2025屆內(nèi)蒙古高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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2025屆內(nèi)蒙古高考沖刺模擬數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知命題,,則是()A., B.,.C., D.,.2.設(shè),則關(guān)于的方程所表示的曲線是()A.長(zhǎng)軸在軸上的橢圓 B.長(zhǎng)軸在軸上的橢圓C.實(shí)軸在軸上的雙曲線 D.實(shí)軸在軸上的雙曲線3.已知集合,,則集合子集的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.4.一個(gè)頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有()A. B. C. D.5.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.6.的展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)為()A. B. C. D.7.集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A.1個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.7個(gè)8.已知是虛數(shù)單位,若,,則實(shí)數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.9.已知函數(shù),將的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)保持不變;再把所得圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖象,若,則的值可能為()A. B. C. D.10.已知集合,,則A. B.C. D.11.若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的最小值為()A. B. C. D.12.國家統(tǒng)計(jì)局服務(wù)業(yè)調(diào)查中心和中國物流與采購聯(lián)合會(huì)發(fā)布的2018年10月份至2019年9月份共12個(gè)月的中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)(PMI)如下圖所示.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為B.12個(gè)月的PMI值的平均值低于50%C.12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%D.12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為50.3%二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.運(yùn)行下面的算法偽代碼,輸出的結(jié)果為_____.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上任一點(diǎn),且的最小值為,則該雙曲線的離心率是__________.15.如圖,在梯形中,∥,分別是的中點(diǎn),若,則的值為___________.16.如圖,直線平面,垂足為,三棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為4,在平面內(nèi),是直線上的動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離為_______,點(diǎn)到直線的距離的最大值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中點(diǎn)O為球心,AC為直徑的球面交PD于M(異于點(diǎn)D),交PC于N(異于點(diǎn)C).(1)證明:平面,并判斷四面體MCDA是否是鱉臑,若是,寫出它每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請(qǐng)說明理由;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知拋物線:的焦點(diǎn)為,過上一點(diǎn)()作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線分別與交于,兩點(diǎn),(1)證明:直線的斜率是-1;(2)若,,成等比數(shù)列,求直線的方程.19.(12分)已知數(shù)列滿足,且.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),,,動(dòng)點(diǎn)滿足,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),拋物線:上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足,試判斷是否為定值,若是,求這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由.21.(12分)傳染病的流行必須具備的三個(gè)基本環(huán)節(jié)是:傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個(gè)環(huán)節(jié)必須同時(shí)存在,方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑,為了有效防控新冠狀病毒的流行,人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人,為了掌握該地區(qū)居民的防控意識(shí)和防控情況,用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個(gè)容量為100的樣本,統(tǒng)計(jì)樣本中每個(gè)人出行是否會(huì)佩戴口罩的情況,得到下面列聯(lián)表:戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020(1)能否有的把握認(rèn)為是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)?(2)用樣本估計(jì)總體,若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人,求恰好有2人是青年人的概率.附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822.(10分)已知點(diǎn)到拋物線C:y1=1px準(zhǔn)線的距離為1.(Ⅰ)求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo);(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作不經(jīng)過點(diǎn)O的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,直線PA,PB,分別交x軸于M,N兩點(diǎn),求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題,可得,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查含量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)條件,方程.即,結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征判斷曲線的類型.【詳解】解:∵k>1,∴1+k>0,k2-1>0,

方程,即,表示實(shí)軸在y軸上的雙曲線,

故選C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征,依據(jù)條件把已知的曲線方程化為是關(guān)鍵.3、B【解析】

首先求出,再根據(jù)含有個(gè)元素的集合有個(gè)子集,計(jì)算可得.【詳解】解:,,,子集的個(gè)數(shù)為.故選:.【點(diǎn)睛】考查列舉法、描述法的定義,以及交集的運(yùn)算,集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為,因此,樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因?yàn)?所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,故可以排除;因?yàn)?故排除,因?yàn)橛蓤D象知,排除.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則得出的一次項(xiàng)系數(shù),然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和組合數(shù)公式得出結(jié)論.【詳解】由題意展開式中的一次項(xiàng)系數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,應(yīng)用多項(xiàng)式乘法法則可得展開式中某項(xiàng)系數(shù).同時(shí)本題考查了組合數(shù)公式.7、B【解析】

由題意,結(jié)合集合,求得集合,得到集合中元素的個(gè)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,集合,則,所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解,其中作出集合的運(yùn)算,得到集合,再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.8、B【解析】

由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】

利用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn),然后利用圖象變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式為,可得函數(shù)的值域?yàn)?,結(jié)合條件,可得出、均為函數(shù)的最大值,于是得出為函數(shù)最小正周期的整數(shù)倍,由此可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù),將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,得的圖象;再把所得圖象向上平移個(gè)單位,得函數(shù)的圖象,易知函數(shù)的值域?yàn)?若,則且,均為函數(shù)的最大值,由,解得;其中、是三角函數(shù)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo),的值為函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍,且.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換,同時(shí)也考查了正弦型函數(shù)與周期相關(guān)的問題,解題的關(guān)鍵在于確定、均為函數(shù)的最大值,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.10、D【解析】

因?yàn)?,所以,,故選D.11、A【解析】

根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為,令,利用導(dǎo)數(shù),判斷其單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)椴坏仁接姓麛?shù)解,所以,于是轉(zhuǎn)化為,顯然不是不等式的解,當(dāng)時(shí),,所以可變形為.令,則,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,所以當(dāng)時(shí),,故,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法,涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.12、D【解析】

根據(jù)圖形中的信息,可得頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù),從而得到答案.【詳解】對(duì)A,從圖中數(shù)據(jù)變化看,PMI值不低于50%的月份有4個(gè),所以12個(gè)月的PMI值不低于50%的頻率為,故A正確;對(duì)B,由圖可以看出,PMI值的平均值低于50%,故B正確;對(duì)C,12個(gè)月的PMI值的眾數(shù)為49.4%,故C正確,;對(duì)D,12個(gè)月的PMI值的中位數(shù)為49.6%,故D錯(cuò)誤故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查頻率、平均值的估計(jì)、眾數(shù)、中位數(shù)計(jì)算,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

模擬程序的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后計(jì)算并輸出的值,用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】模擬程序的運(yùn)行過程知,該程序運(yùn)行后執(zhí)行:.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查算法語句中的循環(huán)語句和裂項(xiàng)相消法求和;掌握循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)雙曲線方程,設(shè)及,將代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)可得,由題意的最小值為,結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn),即可求得的值,進(jìn)而求得離心率即可.【詳解】設(shè)點(diǎn),,則,即,∵,,,當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,∴,∴,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應(yīng)用,由平面向量數(shù)量積的最值求離心率,屬于中檔題.15、【解析】

建系,設(shè)設(shè),由可得,進(jìn)一步得到的坐標(biāo),再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到答案.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,設(shè),則,所以,,由,得,即,又,所以,故,,所以.故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查利用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.16、【解析】

三棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為4,所以在平面的投影為的重心,利用解直角三角形,即可求出點(diǎn)到平面的距離;,可得點(diǎn)是以為直徑的球面上的點(diǎn),所以到直線的距離為以為直徑的球面上的點(diǎn)到的距離,最大距離為分別過和的兩個(gè)平行平面間距離加半徑,即可求出結(jié)論.【詳解】邊長(zhǎng)為,則中線長(zhǎng)為,點(diǎn)到平面的距離為,點(diǎn)是以為直徑的球面上的點(diǎn),所以到直線的距離為以為直徑的球面上的點(diǎn)到的距離,最大距離為分別過和的兩個(gè)平行平面間距離加半徑.又三棱錐的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為4,以下求過和的兩個(gè)平行平面間距離,分別取中點(diǎn),連,則,同理,分別過做,直線確定平面,直線確定平面,則,同理,為所求,,,所以到直線最大距離為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查空間中的距離、正四面體的結(jié)構(gòu)特征,考查空間想象能力,屬于較難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析,是,,,,;(2)【解析】

(1)根據(jù)是球的直徑,則,又平面,得到,再由線面垂直的判定定理得到平面,,進(jìn)而得到,再利用線面垂直的判定定理得到平面.(2)以A為原點(diǎn),,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè),由,解得,得到,從而得到,然后求得平面的一個(gè)法向量,代入公式求解.【詳解】(1)因?yàn)槭乔虻闹睆?,則,又平面,∴,.∴平面,∴,∴平面.根據(jù)證明可知,四面體是鱉臑.它的每個(gè)面的直角分別是,,,.(2)如圖,以A為原點(diǎn),,,所在直線為x,y,z軸建立直角坐標(biāo)系,則,,,,.M為中點(diǎn),從而.所以,設(shè),則.由,得.由得,即.所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由.取,,,得到.記與平面所成角為θ,則.所以直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理和線面角的向量求法,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2)【解析】

(1)設(shè),,由已知,得,代入中即可;(2)利用拋物線的定義將轉(zhuǎn)化為,再利用韋達(dá)定理計(jì)算.【詳解】(1)在拋物線上,∴,設(shè),,由題可知,,∴,∴,∴,∴,∴(2)由(1)問可設(shè)::,則,,,∴,∴,即(*),將直線與拋物線聯(lián)立,可得:,所以,代入(*)式,可得滿足,∴:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,在處理直線與拋物線位置關(guān)系的問題時(shí),通常要涉及韋達(dá)定理來求解,本題查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.19、(1)證明見解析,;(2).【解析】

(1)將等式變形為,進(jìn)而可證明出是等差數(shù)列,確定數(shù)列的首項(xiàng)和公差,可求得的表達(dá)式,進(jìn)而可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)利用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,即,所以?shù)列是等差數(shù)列,且公差,其首項(xiàng)所以,解得;(2),①,②①②,得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式證明等差數(shù)列,同時(shí)也考查了錯(cuò)位相減法求和,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)見解析【解析】

(1)由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|,判斷動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W是橢圓,寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算和點(diǎn)A在拋物線上求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),再表示出點(diǎn)N和Q的坐標(biāo),根據(jù)題意求出的值,即可判斷結(jié)果是否成立.【詳解】(1)由題知,,所以,因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓,又知,,所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又由題知,所以,所以,又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,所以,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè),,由題知,所以,即,所以,又因?yàn)椋?,所以,所以為定值,且定值?.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題,考查拋物線的幾何性質(zhì)及點(diǎn)在曲線上的代換,也考查了推理與運(yùn)算能力,是中檔題.21、(1)有的把握認(rèn)為是否戴口罩出行的行為與年齡有關(guān).(2)【解析】

(1)根據(jù)列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式計(jì)算出觀測(cè)值,從而由參考數(shù)據(jù)作出判斷

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