+2×eq\f(3,8)+3×(eq\f(3,8))2+…+n·(eq\f(3,8))n-1],eq\f(3,8)Sn=eq\f(5,4)[eq\f(3,8)+2×(eq\f(3,8))2+3×(eq\f(3,8))3+…+n·(eq\f(3,8))n],作差可得,Sn-eq\f(3,8)Sn=eq\f(5,4)[1+eq\f(3,8)+(eq\f(3,8))2+…+(eq\f(3,8))n-1-n·(eq\f(3,8))n]=eq\f(5,4)×eq\f(1×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1-(\f(3,8))n)),1-\f(3,8))-eq\f(5n,4)·(eq\f(3,8))n=2-2·(eq\f(3,8))n-eq\f(5n,4)·(eq\f(3,8))n,整理可得,Sn=eq\f(16,5)-eq\f(16,5)·(eq\f(3,8))n-2n·(eq\f(3,8))n.由題意可得,eq\o(lim,\s\do9(n→+∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16,5)·(\f(3,8))n))=0,eq\o(lim,\s\do9(n→+∞))[2n·(eq\f(3,8))n]=0.則E(X)=2·P(X=2)+2×2·P(X=2×2)+2×3·P(X=2×3)+…+2n·P(X=2n)+…=eq\o(lim,\s\do9(n→+∞))Sn=eq\o(lim,\s\do9(n→+∞))[eq\f(16,5)-eq\f(16,5)·(eq\f(3,8))n-4n·(eq\f(3,8))n]=eq\o(lim,\s\do9(n→+∞))eq\f(16,5)-eq\o(lim,\s\do9(n→+∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16,5)·(\f(3,8))n))-eq\o(lim,\s\do9(n→+∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4n·(\f(3,8))n))=eq\f(16,5).答案:eq\f(27,128)eq\f(16,5)11.解析:(1)由條件知,若一班在前兩輪得20分,后三輪得90分,總分為110分,其概率為Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))×eq\f(3,4)×eq\f(1,4)×Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))3=eq\f(3,64),若一班在前兩輪得40分,后三輪得60分或90分,總分為100或130分,其概率為Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))×(eq\f(3,4))2×[Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))2×eq\f(1,2)+Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))×(eq\f(1,2))3]=eq\f(9,32),于是一班總分不少于100分的概率為eq\f(3,64)+eq\f(9,32)=eq\f(21,64).(2)由條件知,隨機(jī)變量X可能取值為60,80,100,120,P(X=60)=(eq\f(1,4))3=eq\f(1,64),P(X=80)=Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))(eq\f(1,4))2eq\f(3,4)=eq\f(9,64),P(X=100)=Ceq\o\a
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