陜西省寶雞市2025屆高三上學期聯(lián)考數(shù)學試題【含答案解析】

2025屆高三聯(lián)考數(shù)學試卷全卷滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷（選擇題，共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題僅有一個選項正確.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求出B，根據(jù)集合的交集運算，即可得答案.詳解】集合，,故，故選；C2.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的除法化簡復數(shù)，利用復數(shù)的概念可得結果.【詳解】因為復數(shù)滿足，則，因此，復數(shù)的虛部為.故選：A.3.已知向量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直、充分和必要條件等知識確定正確答案.【詳解】.而，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.圓的圓心到直線的距離為1，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】把圓的方程化為標準方程求得圓心坐標，進而由已知可得，求解即可.【詳解】由配方得，所以圓心為，因為圓的圓心到直線的距離為1，所以，解得故選：A.5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，，利用兩角和的正弦、兩角差的余弦公式化簡等式，然后在所求等式兩邊同時除以，結合已知條件可求得的值.【詳解】因為，則，，因為，則①，等式①的兩邊同時除以可得，解得，故選：D.6.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且.設，則數(shù)列的前項和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設等比數(shù)列的公比為，則，根據(jù)已知條件求出、的值，可得出的通項公式，再利用裂項相消法可求得.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，所以，因為，可得，所以，所以，所以，，即數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，因此.故選：B.7.已知雙曲線的右焦點為，過點的直線交雙曲線于、兩點.若的中點坐標為，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設、，由，利用點差法求解.【詳解】解：設、，若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，因為線段的中點坐標為，則，則，兩式相減得，則，因為，所以，，所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.故選：D.8.某農(nóng)村合作社引進先進技術提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術，以此達到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.3937萬元 B.3837萬元 C.3737萬元 D.3637萬元【答案】A【解析】【分析】設該公司在2024年，2025年，...，2033年的銷售額（單位：萬元）分別為，進而可得，根據(jù)配湊法、分組求和法求得正確答案.【詳解】設該公司在2024年，2025年，...，2033年的銷售額（單位：萬元）分別為.依題意可得，則，所以數(shù)列是首項為90，公比為1.3的等比數(shù)列，則，即，則，故從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為3937萬元.故選：A.【點睛】方法點睛：對于遞推公式為，常常通過構造等比數(shù)列的方法求得通項公式.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則.C.若，則D.若，則.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間直線和平面平行、垂直的判定與性質分別進行判斷即可．【詳解】對于A：因為，可知在平面內(nèi)存在直線，使得，如圖所示，又因為，且，則，所以，因此A正確；對于B：如圖所示：，但，故B錯誤；對于C：若，則由線面垂直的判定定理得，故C正確.對于D：，如圖所示，，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.6個零點之和是6【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的圖象變換，得到函數(shù)y=fx的圖象關于直線對稱，令，得到關于的方程，結合二次函數(shù)的圖象與性質，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象，經(jīng)過軸翻折變換，可得函數(shù)的圖象，再向右平移1個單位，可得的圖象，最終經(jīng)過軸翻折變換，可得的圖象，如圖所示，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，令，因為函數(shù)最小的零點為，且，故當時，方程gx=0有4所以要使函數(shù)有6個不同的零點，且最小的零點為，則或，由，可得或，設的四個根從小到大依次為，由函數(shù)y=fx的圖象關于直線對稱，可得，所以的所有零點之和是6，故D正確；關于的方程的兩個實數(shù)根為和，由韋達定理，得，所以B正確，A，C錯誤.故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.當時，在上單調(diào)遞增B.若，且，則函數(shù)的最小正周期為C.若的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關于軸對稱，則的最小值為3D.若在上恰有4個零點，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，由復合函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對于B，直接可得，由此即可判斷；對于C，由題意得結合的范圍即可判斷；對于D，根據(jù)，，得到，進一步列出不等式組即可求解.【詳解】對于A，當時，若，則，由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增；故A正確；對于B，若，且，則當且僅當，故B正確；對于C，若的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象所對應的函數(shù)表達式為：，若的圖象關于軸對稱，則，注意到，所以當且僅當時，的最小值為4，故C錯誤；對于D，，，得到，若在上恰有4個零點，則當且僅當，解得，即的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：正弦型函數(shù)的零點問題，關鍵在于利用的范圍求得，進而結合正弦函數(shù)的圖象特征求得的取值范圍.第II卷（非選擇題，共92分）三?填空題：本題共3個小題，每小題5分，共15分.12.過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長為__________.【答案】【解析】【分析】由題意求出直線方程、圓的標準方程、圓心坐標和半徑，再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，利用勾股定理即得解【詳解】設弦長為，過原點且傾斜角為60°的直線方程為整理圓的方程為：，圓心為，半徑圓心到直線的距離為：則：故答案為：13.已知數(shù)列前項和為，且，若存在兩項使得，當時，則最小值是__________.【答案】4【解析】【分析】先根據(jù)可得數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，即可得到，結合可得，再結合基本不等式求解即可.【詳解】由，得，兩式相減得，而，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，即，因為，則，即，因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以最小值是，故答案為：.14.已知曲線在點處的切線與曲線相切，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得曲線在點處的切線方程，再次利用導數(shù)的幾何意義求得的切點，從而得解.【詳解】因為的導數(shù)為，則，所以曲線在處的切線方程為，即，又切線與曲線相切，設切點為，因為，所以切線斜率為，解得，所以，則，解得.故答案為；.四?解答題：本題共5小題，第15題13分，第16?17小題15分，第18?19小題17分，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，已知的半徑是1，點在直徑的延長線上，，點是上半圓上的動點，以為邊作等邊三角形，且點與圓心分別在的兩側.（1）若，試將四邊形的面積表示成的函數(shù).（2）求四邊形的面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用余弦定理求出，再利用分割的方法求四邊形的面積表達式.（2）利用三角函數(shù)的圖象和性質求函數(shù)的最大值.【小問1詳解】由已知：，在中，，由余弦定理知：，所以，，，即；【小問2詳解】由（1）知，則，所以，即四邊形的面積的最大值為.16.統(tǒng)計顯示，我國在線直播生活購物用戶規(guī)模近幾年保持高速增長態(tài)勢，下表為年—年我國在線直播生活購物用戶規(guī)模（單位：億人），其中年—年對應的代碼依次為—.年份代碼市場規(guī)模，，，其中參考公式：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.（1）由上表數(shù)據(jù)可知，若用函數(shù)模型擬合與的關系，請估計年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模（結果精確到）；（2）已知我國在線直播生活購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率，現(xiàn)從我國在線直播購物用戶中隨機抽取人，記這人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為，若，求的數(shù)學期望和方差.【答案】（1）億人（2），【解析】【分析】（1）將題中數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求出的值，即可得出與的擬合函數(shù)關系式，再將代入函數(shù)關系式，即可得出結論；（2）由題意可知，，由結合獨立重復試驗的概率公式可求得的值，然后利用二項分布的期望和方差公式可求得結果.【小問1詳解】設，則，因為，，，所以，，所以，與的擬合函數(shù)關系式為當時，，則估計年我國在線直播生活購物用戶的規(guī)模為億人.【小問2詳解】由題意知，所以，，，由，可得，因為，解得，所以，，.17.如圖，在正四棱柱中，.點分別在棱上，.（1）證明：；（2）是在棱上否存在點，使得二面角為，若存在，求出點位置，若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，或【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量坐標相等證明；（2）假設在棱上存在點，使得二面角為，利用向量法求二面角，建立方程求解即可得結論.【小問1詳解】以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，又不在同一條直線上，.【小問2詳解】假設在棱上存在點，使得二面角為，則，設平面的法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，，化簡可得，，解得或，或，所以在棱上存在點，使得二面角為，點是線段靠近兩端點的兩個四等分點.18.已知拋物線的準線與橢圓相交所得線段長為.（1）求拋物線的方程；（2）設圓過，且圓心在拋物線上，是圓在軸上截得的弦.當在拋物線上運動時，弦的長是否有定值？說明理由；（3）過作互相垂直的兩條直線交拋物線于、、、，求四邊形的面積最小值.【答案】（1）（2）有，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）求出拋物線準線與橢圓相交一個交點為，將該點的坐標代入橢圓方程，求出的值，即可得出拋物線的方程；（2）設在拋物線上，可知到軸距離為，可知，利用兩點間的距離公式結合勾股定理可求得的值；（3）分析可知，過點且相互垂直，且與拋物線都有交點的兩條直線的斜率都存在且不為零，設這兩條直線的方程分別為、，其中，設直線交拋物線于點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用拋物線的焦點弦長公式可求得，進而可得出，再利用四邊形的面積公式結合基本不等式可求得四邊形面積的最小值.【小問1詳解】解：由已知，拋物線的準線與橢圓相交線段的一個端點坐標是，把代入橢圓方程化簡得，解得.所以拋物線的方程為.【小問2詳解】解：假設在拋物線上運動時弦的長為定值，理由如下：設在拋物線上，可知到軸距離為，根據(jù)圓的弦長公式可知：，由已知，，所以，則在拋物線上運動時弦的長的定值為.【小問3詳解】解：若過點且相互垂直的兩條直線分別與兩條坐標軸垂直，則其中與軸重合的直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設過的的兩條直線的方程分別為、，其中，設直線交拋物線于點、，由得，，由韋達定理可得，則，同理可得，所以，四邊形的面積，當且僅當時，即當時，等號成立，即四邊形的面積的最小值為.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19.已知函數(shù)．（1）當時，則過點的曲線的切線有幾條?并寫出其中一條切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有唯一零點，求實數(shù)a取值范圍．【答案】（1）有3條切線，（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義，設出切點得出切線斜率，列方程組分析解得個數(shù)即可；（2）求出導函數(shù)，對分類討論即可得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結合當時，，利用極大值建立不等式求解.【小問1詳解】當時，，，設切點為，因為切線過點0,2，所以切線斜率存在，故可設切線方程為，則，化簡可得，即，由的判別式知方程有2個不等實根且不為1，故有3個不等的實根，所以切線有3條，其中一條切點橫坐標為1，故，所以切線方程為.【小問2詳解】，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，所以或時，f′x>0，單調(diào)遞增，當時，f′x<0，當時，，所以或