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2025屆內(nèi)蒙古錫林郭勒市高考數(shù)學(xué)五模試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,,則()A. B.C. D.2.直線x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.3.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的體積為()A. B.C. D.5.已知雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線上一點(diǎn),為雙曲線C漸近線上一點(diǎn),,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問(wèn)題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問(wèn)水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?,露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問(wèn)水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為()A. B. C. D.7.已知,則下列不等式正確的是()A. B.C. D.8.在我國(guó)傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個(gè)物質(zhì)類別,在五者之間,有一種“相生”的關(guān)系,具體是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個(gè),這二者具有相生關(guān)系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.89.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示,則可能是()A.B.C.D.10.拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.211.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.2512.已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)是直線:上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn).已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)__________.14.函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________.15.對(duì)任意正整數(shù),函數(shù),若,則的取值范圍是_________;若不等式恒成立,則的最大值為_(kāi)________.16.過(guò)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),為的焦點(diǎn)若的面積等于的面積的2倍,則的值為_(kāi)__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)證明::(2)求直線與平面所成角的正弦值;(3)若為棱上一點(diǎn),滿足,求二面角的余弦值.18.(12分)某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查,該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生,調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是同意父母生“二孩”還是反對(duì)父母生“二孩”,現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,統(tǒng)計(jì)情況如下表:同意不同意合計(jì)男生a5女生40d合計(jì)100(1)求a,d的值,根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)在從所有學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣的方法抽取4位學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤調(diào)查,記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519.(12分)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別是,,離心率為,左、右頂點(diǎn)分別為,.過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、(不與點(diǎn)、重合),直線與直線相交于點(diǎn),求證:、、三點(diǎn)共線.20.(12分)已知函數(shù),設(shè)為的導(dǎo)數(shù),.(1)求,;(2)猜想的表達(dá)式,并證明你的結(jié)論.21.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對(duì)邊,且.(1)證明:;(2)若的面積,,求角.22.(10分)金秋九月,丹桂飄香,某高校迎來(lái)了一大批優(yōu)秀的學(xué)生.新生接待其實(shí)也是和社會(huì)溝通的一個(gè)平臺(tái).校團(tuán)委、學(xué)生會(huì)從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取了160名學(xué)生,對(duì)是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根據(jù)上表說(shuō)明,能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取10人.若從這10人中隨機(jī)選取3人到火車站迎接新生,設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為,寫(xiě)出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.828

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡(jiǎn)可得,即可求得結(jié)果.【詳解】,所以,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡(jiǎn)三角函數(shù),難度較易.2、A【解析】

由直線x-3y+3=0過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,得到左焦點(diǎn)為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,令所以c=3,即橢圓的左焦點(diǎn)為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因?yàn)镕C=2CA,所以FA=3又由點(diǎn)A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,即可得3、B【解析】

復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,可得關(guān)于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體,分別求解兩個(gè)部分的體積,加和得到結(jié)果.【詳解】由三視圖還原可知,原幾何體下半部分為半個(gè)圓柱,上半部分為一個(gè)四棱錐半個(gè)圓柱體積為:四棱錐體積為:原幾何體體積為:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問(wèn)題,關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體,從而分別求解各部分的體積.5、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為,為雙曲線上的一點(diǎn),為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn),且都位于第一象限,且,可知為的三等分點(diǎn),且,點(diǎn)在直線上,并且,則,,設(shè),則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).6、C【解析】

由題意知:,,設(shè),則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設(shè),則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水下的概率為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的長(zhǎng)度型,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

利用特殊值代入法,作差法,排除不符合條件的選項(xiàng),得到符合條件的選項(xiàng).【詳解】已知,賦值法討論的情況:(1)當(dāng)時(shí),令,,則,,排除B、C選項(xiàng);(2)當(dāng)時(shí),令,,則,排除A選項(xiàng).故選:D.【點(diǎn)睛】比較大小通常采用作差法,本題主要考查不等式與不等關(guān)系,不等式的基本性質(zhì),利用特殊值代入法,排除不符合條件的選項(xiàng),得到符合條件的選項(xiàng),是一種簡(jiǎn)單有效的方法,屬于中等題.8、B【解析】

利用列舉法,結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個(gè),所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共種,其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土,共種,所以所求的概率為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;【詳解】解:當(dāng)時(shí),,無(wú)意義,故排除A;又,則,故排除D;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,所以不單調(diào),故排除C;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式,這類問(wèn)題利用特殊值與排除法是最佳選擇,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點(diǎn),由三角形的面積公式,計(jì)算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運(yùn)用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

通過(guò)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當(dāng)時(shí),,于是有,則.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)和系數(shù)問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12、B【解析】

選B.考點(diǎn):圓心坐標(biāo)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

依題意畫(huà)圖,設(shè),根據(jù)圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角,可得,通過(guò)勾股定理得,再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出,進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解:依題意畫(huà)圖,設(shè)以為直徑的圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為,且,又因?yàn)闉閳A的直徑,則所對(duì)的圓周角,則,則為點(diǎn)到直線:的距離.所以,則.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線:上,設(shè),則.解得,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,考查了兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,是基礎(chǔ)題.14、【解析】

求導(dǎo),研究函數(shù)單調(diào)性,分析,即得解【詳解】由題意得,,令,解得,令,解得.在上遞減,在遞增.,而,故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題15、【解析】

將代入求解即可;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),由單調(diào)性求得的最小值;同理,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,則轉(zhuǎn)化為,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,進(jìn)而比較得到的最大值.【詳解】由題,,解得.當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,由,得,而函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,由,得,設(shè),,單調(diào)遞增,,所以,綜上可知,若不等式恒成立,則的最大值為.故答案為:(1);(2)【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.16、2【解析】

聯(lián)立直線與拋物線的方程,根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及面積關(guān)系求解即可.【詳解】如圖,設(shè),由,則,由可得,由,則,所以,得.故答案為:2【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的性質(zhì),屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【解析】

(1)根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并表示出,由空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可證明.(2)先求得平面的法向量,即可求得直線與平面法向量夾角的余弦值,即為直線與平面所成角的正弦值;(3)由點(diǎn)在棱上,設(shè),再由,結(jié)合,由空間向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求得的值.即可表示出.求得平面和平面的法向量,由空間向量數(shù)量積的運(yùn)算求得兩個(gè)平面夾角的余弦值,再根據(jù)二面角的平面角為銳角即可確定二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵底面,,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,∵,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn).∴,,,,,,.(2),設(shè)平面的法向量為.則,代入可得,令解得,即,設(shè)直線與平面所成角為,由直線與平面夾角可知所以直線與平面所成角的正弦值為.(3),由點(diǎn)在棱上,設(shè),故,由,得,解得,即,設(shè)平面的法向量為,由,得,令,則取平面的法向量,則二面角的平面角滿足,由圖可知,二面角為銳二面角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的綜合應(yīng)用,由空間向量證明線線垂直,求直線與平面夾角及平面與平面形成的二面角大小,計(jì)算量較大,屬于中檔題.18、(1),有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān);(2)詳見(jiàn)解析.【解析】

(1)根據(jù)表格及同意父母生“二孩”占60%可求出,,根據(jù)公式計(jì)算結(jié)果即可確定有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)(2)由題意可知X服從二項(xiàng)分布,利用公式計(jì)算概率及期望即可.【詳解】(1)因?yàn)?00人中同意父母生“二孩”占60%,所以,文(2)由列聯(lián)表可得而所以有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關(guān)(2)①由題知持“同意”態(tài)度的學(xué)生的頻率為,即從學(xué)生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學(xué)生的概率為.由于總體容量很大,故X服從二項(xiàng)分布,即從而X的分布列為X01234X的數(shù)學(xué)期望為【點(diǎn)睛】本題主要考查了相關(guān)性檢驗(yàn)、二項(xiàng)分布,屬于中檔題.19、(1);(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)根據(jù)已知可得,結(jié)合離心率和關(guān)系,即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)斜率不為零,設(shè)的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,消去,得到縱坐標(biāo)關(guān)系,求出方程,令求出坐標(biāo),要證、、三點(diǎn)共線,只需證,將分子用縱坐標(biāo)表示,即可證明結(jié)論.【詳解】(1)由于,將代入橢圓方程,得,由題意知,即.又,所以,.所以橢圓的方程為.(2)解法一:依題意直線斜率不為0,設(shè)的方程為,聯(lián)立方程,消去得,由題意,得恒成立,設(shè),,所以,直線的方程為.令,得.又因?yàn)?,,則直線,的斜率分別為,,所以.上式中的分子,.所以,,三點(diǎn)共線.解法二:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由題意,得的方程為,代入橢圓的方程,得,,直線的方程為.則,,,所以,即,,三點(diǎn)共線.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)的方程為,,,聯(lián)立方程消去,得.由題意,得恒成立,故,.直線的方程為.令,得.又因?yàn)?,,則直線,的斜率分別為,,所以.上式中的分子所以.所以,,三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系,要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系,設(shè)而不求方法解決相交弦問(wèn)題,考查計(jì)算求解能力,屬于中檔題.20、,;,證明見(jiàn)解析【解析】

對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式,對(duì)函數(shù)再進(jìn)行求導(dǎo)并通過(guò)三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得的表達(dá)式;根據(jù)中,的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.【詳解】(1),

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