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寧夏銀川市寧夏大學(xué)附中2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.2.已知函數(shù),若不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.3.一個(gè)正三棱柱的正(主)視圖如圖,則該正三棱柱的側(cè)面積是()A.16 B.12 C.8 D.64.設(shè)變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值是()A.7 B.5 C.3 D.25.設(shè)集合,,若,則()A. B. C. D.6.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值是A. B. C.1 D.47.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.?dāng)?shù)列滿足:,則數(shù)列前項(xiàng)的和為A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),函數(shù)滿足,且時(shí),,則()A.2 B. C.1 D.11.天干地支,簡(jiǎn)稱為干支,源自中國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)代對(duì)天象的觀測(cè).“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復(fù),60年為一個(gè)輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個(gè)年份中任取2個(gè)年份,則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率為()A. B. C. D.12.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的結(jié)果為()A. B.6 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,其中,.且,則集合中所有元素的和為_(kāi)________.14.已知函數(shù),則函數(shù)的極大值為_(kāi)__________.15.袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為_(kāi)_________.16.的展開(kāi)式中含的系數(shù)為_(kāi)_________.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)我國(guó)在2018年社保又出新的好消息,之前流動(dòng)就業(yè)人員跨地區(qū)就業(yè)后,社保轉(zhuǎn)移接續(xù)的手續(xù)往往比較繁瑣,費(fèi)時(shí)費(fèi)力.社保改革后將簡(jiǎn)化手續(xù),深得流動(dòng)就業(yè)人員的贊譽(yù).某市社保局從2018年辦理社保的人員中抽取300人,得到其辦理手續(xù)所需時(shí)間(天)與人數(shù)的頻數(shù)分布表:時(shí)間人數(shù)156090754515(1)若300名辦理社保的人員中流動(dòng)人員210人,非流動(dòng)人員90人,若辦理時(shí)間超過(guò)4天的人員里非流動(dòng)人員有60人,請(qǐng)完成辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員”有關(guān).列聯(lián)表如下流動(dòng)人員非流動(dòng)人員總計(jì)辦理社保手續(xù)所需時(shí)間不超過(guò)4天辦理社保手續(xù)所需時(shí)間超過(guò)4天60總計(jì)21090300(2)為了改進(jìn)工作作風(fēng),提高效率,從抽取的300人中辦理時(shí)間為流動(dòng)人員中利用分層抽樣,抽取12名流動(dòng)人員召開(kāi)座談會(huì),其中3人要求交書(shū)面材料,3人中辦理的時(shí)間為的人數(shù)為,求出分布列及期望值.附:0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87918.(12分)如圖,點(diǎn)為圓:上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作軸,軸的垂線,垂足分別為,,連接延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,點(diǎn)的軌跡記為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點(diǎn),分別位于軸與軸的正半軸上,直線與曲線相交于,兩點(diǎn),且,試問(wèn)在曲線上是否存在點(diǎn),使得四邊形為平行四邊形,若存在,求出直線方程;若不存在,說(shuō)明理由.19.(12分)已知函數(shù)(I)當(dāng)時(shí),解不等式.(II)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍20.(12分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程;(2)已知點(diǎn),直線與曲線交于、兩點(diǎn),求.21.(12分)如圖,已知在三棱臺(tái)中,,,.(1)求證:;(2)過(guò)的平面分別交,于點(diǎn),,且分割三棱臺(tái)所得兩部分幾何體的體積比為,幾何體為棱柱,求的長(zhǎng).提示:臺(tái)體的體積公式(,分別為棱臺(tái)的上、下底面面積,為棱臺(tái)的高).22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;(2)的角的對(duì)邊分別為且,,求邊上的高的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
求導(dǎo),先求出在單增,在單減,且知設(shè),則方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,解得,,故當(dāng)時(shí),,當(dāng),,且,故方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,故,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù).其方法:(1)構(gòu)造法:構(gòu)造函數(shù)(易求,可解),轉(zhuǎn)化為確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值,并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等,畫(huà)出的圖象草圖,數(shù)形結(jié)合求解;(2)定理法:先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào),進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).2、A【解析】
先求出函數(shù)在處的切線方程,在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)和的圖象,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在處的切線方程為:,令,它與橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)和的圖象如下圖的所示:利用數(shù)形結(jié)合思想可知:不等式對(duì)任意的恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式恒成立問(wèn)題,考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.3、B【解析】
根據(jù)正三棱柱的主視圖,以及長(zhǎng)度,可知該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng),然后根據(jù)矩形的面積公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)為2所以該正三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的正方形,所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識(shí),關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長(zhǎng),掌握一些常見(jiàn)的幾何體的三視圖,比如:三棱錐,圓錐,圓柱等,屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】
由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫(huà)出約束條件,表示的可行域,如圖,由可得,將變形為,平移直線,由圖可知當(dāng)直經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最大,最大值為,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中,利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實(shí)線還是虛線);(2)找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)(在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù),最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.5、A【解析】
根據(jù)交集的結(jié)果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,從而可求.【詳解】依題意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交,注意根據(jù)交集的結(jié)果確定集合中含有的元素,本題屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
作出該不等式組表示的平面區(qū)域,如下圖中陰影部分所示,設(shè),則,易知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),z取得最小值,由,解得,所以,所以,故選B.7、D【解析】
將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.8、A【解析】分析:通過(guò)對(duì)an﹣an+1=2anan+1變形可知,進(jìn)而可知,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.詳解:∵,∴,又∵=5,∴,即,∴,∴數(shù)列前項(xiàng)的和為,故選A.點(diǎn)睛:裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一,其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向,突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧:(1);(2);(3);(4);此外,需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題,導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.9、C【解析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的表示,即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),得到答案.詳解:由題意,復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1),位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示,其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.10、D【解析】
說(shuō)明函數(shù)是周期函數(shù),由周期性把自變量的值變小,再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值.【詳解】由知函數(shù)的周期為4,又是奇函數(shù),,又,∴,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).11、B【解析】
利用古典概型概率計(jì)算方法分析出符合題意的基本事件個(gè)數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算即可出求得概率.【詳解】20個(gè)年份中天干相同的有10組(每組2個(gè)),地支相同的年份有8組(每組2個(gè)),從這20個(gè)年份中任取2個(gè)年份,則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算,考查組合數(shù)的計(jì)算,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.12、D【解析】
用列舉法,通過(guò)循環(huán)過(guò)程直接得出與的值,得到時(shí)退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖,可得,,滿足條件,,,滿足條件,,,滿足條件,,,由題意,此時(shí)應(yīng)該不滿足條件,退出循環(huán),輸出S的值為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2889【解析】
先計(jì)算集合中最小的數(shù)為,最大的數(shù),可得,求和即得解.【詳解】當(dāng)時(shí),集合中最小數(shù);當(dāng)時(shí),得到集合中最大的數(shù);故答案為:2889【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列與集合綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.14、【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),通過(guò)賦值,求得,再對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析,求得極大值.【詳解】,故解得,,令,解得函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,故的極大值為故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)極值的求解,難點(diǎn)是要通過(guò)賦值,求出未知量.15、【解析】試題分析:根據(jù)題意,記白球?yàn)锳,紅球?yàn)锽,黃球?yàn)椋瑒t一次取出2只球,基本事件為、、、、、共6種,其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種;所以所求的概率是.考點(diǎn):古典概型概率16、【解析】由題意得,二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,則,所以得系數(shù)為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有;(2)分布列見(jiàn)解析,.【解析】
(1)根據(jù)題意,結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可填寫(xiě)列聯(lián)表,計(jì)算出的觀測(cè)值,即可進(jìn)行判斷;(2)先計(jì)算出時(shí)間在和選取的人數(shù),再求出的可取值,根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式求得分布列,結(jié)合分布列即可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有流動(dòng)人員210人,非流動(dòng)人員90人,所以辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員列聯(lián)表如下:辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員列聯(lián)表流動(dòng)人員非流動(dòng)人員總計(jì)辦理社保手續(xù)所需時(shí)間不超過(guò)4天453075辦理社保手續(xù)所需時(shí)間超過(guò)4天16560225總計(jì)21090300結(jié)合列聯(lián)表可算得.有95%的把握認(rèn)為“辦理社保手續(xù)所需時(shí)間與是否流動(dòng)人員”有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣可知時(shí)間在可選9人,時(shí)間在可以選3名,故,則,,,,可知分布列為0123可知.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)中的計(jì)算,以及離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望,涉及分層抽樣,屬綜合性中檔題.18、(1)(2)不存在;詳見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè),,,通過(guò),即為的中點(diǎn),轉(zhuǎn)化求解,點(diǎn)的軌跡的方程.(2)設(shè)直線的方程為,先根據(jù),可得,①,再根據(jù)韋達(dá)定理,點(diǎn)在橢圓上可得,②,將①代入②可得,該方程無(wú)解,問(wèn)題得以解決【詳解】(1)設(shè),,則,,由題意知,所以為中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,即,又點(diǎn)在圓:上,故滿足,得.曲線的方程.(2)由題意知直線的斜率存在且不為零,設(shè)直線的方程為,因?yàn)椋?,即①,?lián)立,消去得:,設(shè),,,,,因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?,故,點(diǎn)在橢圓上,故,整理得②,將①代入②,得,該方程無(wú)解,故這樣的直線不存在.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法、滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與直線方程的求法,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,是中檔題.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間法,去掉絕對(duì)值解不等式;(2)根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得,因此將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立,借此不等式即可.試題解析:(Ⅰ)由得,,或,或解得:所以原不等式的解集為.(Ⅱ)由不等式的性質(zhì)得:,要使不等式恒成立,則當(dāng)時(shí),不等式恒成立;當(dāng)時(shí),解不等式得.綜上.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20、(1).(2)【解析】
(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式,以及消去參數(shù),即可求解;(2)設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,將直線的參數(shù)方程代入曲線方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,即可求解.【詳解】(1)對(duì)于曲線的極坐標(biāo)方程為,可得,又由,可得,即,所以曲線的普通方程為.由直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),消去參數(shù)可得,即直線的方程為,即.(2)設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,將直線的參數(shù)方程(為參數(shù))代入曲線中,可得.化簡(jiǎn)得:,則.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方
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