數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講義下冊（適合藝術(shù)生、基礎(chǔ)生一輪復(fù)習(xí)）第28講等差數(shù)列含答案及解析

第28講等差數(shù)列1、等差數(shù)列的概念一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示．2、等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法（或者）(是常數(shù))是等差數(shù)列．(2)等差中項法：()是等差數(shù)列．(3)通項公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．(4)前項和公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．3、若等差數(shù)列的公差為d,則時遞增；時遞減；時是常數(shù)數(shù)列.4、對于任意數(shù)列，為遞增數(shù)列；（時，數(shù)列嚴(yán)格遞增）為遞減數(shù)列；（時，數(shù)列嚴(yán)格遞減）5、等差數(shù)列前項和公式：；6、等差數(shù)列的前n項和Sn的性質(zhì)（1）等差數(shù)列中依次項之和，，，,…組成公差為的等差數(shù)列(2)在等差數(shù)列，中，它們的前項和分別記為則7、等差數(shù)列前項和的最值在等差數(shù)列中，（1）若有最大值,可由不等式組來確定；（2）若有最小值,可由不等式組來確定（3）求等差數(shù)列前項和的最值也可以把前項和化為關(guān)于的二次函數(shù),通過配方求最值【題型一：等差數(shù)列通項公式】1．（寧德市第九中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（）A．4 B．3 C．2 D．12．（全國高二單元測試）在數(shù)列中，，，若，則（）A．671 B．672 C．673 D．6743．（江西南昌·高三開學(xué)考試（理））設(shè)為數(shù)列的前n項和，若，，則（）A． B． C．10 D．4．（北京牛欄山一中）已知數(shù)列中，，，則等于（）A．-12 B．12 C．-16 D．165．（慶陽第六中學(xué)高一期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則的公差為（）A．4 B．3 C．2 D．1【題型二：等差中項】1．（全國高二單元測試）在等差數(shù)列中，，則（）A．8 B．12 C．16 D．202．（北京房山·）8，2的等差中項是（）A．±5 B．±4 C．5 D．43．（全國）等差數(shù)列，，，…的第四項等于()A．10 B．6 C．8 D．124．（江西省銅鼓中學(xué)（文））已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項，則的公差為（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【題型三：等差數(shù)列性質(zhì)】1．（四川省資中縣第二中學(xué)（理））在等差數(shù)列中，則=（）A． B． C． D．2．（西藏昌都市第一高級中學(xué)高二月考）在等差數(shù)列中，若，則（）A．20 B．24 C．27 D．293．（全國高二課時練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，且，則（）A．5 B．6 C．16 D．324．（貴州大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）等差數(shù)列的前項和為30，前項和為100，則前項和為（）A．130 B．170 C．210 D．2605．（寧德市第九中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，則使取最大值的自然數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．76．（新蔡縣第一高級中學(xué)高二月考（文））已知等差數(shù)列，的前項和分別為，若，則（）A． B． C． D．7．（江西九江一中高一期末）已知兩個等差數(shù)到和的前項和分別為和，且，則=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（江西省蓮花中學(xué)高一月考）是等差數(shù)列的前項和，且．則時，的最大值為（）A．197 B．198 C．199 D．2009．（青銅峽市高級中學(xué)高一期中）若等差數(shù)列滿足，，當(dāng)則當(dāng)前項和取得最大值時的值是（）A．5 B．6 C．7 D．810．（安徽（文））在等差數(shù)列中，已知，，則使數(shù)列的前項和成立時n的最小值為（）A．6 B．7 C．9 D．1011．（賽罕·內(nèi)蒙古師大附中）等差數(shù)列中，，，則數(shù)列各項中取值為正數(shù)的有（）A．8項或9項 B．7項或8項 C．17項或18項 D．16項或17項【題型四：等差數(shù)列前項和】1．（全國高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則的值是（）A．12 B．24C．36 D．482．（全國高二課時練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，則的值為（）A． B． C．2 D．33．（全國高二專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列且，，為其前項的和，則（）A．176 B．182 C．188 D．1924．（全國高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足：，，的前項和為．求及；5．（廣西南寧·高一月考）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.求公差及的通項公式；6．（全國高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.7．（全國高二單元測試）已知是等差數(shù)列，其中，公差，（1）求的通項公式.（2）求數(shù)列前項和.【題型五：等差數(shù)列前項和最大（?。﹩栴}】1．（全國高二課時練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則使的最小正整數(shù)的值是（）A．8 B．9 C．10 D．112．（貴州貴陽一中高三月考（文））已知等差數(shù)列的前項和為，且有，，則的最小值為（）A．-40 B．-39 C．-38 D．-143．（雙峰縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的通項公式為，則其前項和的最大值為（）A．15 B．16 C．17 D．184．（河南高二月考（文））在等差數(shù)列中，.（1）求的通項公式;（2）求的前項和及的最小值.5．（全國）設(shè)等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和及使得最大的自然數(shù)的值.6．（皮山縣高級中學(xué)高一期中）已知等差數(shù)列中，，，求（1）求的通項公式；（2）的前項和.【題型六：已知和關(guān)系】1．（廣西平果二中高一期中）已知是等差數(shù)列的前項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）為何值時，取得最大值并求其最大值．2．（全國高二專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，.求數(shù)列的通項公式；3．（南昌市豫章中學(xué)高三開學(xué)考試（理））已知數(shù)列的前項和為.求數(shù)列的通項公式；4．（渾源縣第七中學(xué)校高三模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列的前項和為，且滿足.求數(shù)列的通項公式；5．（山東高三專題練習(xí)）已知正項數(shù)列的前項和為，且和滿足：.求的通項公式；

第28講等差數(shù)列1、等差數(shù)列的概念一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示．2、等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法（或者）(是常數(shù))是等差數(shù)列．(2)等差中項法：()是等差數(shù)列．(3)通項公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．(4)前項和公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．3、若等差數(shù)列的公差為d,則時遞增；時遞減；時是常數(shù)數(shù)列.4、對于任意數(shù)列，為遞增數(shù)列；（時，數(shù)列嚴(yán)格遞增）為遞減數(shù)列；（時，數(shù)列嚴(yán)格遞減）5、等差數(shù)列前項和公式：；6、等差數(shù)列的前n項和Sn的性質(zhì)（1）等差數(shù)列中依次項之和，，，,…組成公差為的等差數(shù)列(2)在等差數(shù)列，中，它們的前項和分別記為則7、等差數(shù)列前項和的最值在等差數(shù)列中，（1）若有最大值,可由不等式組來確定；（2）若有最小值,可由不等式組來確定（3）求等差數(shù)列前項和的最值也可以把前項和化為關(guān)于的二次函數(shù),通過配方求最值題型一：等差數(shù)列通項公式1．（寧德市第九中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【詳解】由題設(shè)，，解得.故選：A2．（全國高二單元測試）在數(shù)列中，，，若，則（）A．671 B．672 C．673 D．674【答案】D【詳解】∵，，∴∴數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，∴，解得.故選：D.3．（江西南昌·高三開學(xué)考試（理））設(shè)為數(shù)列的前n項和，若，，則（）A． B． C．10 D．【答案】C【詳解】解：因為，所以有，即數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以.故選：C.4．（北京牛欄山一中）已知數(shù)列中，，，則等于（）A．-12 B．12 C．-16 D．16【答案】A【詳解】解：數(shù)列中，，，即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，所以．故選：A．5．（慶陽第六中學(xué)高一期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則的公差為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【詳解】由，得.又，所以.故選：B題型二：等差中項1．（全國高二單元測試）在等差數(shù)列中，，則（）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【詳解】由題意，數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得，，

則，所以.

故選：B.2．（北京房山·）8，2的等差中項是（）A．±5 B．±4 C．5 D．4【答案】C【詳解】8，2的等差中項為.故選：C3．（全國）等差數(shù)列，，，…的第四項等于()A．10 B．6 C．8 D．12【答案】C【詳解】解：由題意可得,(1＋x)＋(5x＋1)＝2(2x＋2)解得x＝1∴這個數(shù)列為2，4，6，8，…故選C.4．（江西省銅鼓中學(xué)（文））已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項，則的公差為（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得，即，解得.故選B.題型三：等差數(shù)列性質(zhì)1．（四川省資中縣第二中學(xué)（理））在等差數(shù)列中，則=（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)有，則.故選：D2．（西藏昌都市第一高級中學(xué)高二月考）在等差數(shù)列中，若，則（）A．20 B．24 C．27 D．29【答案】D【詳解】解：，所以，又，所以，所以，故選：D3．（全國高二課時練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，且，則（）A．5 B．6 C．16 D．32【答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，又由.故選：B.4．（貴州大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）等差數(shù)列的前項和為30，前項和為100，則前項和為（）A．130 B．170 C．210 D．260【答案】C【詳解】∵為等差數(shù)列，

∴成等差數(shù)列，

即成等差數(shù)列，

，

解得.

故選：C.5．（寧德市第九中學(xué)高二月考）已知等差數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，則使取最大值的自然數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，依題意，，解得：，于是得，由得，，因此，數(shù)列是遞減等差數(shù)列，其前5項均為正，從第6項開始為負(fù)，則其前5項和最大，所以使取最大值的自然數(shù)n是5.故選：B6．（新蔡縣第一高級中學(xué)高二月考（文））已知等差數(shù)列，的前項和分別為，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，故選：A.7．（江西九江一中高一期末）已知兩個等差數(shù)到和的前項和分別為和，且，則=（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【詳解】依題意.故選：D8．（江西省蓮花中學(xué)高一月考）是等差數(shù)列的前項和，且．則時，的最大值為（）A．197 B．198 C．199 D．200【答案】B【詳解】解：因為，即，，所以，所以數(shù)列的公差，所以，，故時，的最大值為198；故選：B9．（青銅峽市高級中學(xué)高一期中）若等差數(shù)列滿足，，當(dāng)則當(dāng)前項和取得最大值時的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】由題意，等差數(shù)列滿足，，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，即，又由，可得，所以當(dāng)前項和取得最大值時的值是.故選：B.10．（安徽（文））在等差數(shù)列中，已知，，則使數(shù)列的前項和成立時n的最小值為（）A．6 B．7 C．9 D．10【答案】D【詳解】，，，，，，,使數(shù)列的前n項和成立時n的最小值為10，故選：D.11．（賽罕·內(nèi)蒙古師大附中）等差數(shù)列中，，，則數(shù)列各項中取值為正數(shù)的有（）A．8項或9項 B．7項或8項 C．17項或18項 D．16項或17項【答案】A【詳解】若，則，得，而，所以，即，所以；若，得，而，所以，即，所以；若，則，得.所以數(shù)列各項中取值為正數(shù)的有8項或9項，故選：A.題型四：等差數(shù)列前項和1．（全國高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則的值是（）A．12 B．24C．36 D．48【答案】B【詳解】由S10=，得a1+a10=，故選：B2．（全國高二課時練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，則的值為（）A． B． C．2 D．3【答案】B【詳解】設(shè)公差不為0的等差數(shù)列滿足，則，整理可得．則．故選：B．3．（全國高二專題練習(xí)）已知為等差數(shù)列且，，為其前項的和，則（）A．176 B．182 C．188 D．192【答案】D【詳解】，，，，故選：D.4．（全國高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足：，，的前項和為．求及；【答案】（1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)；（2）．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2．∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．5．（廣西南寧·高一月考）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.求公差及的通項公式；【答案】（1），；【詳解】（1）設(shè)的公差為，由題意得.由得.所以的通項公式為.6．（全國高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）因為等差數(shù)列中，首項為，公差為，所以其通項公式為；（2）由（1）可得，數(shù)列的前項和.7．（全國高二單元測試）已知是等差數(shù)列，其中，公差，（1）求的通項公式.（2）求數(shù)列前項和.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）是等差數(shù)列，且，，；（2）.題型五：等差數(shù)列前項和最大（?。﹩栴}1．（全國高二課時練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則使的最小正整數(shù)的值是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S11-S8=3，得a11+a10+a9=3，即3a10=3，解得a10=1，于是得a1+9d=1，而a11-a8=3d=3，即d=1，則有a1=-8，從而得等差數(shù)列{an}的通項公式為：an=-9+n，由-9+n>0得n>9，而n是正整數(shù)，則，所以使an>0的最小正整數(shù)n的值是10.故選：C2．（貴州貴陽一中高三月考（文））已知等差數(shù)列的前項和為，且有，，則的最小值為（）A．-40 B．-39 C．-38 D．-14【答案】A【詳解】因為，，所以，，所以，由得，所以前項和最小，.故選：A3．（雙峰縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列的通項公式為，則其前項和的最大值為（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】B【詳解】當(dāng)時，，可得最大，.故選：B4．（河南高二月考（文））在等差數(shù)列中，.（1）求的通項公式;（2）求的前項和及的最小值.【答案】（1）；（2），-36.【詳解】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)題意得解得，所以.（2）根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式得則當(dāng)時，取得最小值.5．（全國）設(shè)等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）求的前項和及使得最大的自然數(shù)的值.【答案】（1）an=11-2n，n∈N*；（2）Sn=-（n-5）2+25，n=5.【詳解】解（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9，得解得所以數(shù)列{an}的通項公式為an=11-2n，n∈N*.（2）由（1