2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)十一學(xué)校高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)十一學(xué)校高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共10小題，共50分。1.若兩條直線ax+2y=0與x+a+3y+4=0垂直，則實數(shù)a的值為(

)A.?1 B.?2 C.1 D.22.已知集合A={x∣2≤x<4},B=y∣y=x,x∈AA.B?A B.A∩B=? C.A?≠B3.設(shè)an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為其前n項和.已知a2=4,S3=14，若存在nA.8 B.6 C.4 D.24.下列結(jié)論正確的是(

)A.若x>0，則xx2+1≥12

B.若a>b,c>d，則ac>bd

C.y=2sinx+5.要得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只需將函數(shù)y=A.向左平移π4個單位長度 B.向右平移π4個單位長度

C.向左平移π12個單位長度 D.6.已知奇函數(shù)y=f(x)在R上單調(diào)遞增，則“fx1+fx2>0A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.已知直線ax+y?1=0與圓C:(x?1)2+(y+a)2=1相交于A,B兩點，且?ABCA.?1 B.0 C.1 D.?1或18.若圓O:x2+y2=1上存在點P，直線l:y=kx+2上存在點Q，使得A.?33,33 B.9.已知an是各項均不為零的等差數(shù)列，a1<0，公差d>0,Sn是an的前n項和，設(shè)A.有最大項，無最小項 B.有最小項，無最大項

C.有最大項和最小項 D.無最大項和最小項10.在棱長為2的正方體ABCD?AB1C1D1中，點E,F分別為棱AD,BB1的中點.點PA.存在點P，使得A1P=23 B.存在點P，使得A1P⊥平面ADF

C.存在點P，使得二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.雙曲線x29?y212.已知拋物線y2=8x的焦點為F，點M在拋物線上.若MF=6，則點M的橫坐標(biāo)為

，?OMF的面積為

13.若點Acosθ,sinθ關(guān)于直線y=x對稱點為Bcosθ+π14.阿基米德多面體也稱為半正多面體，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體.如圖，已知一個阿基米德多面體的所有頂點均是某個正方體各條棱的中點，且正方體的棱長為2，則該阿基米德多面體的體積為

；M,N是該阿基米德多面體的同一面上不相鄰的兩個頂點，點P是該多面體表面上異于M,N點的任意一點，則MN?MP的最大值為

．

15.已知曲線W:x4①曲線W關(guān)于x軸?y軸和原點對稱：②當(dāng)m=2時，曲線W上及圍成的區(qū)域內(nèi)部共有9個整點(即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)：③當(dāng)m=1時，曲線W圍成的區(qū)域面積大于π；④當(dāng)m=4時，曲線W圍成的區(qū)域內(nèi)(含邊界)兩點之間的距離的最大值是4．其中所有真命題的序號是

．三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16.已知函數(shù)fx=2sinπ?x(1)求fx的最小正周期及f(2)直線x=tt∈0,π2與函數(shù)fx，gx的圖象分別交于M17.在?ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知sin2(1)求cosA(2)若cosB=33，?ABC的周長為2+218.如圖，四棱錐P?ABCD中，PA=PD=AD=CD=2，底面ABCD是個直角梯形，AD//BC，∠DAB=90°，∠ADC=6(1)證明：PC⊥AD；(2)從下面條件①?條件②?條件③三個條件中選擇一個作為已知，解答下面的問題．條件①：PB⊥AD；條件②：PC=條件③：二面角P?AD?B的大小為60°．在棱PB上是否存在點G(不與端點重合)，使得直線CG與平面PAD所成的角的正弦值為217？若存在，求(注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答給分.)19.已知橢圓C:x2a2+y2b(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)不經(jīng)過右頂點的直線l:y=kx+m交橢圓C于兩點P,Q，過點P作x軸的垂線交直線AB于點D，交直線AQ于E，若點D為線段PE的中點，求證：直線l經(jīng)過定點．20.已知函數(shù)fx=ax?1ln(1)若函數(shù)fx在x=1處的切線與y=x+2①求a的值；②證明：函數(shù)fx(2)設(shè)函數(shù)gx=ex?xf21.已知n項數(shù)列An:a1,a2,?,ann≥3，滿足?i≠j有ai≠aj.若變換T滿足?i∈1,2,?,n，有Tai∈a1,a2,?,an(1)已知數(shù)列A4:1,2,3,4，數(shù)列TA(2)證明：對于4項數(shù)列A4，不存在3(3)若n項數(shù)列An存在3階逆序變換，求n的最小值．

參考答案1.B

2.B

3.A

4.D

5.C

6.C

7.D

8.A

9.B

10.C

11.2x±3y=0

12.4

；

；

；

；

；

；413.π6(答案不唯一，滿足θ=π14.203

；

；

；

；

；415.①②③

16.(1)因為fx所以fx的最小正周期為2π2=π(2)由題意可知，M，N兩點的坐標(biāo)為t,ft，t,g則MN===因為t∈0,π2所以3sin2t?所以MN在t∈0,π2

17.(1)因為sin所以由正弦定理可得a2由余弦定理得a2所以23bc=2bccos(2)因為cosA=13，cos所以sinA=2所以sinC=即sinB=sinC因為?ABC的周長為2+23，即由(1)知a2①②③聯(lián)立解得a=2，b=c=所以?ABC的面積為S?ABC

18.(1)取AD的中點O，連接OC、OP，因為PA=PD=AD=CD=2，所以PO⊥AD，又∠ADC=60°，所以所以O(shè)D2+OC2又OC∩OP=O，OC,OP?平面POC，所以AD⊥平面POC，又PC?平面POC，所以PC⊥AD；(2)因為AD//BC，∠DAB=90°，又OC⊥AD，所以O(shè)C//AB，所以四邊形如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點，Oz⊥平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，D?1,0,0，C0,若選條件①：PB⊥AD，顯然P∈平面Oyz，設(shè)P0,b,c則BP=?1,b?3,c，DA=(2,0,0)，所以若選條件②：PC=3，顯然P∈平面Oyz則0?12+b2所以AP=?1,3設(shè)PG=λ則CG=設(shè)平面PAD的法向量為n=x,y,z，則n?設(shè)直線CG與平面PAD所成的角為θ，則sinθ=解得λ=35或λ=3(舍去)，所以PGPB若選條件③：二面角P?AD?B的大小為60由(1)可知∠POC即為二面角P?AD?B的平面角，即∠POC=60°，又所以P0,則AP=?1,3設(shè)PG=λ則CG=設(shè)平面PAD的法向量為n=x,y,z，則n?設(shè)直線CG與平面PAD所成的角為θ，則sinθ=解得λ=35或λ=3(舍去)，所以PGPB

19.(1)依題意可得a=22c=23，即a=2則橢圓方程為x24+(2)由(1)可知B0,?1聯(lián)立y=kx+mx24+y設(shè)Px則有Δ=64k故x1因為A2,0,B0,?1，所以直線AB:y=因為kAQ所以直線AQ:y=kx2因為點D為線段PE的中點，所以y1所以kx2k?1x2k?148km8km?8k?4m2(m+2k)(m+2k+1)=0，因為m≠?2k，所以m=?2k?1，直線l:y=kx+m=kx?2k?1=k(x?2)?1，令x?2=0y=?1，解得所以直線l恒過定點2,?1．

20.(1)①fx=af′x因為函數(shù)fx在x=1處的切線與y=x+2所以f′1=a?1=1，得②由①得fx=2令?x因為?′x=?2x?1<0又?1=1>0，所以存在唯一的x0∈1,e，使?當(dāng)x∈0,x0時，?(x)>0，即當(dāng)x∈x0,+∞時，?(x)<0，即又fx0=2x0?1即fx0>0，因為f由零點存在性定理知fx在1e,綜上，函數(shù)fx(2)依題意gx=e則g′x當(dāng)a≤0時，g′x>0，gx當(dāng)a>0時，令tx=xex?a所以tx在0,因為t0=?a<0，要使得gx則須滿足te?a所以ee?a?a>a>0，設(shè)mx=ln令m′x=0，則當(dāng)0<x<1時，m′x<0，mx當(dāng)x>1時，m′x>0，mx所以mx即當(dāng)x>0時，lnx+所以a>0，lna+所以e?a即e?a所以e?a

21.(1)由于A4:1,2,3,4，TA4:3,1,4,2，故T1=3所以T2A4所以T3A4所以T4A4故T2A4(2)對數(shù)列A4的任意變換T①若存在i∈1,2,3,4，有Tai則T不是A4的3②若對i,j,s,t=1,2,3,4，由Tai=aj則T3ai=T2a所以，T3A4若T3A4是A4的逆序排列，則TA4也是③若i,j,s,t=1,2,3,4，有Tai=a則T3ai所以，T不是A4的3綜上所述，對于4項數(shù)列A4，不存在3(3)由(2)知4階數(shù)列A4不存在3對于3項數(shù)列A3:a1、(i)若Ta1=a1，則T3a(ii)若Ta當(dāng)Ta2=a1時，有Ta3=a當(dāng)Ta2=a3所以，變換T不是A3的3(iii)若Ta1=a3，同(ii)可知，變換T所以，3項數(shù)列A3不存在3對于5項數(shù)列A5:a1、a2、a若存在3