江蘇省“卓越高中聯(lián)盟”2025屆高三學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁江蘇省“卓越高中聯(lián)盟”2025屆高三學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={x∈N?|2x<4}，A.{x|?1<x<2} B.{x|x<2} C.{0,1} D.{1}2.設(shè)m∈R，z=?i(2+mi)，其中i為虛數(shù)單位，則“|z|>5”是“m>1”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.在三角形ABC中，AB=3，AC=6，向量AB在向量AC上的投影向量為14AC，P為邊BC上一點(diǎn)，且BP=2PC，則|APA.4 B.21 C.23 4.在正六棱臺ABCDEF?A1B1C1D1E1F1中，AB=2A1A.78 B.34 C.585.已知cosαcosβ=12，cosA.38 B.316 C.?36.已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過橢圓C的上頂點(diǎn)A作直線AF2交橢圓C于另一點(diǎn)B.若|AB|=32A.13 B.12 C.37.已知函數(shù)f(x)=lnx+?x2?2ax+a2x(a∈R)A.?1<a<0 B.0<a<1 C.(?∞,?1) D.(1,+∞)8.若關(guān)于x的不等式ea+x?lnx<x2+ax對A.?∞,0 B.?1,0 C.?1,+∞ D.0,+∞二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+π4)(0<ω<4)的圖象關(guān)于直線A.ω=2 B.f(x)在區(qū)間(0,3π8)上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

C.f(x?3π8)是奇函數(shù)10.已知正四棱錐M?ABCD的棱長均為2，下列說法正確的是(

)A.平面MAB與平面ABCD夾角的正弦值為33

B.若點(diǎn)P滿足BP=λBA+μBD+(1?λ?μ)BM，則|CP|的最小值為263

C.在四棱錐M?ABCD內(nèi)部有一個(gè)可任意轉(zhuǎn)動的正方體，則該正方體表面積的最大值為11.已知定義在R上的函數(shù)f(x)和g(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)且定義域?yàn)镽.若g(x)為偶函數(shù)，f(x)+g′(x)?2=0，f(x)?g′(4?x)?2=0，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A.f(4)=2 B.g′(?4)=1

C.f(1)+f(3)=4 D.g′(?2)+f(2)=4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l:x?y+b=0分別與曲線y=ex+1，y=?x2+mx(m>0)都相切，則b?2m13.已知函數(shù)fx=lgx2?ax+12在?1,3上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)14.已知P是圓C1:(x?m+1)2+y2=4(m∈R)上的動點(diǎn)，M(m+3,0)，點(diǎn)A，B是圓C2:(x??5)2+(y?6四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知在△ABC中，tanB=3sin(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由;(2)點(diǎn)D在AB邊上，且BD=3AD，若CD=2，求△ACD的面積．16.(本小題15分)設(shè)函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式為f(x)=1?2ax(1)判斷函數(shù)y=f(x)的奇偶性，并說明理由;(2)若函數(shù)g(x)=f(x?12)+1，求17.(本小題15分)已知圓C:x2+(y?1)2=5，過點(diǎn)P(1,1)的直線l交圓(1)若|AP|:|PB|=1:2，求此時(shí)直線l的方程;(2)過A，B分別作圓C的切線l1，l2，設(shè)直線l1和l2的交點(diǎn)為M18.(本小題17分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120(1)求證：平面PAB⊥平面PAD；(2)設(shè)AB=AP．①若直線PB與平面PCD所成角的正弦值為3344，求線段②在線段AD上是否存在點(diǎn)G，使得點(diǎn)P，C，D在以G為球心的球上？若存在，求線段AB的長；若不存在，說明理由．19.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=(x?a)ln(1)若1是f(x)的極值點(diǎn)，求a的值．(2)若0<a≤1，試問f(x)是否存在零點(diǎn)?若存在，請求出該零點(diǎn);若不存在，請說明理由．(3)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足題意的a的最小整數(shù)值.(ln參考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.D

6.A

7.B

8.C

9.ACD

10.BCD

11.AC

12.?413.[6,7)

14.12?215.解：(1)由tanB=3sinC+cosCsinC?3cosC可得tanB=3tanC+1tanC?3，

所以tanB(tanC?3)=3tanC+1，

所以tanBtanC?1=3(tanB+tanC)，

所以tan(B+C)=tanB+tanC1?tanBtanC=?33，

所以tanA=?tan(B+C)=33．

因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=π6，

16.解：(1)函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，理由如下：

因?yàn)閒(x)=1?2ax+1=ax?1ax+1的定義域?yàn)镽，f(?x)=a?x?1a?x+1=1?axax+1=?f(x)，

所以函數(shù)y=f(x)17.解：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l:x=1，

聯(lián)立x=1,x2+(y?1)2=5,解得y1=3，y2=?1，|AP|=|PB|不符合題意；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，l:y=k(x?1)+1，

由|AP||PB|=12，得2AP=PB，則x2=3?2x1，

聯(lián)立y=k(x?1)+1,x2+(y?1)2=5,得(1+k2)x2?2k2x+k2?5=018.解：(1)在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以AB⊥平面PAD，又因?yàn)锳B?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．(2)如圖以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，設(shè)AB=t，0<t<5，則AP=t，由AB+AD=5，CD=2，∠PAD=120則Bt,0,0，P0,?t2,3t2所以CP=?1,t①設(shè)平面PCD的法向量為n=x,y,z，由n⊥CP，n⊥CD，設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ，則有：sin?θ=|cos?即：3344=|?t?t解得t=2或t=7023，即AB=2或②如圖，假設(shè)在線段AD上是否存在點(diǎn)G，使得點(diǎn)P，C，D在以G為球心的球上，由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45°，所以所以GD=CDcos又因?yàn)锳B=t得AD=5?t，AG=AD?GD=4?t，

所以G0,4?t,0，P由GP=GD得?t2?亦即t2因?yàn)棣??42?4×15<0所以線段AD上不存在點(diǎn)G，使得點(diǎn)P，C，D在以G為球心的球上．

19.解：(1)f′(x)=lnx+1?ax(x>0)，

因?yàn)?是f(x)的極值點(diǎn)，所以f′(1)=1?a=0，解得a=1，

此時(shí)f′(x)=lnx+1?1x，

令φ(x)=lnx+1?1x

由φ′(x)=1x+1x2>0，得f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=1時(shí)取得極值，

所以a=1；

(2)?①當(dāng)a=1時(shí)，由(1)可知f(x)≥f(1)=1>0，此時(shí)f(x)不存在零點(diǎn)；

?②當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，令t(x)=f′(x)，則t′(x)=1x+ax2>0，

所以f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，又f′(a)=lna<0，f′(1)=1?a>0，且f′(x)在(0,+∞)上的圖象是不間斷的，

所以存在唯一的x0∈(0,1)，使得f′(x0)=0，

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，t?∞,?

?ln2(?ln2,0)m′(t)

+

0

?g′(t)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

所以g′(t)≤g′(?ln2)=?2+2ln2<0，

則g(t)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，

所以g(t)>g(0)=e0?0=1>0，

則當(dāng)t<0時(shí)，e?t?t2>0，

所以e?ln?x0?(ln?x0)2>0(x0∈(0,1)),即1x0?(ln?x0)2>0，

所以f(x0)=?x0(lnx0)2+1=x0[1x0?(lnx0)2]>0，故f(x)無零點(diǎn)．

綜上，f(x)不存在零點(diǎn)；

(3)由(2)可知，當(dāng)0<a≤1時(shí)