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吉林省遼源市田家炳高中2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.122.函數(shù)(),當(dāng)時(shí),的值域?yàn)?,則的范圍為()A. B. C. D.3.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.《周易》是我國(guó)古代典籍,用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化.如圖是一個(gè)八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個(gè)爻組成,其中“”表示一個(gè)陽(yáng)爻,“”表示一個(gè)陰爻).若從含有兩個(gè)及以上陽(yáng)爻的卦中任取兩卦,這兩卦的六個(gè)爻中都恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為()A. B. C. D.5.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.6.設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,則()A.9 B.27 C.81 D.7.已知,則,不可能滿足的關(guān)系是()A. B. C. D.8.展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A.-1280 B.4864 C.-4864 D.12809.下列函數(shù)中,圖象關(guān)于軸對(duì)稱的為()A. B.,C. D.10.已知函數(shù),若,且,則的取值范圍為()A. B. C. D.11.如圖,某幾何體的三視圖是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的,則該幾何體的體積為()A. B. C.6 D.與點(diǎn)O的位置有關(guān)12.天干地支,簡(jiǎn)稱為干支,源自中國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)代對(duì)天象的觀測(cè).“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復(fù),60年為一個(gè)輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個(gè)年份中任取2個(gè)年份,則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖是一個(gè)算法的偽代碼,運(yùn)行后輸出的值為_(kāi)__________.14.若函數(shù),則__________;__________.15.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,則=_______.16.在的展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)之和為,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)原點(diǎn)且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點(diǎn)(異于原點(diǎn)),求的取值范圍.18.(12分)如圖,四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,為正三角形,平面平面分別是的中點(diǎn).(1)證明:平面(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),求的值.21.(12分)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.數(shù)列滿足,其前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)這次新冠肺炎疫情,是新中國(guó)成立以來(lái)在我國(guó)發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.中華民族歷史上經(jīng)歷過(guò)很多磨難,但從來(lái)沒(méi)有被壓垮過(guò),而是愈挫愈勇,不斷在磨難中成長(zhǎng),從磨難中奮起.在這次疫情中,全國(guó)人民展現(xiàn)出既有責(zé)任擔(dān)當(dāng)之勇、又有科學(xué)防控之智.某校高三學(xué)生也展開(kāi)了對(duì)這次疫情的研究,一名同學(xué)在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn),從2020年2月1日至2月7日期間,日期和全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量(單位:萬(wàn)人)之間的關(guān)系如下表:日期1234567全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù)量(萬(wàn)人)1.41.72.02.42.83.13.5(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),運(yùn)用相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析說(shuō)明,是否可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系?(2)求出關(guān)于的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01).并預(yù)測(cè)2月10日全國(guó)累計(jì)報(bào)告確診病例數(shù).參考數(shù)據(jù):,,,.參考公式:相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
由題意知成等差數(shù)列,結(jié)合等差中項(xiàng),列出方程,即可求出的值.【詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差數(shù)列,一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來(lái),繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對(duì)比較大,如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),可使得計(jì)算量大大減少.2、B【解析】
首先由,可得的范圍,結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像,可求的關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式,解不等式即可求得范圍.【詳解】因?yàn)?,所以,若值域?yàn)?,所以只需,?故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域,熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3、A【解析】
將整理成的形式,得到復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的的點(diǎn),從而可選出所在象限.【詳解】解:,所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).易錯(cuò)點(diǎn)是誤把當(dāng)成進(jìn)行計(jì)算.4、B【解析】
基本事件總數(shù)為個(gè),都恰有兩個(gè)陽(yáng)爻包含的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè),由此求出概率.【詳解】解:由圖可知,含有兩個(gè)及以上陽(yáng)爻的卦有巽、離、兌、乾四卦,取出兩卦的基本事件有(巽,離),(巽,兌),(巽,乾),(離,兌),(離,乾),(兌,乾)共個(gè),其中符合條件的基本事件有(巽,離),(巽,兌),(離,兌)共個(gè),所以,所求的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本題滲透?jìng)鹘y(tǒng)文化,考查概率、計(jì)數(shù)原理等基本知識(shí),考查抽象概括能力和應(yīng)用意識(shí),屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
由的解集,可知及,進(jìn)而可求出方程的解,從而可求出的解集.【詳解】由的解集為,可知且,令,解得,,因?yàn)?,所以的解集為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)兩個(gè)已知條件求出數(shù)列的公比和首項(xiàng),即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由,得,解得或.因?yàn)?且數(shù)列遞增,所以.又,解得,故.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、C【解析】
根據(jù)即可得出,,根據(jù),,即可判斷出結(jié)果.【詳解】∵;∴,;∴,,故正確;,故C錯(cuò)誤;∵,故D正確故C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化,對(duì)數(shù)的運(yùn)算,以及基本不等式:和不等式的應(yīng)用,屬于中檔題8、A【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的公式得到具體為:化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出項(xiàng),第二個(gè)括號(hào)里出項(xiàng),或者第一個(gè)括號(hào)里出,第二個(gè)括號(hào)里出,具體為:化簡(jiǎn)得到-1280x2故得到答案為:A.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略:(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng),由特定項(xiàng)得出值,最后求出其參數(shù).9、D【解析】
圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù);A中,,,故為奇函數(shù);B中,的定義域?yàn)?,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故為非奇非偶函數(shù);C中,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,為奇函數(shù);D中,且,,故為偶函數(shù).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法:對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有,則函數(shù)是奇函數(shù);都有,則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法:函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對(duì)稱.10、A【解析】分析:作出函數(shù)的圖象,利用消元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),構(gòu)造函數(shù)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可得到結(jié)論.詳解:作出函數(shù)的圖象,如圖所示,若,且,則當(dāng)時(shí),得,即,則滿足,則,即,則,設(shè),則,當(dāng),解得,當(dāng),解得,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以,即的取值范圍是,故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,構(gòu)造新函數(shù),求解新函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法,以及分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,試題有一定的難度,屬于中檔試題.11、B【解析】
根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示,幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積,即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體,是由棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)四棱錐構(gòu)成的,正方體的體積為8,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,頂點(diǎn)O在平面上,高為2,所以四棱錐的體積為,所以該幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖求幾何體的體積,還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
利用古典概型概率計(jì)算方法分析出符合題意的基本事件個(gè)數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算即可出求得概率.【詳解】20個(gè)年份中天干相同的有10組(每組2個(gè)),地支相同的年份有8組(每組2個(gè)),從這20個(gè)年份中任取2個(gè)年份,則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算,考查組合數(shù)的計(jì)算,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、13【解析】根據(jù)題意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿足條件,故得到此時(shí)輸出的b值為13.故答案為13.14、01【解析】
根據(jù)分段函數(shù)解析式,代入即可求解.【詳解】函數(shù),所以,.故答案為:0;1.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
利用求出公差,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.【詳解】設(shè)公差為,因?yàn)?,所以,?所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解,利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問(wèn)題的通性通法,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16、【解析】
利用展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和求得的值,由此寫出展開(kāi)式的通項(xiàng),令指數(shù)為零求得參數(shù)的值,代入通項(xiàng)計(jì)算即可得解.【詳解】的展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為,得,所以,的展開(kāi)式通項(xiàng)為,令,得,因此,展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算,涉及二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),;(2).【解析】
(1)先將曲線化為普通方程,再由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系:,可得極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由已知可得出射線的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立和的極坐標(biāo)方程可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo),從而得出,由的范圍可求得的取值范圍.【詳解】(1)曲線的普通方程為,即,其極坐標(biāo)方程為;曲線的極坐標(biāo)方程為,即,其直角坐標(biāo)方程為;(2)射線的極坐標(biāo)方程為,聯(lián)立,聯(lián)立,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程互化,圓,拋物線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,以及在極坐標(biāo)下的直線與圓和拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.18、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,通過(guò)證明,即可證得;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接.是的中點(diǎn),,又,四邊形是平行四邊形.,又平面平面,平面.(2),,同理可得:,又平面.連接,設(shè),則,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的法向量為,則,則,?。本€與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查證明線面平行,求線面角的大小,關(guān)鍵在于熟練掌握線面平行的證明方法,法向量法求線面角的基本方法,根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算.19、(1)詳見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)連接,由菱形的性質(zhì)以及中位線,得,由平面平面,且交線,得平面,故而,最后由線面垂直的判定得結(jié)論.(2)以為原點(diǎn)建平面直角坐標(biāo)系,求出平面平與平面的法向量,,最后求得二面角的余弦值為.【詳解】解:(1)連結(jié)∵,且是的中點(diǎn),∴∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴又為菱形,且為棱的中點(diǎn),∴∴.又∵,平面∴平面.(2)由題意有,∵四邊形為菱形,且∴分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則設(shè)平面的法向量為由,得,令,得取平面的法向量為∴二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】處理線面垂直問(wèn)題時(shí),需要學(xué)生對(duì)線面垂直的判定定理特別熟悉,運(yùn)用幾何語(yǔ)言表示出來(lái)方才過(guò)關(guān),一定要在已知平面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直,才可以證得線面垂直,其次考查了學(xué)生運(yùn)用空間向量處理空間中的二面角問(wèn)題,培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象力.20、(1);(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.(2)利用(1)的結(jié)論,進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.曲線的極坐標(biāo)方程為.轉(zhuǎn)換為,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為(為參數(shù)),代入圓的直角坐標(biāo)方程整理得,所以,..【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)本題考查的知識(shí)要點(diǎn):主要考查極坐標(biāo),參數(shù)方程與普通方程互化,及求三角形
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