2019年中考數(shù)學復習第四單元圖形的初步認識與三角形第18講相似三角形練習

第18講相似三角形重難點相似三角形的性質與判定(2018·包頭)如圖，在?ABCD中，AC是一條對角線，EF∥BC，且EF與AB相交于點E，與AC相交于點F，3AE＝2EB，連接DF.若S△AEF＝1，則S△ADF的值為eq\f(5,2)．【思路點撥】要求S△ADF，由已知條件EF∥BC，3AE＝2BE，可得到AF與AC的數(shù)量關系，進而轉換到S△ADF與S△ADC的數(shù)量關系，而由平行四邊形的性質知，S△ADC＝S△ABC，由EF∥BC，3AE＝2BE，S△AEF＝1，結合相似三角形的性質，得S△ABC，則S△ADF即可求出．eq\x(方法指導)求三角形面積常用方法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直接法S△＝\f(1,2)ah,等積法\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\x(\a\al(S1＝S2,（等底同高）)),（同底等高）)),等比法\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\f(S1,S2)＝\f(a,b)\a\vs4\al(（同高,不同底）),\a\vs4\al(（不同高,不同底）)))))如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點，連接BE，AF⊥BE于點F，連接DF.(1)求證：DE2＝BE·EF；(2)求∠EFD的度數(shù)．【思路點撥】(1)要證DE2＝EF·BE，而由已知條件知DE＝AE，∴AE2＝EF·BE，即eq\f(AE,BE)＝eq\f(EF,AE)，觀察發(fā)現(xiàn)，這四條邊恰好在△ABE和△FAE中，故只需證明△ABE∽△FAE，由相似三角形的性質即可使問題得證；(2)要求∠EFD的度數(shù)，而已知條件中并未告訴已知角，故要在正方形中構造已知角并將∠EFD進行轉換．由(1)知eq\f(AE,BE)＝eq\f(EF,AE)，而∠DEF＝∠BED，故連接BD，可證△DEF∽△BED，由相似三角形的性質即可求出∠EFD的度數(shù)．【自主解答】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AFE＝90°.∴∠BAE＝∠AFE.又∠AEF＝∠AEB，∴△AEF∽△BEA.∴eq\f(AE,BE)＝eq\f(EF,EA)，即AE2＝BE·EF.∵E為AD的中點，∴AE＝DE.∴DE2＝BE·EF.(2)連接BD，則∠EDB＝45°.由(1)得，eq\f(DE,EF)＝eq\f(BE,DE).又∠DEF＝∠BED，∴△DEF∽△BED.∴∠EFD＝∠EDB＝45°.eq\x(方法指導)1．判定三角形相似的思路eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有平行線——用平行線的性質，找等角,\a\vs4\al(有一對,等角，找)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(另一對等角,兩夾邊對應成比例)),\a\vs4\al(有兩邊,對應成,比例，找)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(夾角相等,第三邊也對應成比例,有一對直角)),\a\vs4\al(直角三,角形，找)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(一對銳角相等,斜邊、直角邊對應成比例)),\a\vs4\al(等腰三,角形，找)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(頂角相等,一對底角相等,底和腰對應成比例))))2．證明等積時，先由比例的基本性質，化等積式為比例式，然后把比例式，左側(或分子)，右側(或分母)放入兩個三角形中，證明兩個三角形相似即可，如不能放入兩個三角形中，可找到相等邊代換或尋找中間比．3．求某個三角的邊長或角度時，可借助條件，確定未知三角形(即包含所求邊又有某個已知條件)與已知三角形相似，利用相似三角形的性質求解．考點1比例線段1．(2018·白銀)已知eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)(a≠0，b≠0)，下列變形錯誤的是(B)A.eq\f(a,b)＝eq\f(2,3)B．2a＝3bC.eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)D．3a＝2b2．(2018·成都)已知eq\f(a,6)＝eq\f(b,5)＝eq\f(c,4)，且a＋b－2c＝6，則a的值為12.考點2黃金分割3．如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)，那么稱線段AB被點C黃金分割，AC與AB的比叫做黃金比，其比值是(A)A.eq\f(\r(5)－1,2)B.eq\f(3－\r(5),2)C.eq\f(\r(5)＋1,2)D.eq\f(3＋\r(5),2)考點3平行線分線段成比例4．(2018·哈爾濱)如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，連接AD，點G在線段AD上，GE∥BD，且交AB于點E，GF∥AC，且交GD于點F，則下列結論一定正確的是(D)A.eq\f(AB,AE)＝eq\f(AG,AD)B.eq\f(DF,CF)＝eq\f(DG,AD)C.eq\f(FG,AC)＝eq\f(EG,BD)D.eq\f(AE,BE)＝eq\f(CF,DF)5．(2018·嘉興)如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC交l1，l2，l3于點A，B，C；直線DF交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn).已知eq\f(AB,AC)＝eq\f(1,3)，則eq\f(EF,DE)＝2．考點4相似三角形的性質6．(2018·重慶A卷)要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5cm，6cm和9cm，另一個三角形的最短邊長為2.5cmA．3cmB．4cmC．4.5cm7．(2017·連云港)如圖，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，則下列等式一定成立的是(D)A.eq\f(BC,DF)＝eq\f(1,2)B.eq\f(∠A的度數(shù),∠D的度數(shù))＝eq\f(1,2)C.eq\f(△ABC的面積,△DEF的面積)＝eq\f(1,2)D.eq\f(△ABC的周長,△DEF的周長)＝eq\f(1,2)8．(2018·荊門)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)為CD邊的兩個三等分點，連接AF，BE相交于點G.則S△EFG∶S△ABG＝(C)A．1∶3B．3∶1C．1∶99．(2018·重慶B卷)制作一塊3m×2m長方形廣告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情況下，若將此廣告牌的四邊都擴大為原來的3倍，那么擴大后長方形廣告牌的成本是(A．360元B．720元C．1080元D．2160元10．(2018·資陽)如圖，△ABC的面積為12，點D，E分別是AB，AC的中點，則四邊形BCED的面積為9．考點5相似三角形的判定11．(2018·永州)如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，則邊AC的長為(B)A．2B．4C．612．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC∶AC是(B)A．3∶2 B．2∶3 C．3∶eq\r(13) D．2∶eq\r(13) 13．(2018·邵陽)如圖，點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點，連接AE，交CD于點F，連接BF.寫出圖中任意一對相似三角形：答案不唯一，如△EFC∽△AFD，△EAB∽△AFD，△EFC∽△EAB．14．(2018·北京)如圖，在矩形ABCD中，點E是AB邊的中點，連接DE交對角線AC于點F.若AB＝4，AD＝3，則CF的長為eq\f(10,3)．15．(2018·巴中)如圖，⊙O的兩弦AB，CD相交于點P，連接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，則AC∶BD＝4∶3．16．(2018·杭州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，OE⊥AB于點E.(1)求證：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10.求線段DE的長．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵AD為BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠CDA＝90°.∴△BDE∽△CAD.(2)∵BC＝10，∴BD＝5.根據(jù)勾股定理，得AD＝eq\r(AB2－BD2)＝12.∵△BDE∽△CAD，∴eq\f(BD,CA)＝eq\f(DE,AD)，∴eq\f(5,13)＝eq\f(DE,12).∴DE＝eq\f(60,13).考點6相似三角形的實際應用17．(2018·義烏)學校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點旋轉到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD.垂足分別為B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1mA．0.2mB．0.3mC．0.4m18．(2018·陜西)周末，小華和小亮想用所學的數(shù)學知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D，豎起標桿DE，使得點E與點C，A共線．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據(jù)相關測量信息，求河寬AB.解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°.∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC).∴eq\f(AB＋8.5,AB)＝eq\f(1.5,1).∴AB＝17，即河寬為17m19．(2018·瀘州)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G.若AE＝3ED，DF＝CF，則eq\f(AG,GF)的值是(C)A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,4)C.eq\f(6,5)D.eq\f(7,6)20．(2018·揚州)如圖，點A在線段BD上，在BD的同側作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE，AE分別交于點P，M.對于下列結論：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正確的是(A)A．①②③B．①C．①②D．②③21．(2018·鹽城)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分別為邊BC，AB上的兩個動點．若要使△APQ是等腰三角形，且△BPQ是直角三角形，則AQ＝eq\f(15,4)或eq\f(30,7)．22．(2018·咸寧)定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似(不全等)，我們把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．理解：(1)如圖1，已知Rt△ABC在正方形網格中，請你只用無刻度的直尺在網格中找到一點D.使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形；(保留畫圖痕跡，找出3個即可)圖1圖2圖3(2)如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，對角線BD平分∠ABC.求證：BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；運用：(3)如圖3，已知FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，∠EFH＝∠HFG＝30°，連接EG.若△EFG的面積為2eq\r(3)，求FH的長．解：(1)如圖所示．(2)證明：∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝40°.∴∠A＋∠ADB＝140°.∵∠ADC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°.∴∠A＝∠BDC.∴△ABD∽△DBC.∴BD是四邊形ABCD的“相似對角線”．(3)∵FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，∴△EFH∽△HFG.∴eq\f(FE,FH)＝eq\f(FH,FG).∴FH2＝FE·FG.過點E作EQ⊥FG，垂足為Q.∵∠EFH＝∠HFG＝30°，∴∠EFQ＝60°.則EQ＝FE·sin60°＝eq\f(\r(3),2)FE.∵eq\f(1,2)FG·EQ＝2eq\r(3)，∴eq\f(1,2)FG×