浙江省教育考試院2025屆高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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浙江省教育考試院2025屆高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C. D.2.展開(kāi)式中x2的系數(shù)為()A.-1280 B.4864 C.-4864 D.12803.已知x,y滿(mǎn)足不等式組,則點(diǎn)所在區(qū)域的面積是()A.1 B.2 C. D.4.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式組,則的最大值為()A. B. C.3 D.25.已知雙曲線(xiàn)滿(mǎn)足以下條件:①雙曲線(xiàn)E的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F重合;②雙曲線(xiàn)E與過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q,且該冪函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).則雙曲線(xiàn)的離心率是()A. B. C. D.6.若函數(shù)f(x)=x3+x2-在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)7.如圖,四邊形為平行四邊形,為中點(diǎn),為的三等分點(diǎn)(靠近)若,則的值為()A. B. C. D.8.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.59.以下三個(gè)命題:①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線(xiàn)上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣的抽樣是分層抽樣;②若兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;③對(duì)分類(lèi)變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō),越小,判斷“與有關(guān)系”的把握越大;其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.010.祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是說(shuō):兩個(gè)同高的幾何體,如在等高處的截面積恒相等,則體積相等.設(shè)、為兩個(gè)同高的幾何體,、的體積不相等,、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知,是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)12.閱讀如圖的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某校共有師生1600人,其中教師有1000人,現(xiàn)用分層抽樣的方法,從所有師生中抽取一個(gè)容量為80的樣本,則抽取學(xué)生的人數(shù)為_(kāi)____.14.假設(shè)10公里長(zhǎng)跑,甲跑出優(yōu)秀的概率為,乙跑出優(yōu)秀的概率為,丙跑出優(yōu)秀的概率為,則甲、乙、丙三人同時(shí)參加10公里長(zhǎng)跑,剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為_(kāi)_______.15.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線(xiàn)(,)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,過(guò)F作x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)P,Q.若為直角三角形,則該雙曲線(xiàn)的離心率是______.16.滿(mǎn)足約束條件的目標(biāo)函數(shù)的最小值是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來(lái),電子購(gòu)物平臺(tái)成為人們的熱門(mén)選擇.為提高市場(chǎng)銷(xiāo)售業(yè)績(jī),某公司設(shè)計(jì)了一套產(chǎn)品促銷(xiāo)方案,并在某地區(qū)部分營(yíng)銷(xiāo)網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).運(yùn)作一年后,對(duì)“采用促銷(xiāo)”和“沒(méi)有采用促銷(xiāo)”的營(yíng)銷(xiāo)網(wǎng)點(diǎn)各選取了50個(gè),對(duì)比上一年度的銷(xiāo)售情況,分別統(tǒng)計(jì)了它們的年銷(xiāo)售總額,并按年銷(xiāo)售總額增長(zhǎng)的百分點(diǎn)分成5組:,分別統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖,并規(guī)定年銷(xiāo)售總額增長(zhǎng)10個(gè)百分點(diǎn)及以上的營(yíng)銷(xiāo)網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.(1)請(qǐng)你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷(xiāo)活動(dòng)有關(guān)”;采用促銷(xiāo)沒(méi)有采用促銷(xiāo)合計(jì)精英店非精英店合計(jì)5050100(2)某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤(rùn),通過(guò)分析上一年度的售價(jià)(單位:元)和日銷(xiāo)量(單位:件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表,表中的:①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算的值;②已知該公司成本為10元/件,促銷(xiāo)費(fèi)用平均5元/件,根據(jù)所求出的回歸模型,分析售價(jià)定為多少時(shí)日利潤(rùn)可以達(dá)到最大.附①:附②:對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù),其回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.18.(12分)已知關(guān)于的不等式解集為().(1)求正數(shù)的值;(2)設(shè),且,求證:.19.(12分)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,(Ⅰ)求的大小;(Ⅱ)若,求面積的最大值.20.(12分)已知點(diǎn)和橢圓.直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),.(1)當(dāng)時(shí),求的面積;(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求的值.21.(12分)曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn),的交點(diǎn)分別為、(、異于原點(diǎn)),當(dāng)斜率時(shí),求的最小值.22.(10分)函數(shù)(1)證明:;(2)若存在,且,使得成立,求取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

首先求得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意知復(fù)數(shù),則,所以A選項(xiàng)不正確;復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,所以B選項(xiàng)不正確;,所以C選項(xiàng)不正確;,所以D選項(xiàng)正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想.2、A【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的公式得到具體為:化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式的展開(kāi)式得到可以第一個(gè)括號(hào)里出項(xiàng),第二個(gè)括號(hào)里出項(xiàng),或者第一個(gè)括號(hào)里出,第二個(gè)括號(hào)里出,具體為:化簡(jiǎn)得到-1280x2故得到答案為:A.【點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略:(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫(xiě)出第項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開(kāi)式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫(xiě)出第項(xiàng),由特定項(xiàng)得出值,最后求出其參數(shù).3、C【解析】

畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域,計(jì)算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖:直線(xiàn)的斜率為,直線(xiàn)的斜率為,所以?xún)芍本€(xiàn)垂直,故為直角三角形,易得,,,,所以陰影部分面積.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算能力,屬于??碱}.4、C【解析】

作出可行域,直線(xiàn)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線(xiàn),平移該直線(xiàn)可得最優(yōu)解.【詳解】作出可行域,如圖由射線(xiàn),線(xiàn)段,射線(xiàn)圍成的陰影部分(含邊界),作直線(xiàn),平移直線(xiàn),當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值1.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題,解題關(guān)鍵是作出可行域,本題要注意可行域不是一個(gè)封閉圖形.5、B【解析】

由已知可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為,可求得冪函數(shù)為,設(shè)出切點(diǎn)通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】依題意可得,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn);,,所以,,設(shè),則,解得,∴,可得,又,,可解得,故雙曲線(xiàn)的離心率是.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的性質(zhì),已知拋物線(xiàn)方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),求冪函數(shù)解析式,直線(xiàn)的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,難度一般.6、C【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖,得到a滿(mǎn)足的不等式組,從而得解.【詳解】由題意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函數(shù),在(-2,0)上是減函數(shù),作出其圖象如圖所示.令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,則結(jié)合圖象可知,解得a∈[-3,0),故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而研究函數(shù)的最值,屬于??碱}型.7、D【解析】

使用不同方法用表示出,結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出.【詳解】解:,又解得,所以故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的基本定理及其意義,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長(zhǎng)方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.9、C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征,可判斷①;根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),可判斷②;根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法和步驟,可判斷③.【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同,且樣本間無(wú)明顯差異,故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣,即①為假命題;②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越弱,則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于0;故②為真命題;③對(duì)分類(lèi)變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō),越小,“與有關(guān)系”的把握程度越小,故③為假命題.故選:.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性,可得答案.【詳解】解:由題意,若、的體積不相等,則、在等高處的截面積不恒相等,充分性成立;反之,、在等高處的截面積不恒相等,但、的體積可能相等,例如是一個(gè)正放的正四面體,一個(gè)倒放的正四面體,必要性不成立,所以是的充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.11、C【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,進(jìn)而可知在R上為增函數(shù),轉(zhuǎn)化條件得,解一元二次不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù),所以,即,解得,即,易知在R上為增函數(shù).又,所以,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用,考查了一元二次不等式的解法,屬于中檔題.12、C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖,計(jì)算前幾次的運(yùn)算規(guī)律,得出運(yùn)算的周期性,確定跳出循環(huán)時(shí)的n的值,進(jìn)而求解的值,得到答案.【詳解】由題意,,第1次循環(huán),,滿(mǎn)足判斷條件;第2次循環(huán),,滿(mǎn)足判斷條件;第3次循環(huán),,滿(mǎn)足判斷條件;可得的值滿(mǎn)足以3項(xiàng)為周期的計(jì)算規(guī)律,所以當(dāng)時(shí),跳出循環(huán),此時(shí)和時(shí)的值對(duì)應(yīng)的相同,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出問(wèn)題,其中解答中認(rèn)真審題,得出程序運(yùn)行時(shí)的計(jì)算規(guī)律是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.【詳解】分層抽樣的抽取比例為,∴抽取學(xué)生的人數(shù)為6001.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的計(jì)算,屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

分跑出優(yōu)秀的人為:甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計(jì)算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況:其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類(lèi)方法求解事件概率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

根據(jù)是等腰直角三角形,且為中點(diǎn)可得,再由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得,解出即得.【詳解】由題,設(shè)點(diǎn),由,解得,即線(xiàn)段,為直角三角形,,且,又為雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn),且軸,,可得,,整理得:,即,又,.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì),是??碱}型.16、-2【解析】

可行域是如圖的菱形ABCD,代入計(jì)算,知為最小.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有把握;(2)①;②元時(shí)【解析】

(1)直接由題意列出列聯(lián)表,通過(guò)計(jì)算,可判斷精英店與采用促銷(xiāo)活動(dòng)是否有關(guān).(2)①代入表中數(shù)據(jù),結(jié)合公式求出;②由①中所得的線(xiàn)性回歸方程,若售價(jià)為,單價(jià)利潤(rùn)為,日銷(xiāo)售量為,進(jìn)而可求出日利潤(rùn),結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求最值.【詳解】解:(1)由題意知,采用促銷(xiāo)中精英店的數(shù)量為,采用促銷(xiāo)中非精英店的數(shù)量為;沒(méi)有采用促銷(xiāo)中精英店的數(shù)量為,沒(méi)有采用促銷(xiāo)中非精英店的數(shù)量為,列聯(lián)表為采用促銷(xiāo)沒(méi)有采用促銷(xiāo)合計(jì)精英店352055非精英店153045合計(jì)5050100因?yàn)橛械陌盐照J(rèn)為“精英店與采用促銷(xiāo)活動(dòng)有關(guān)”.(2)①由公式可得:所以回歸方程為②若售價(jià)為,單件利潤(rùn)為,日銷(xiāo)售為,故日利潤(rùn),解得.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.故當(dāng)售價(jià)元時(shí),日利潤(rùn)達(dá)到最大為元.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn),考查了線(xiàn)性回歸方程的求法,考查了函數(shù)最值的求解.在求函數(shù)的最值時(shí),常用的方法有:函數(shù)圖像法、結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析最值、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法.其中最常用的還是導(dǎo)數(shù)法.18、(1)1;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)將不等式化為,求解得出,根據(jù)解集確定正數(shù)的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性質(zhì),得出,,,三式相加,即可得證.【詳解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依題意得(2)證明:由(1)知,原不等式可化為∵,∴,同理,三式相加得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)綜上.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求絕對(duì)值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】

分析:(1)利用正弦定理以及誘導(dǎo)公式與和角公式,結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值,求得角C;(2)運(yùn)用向量的平方就是向量模的平方,以及向量數(shù)量積的定義,結(jié)合基本不等式,求得的最大值,再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求的值.詳解:(1)∵,,(Ⅱ)取中點(diǎn),則,在中,,(注:也可將兩邊平方)即,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).此時(shí),其最大值為.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)三角形的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理,誘導(dǎo)公式,和角公式,向量的平方即為向量模的平方,基本不等式,三角形的面積公式,在解題的過(guò)程中,需要正確使用相關(guān)的公式進(jìn)行運(yùn)算即可求得結(jié)果.20、(1);(2)或【解析】

(1)聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程,求得交點(diǎn)的橫坐標(biāo),由此求得三角形的面積.(2)法一:根據(jù)的坐標(biāo)求得的坐標(biāo),將的坐標(biāo)都代入橢圓方程,化簡(jiǎn)后求得的坐標(biāo),進(jìn)而求得的值.法二:設(shè)出直線(xiàn)的方程,聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓的方程,化簡(jiǎn)后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系,結(jié)合求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得的值.【詳解】(1)設(shè),,若,則直線(xiàn)的方程為,由,得,解得,,設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),則且.(2)法一:設(shè)點(diǎn)因?yàn)?,,所以又點(diǎn),都在橢圓上,所以解得或所以或.法二:設(shè)顯然直線(xiàn)有斜率,設(shè)直線(xiàn)的方程為由,得所以又解得或所以或所以或.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓中三角形面積的求法,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.21、(1)的極坐標(biāo)方程為;曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程.(2)【解析】

(1)消去參數(shù),可得曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程,再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)

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