湘教版九年級上冊數(shù)學第一次月考試題及答案

湘教版九年級上冊數(shù)學第一次月考試卷一、選擇題。（每小題只有一個正確答案）1．如圖，函數(shù)y1=x3與y2=在同一坐標系中的圖象如圖所示，則當y1＜y2時（）A．﹣1＜x＜l B．0＜x＜1或x＜﹣1C．﹣1＜x＜I且x≠0 D．﹣1＜x＜0或x＞12．方程的左邊配成完全平方后所得方程為（）A．B．C．D．3．若點都是反比例函數(shù)的圖象上的點，并且，則下列各式中正確的是（（）A．B．C．D．4．已知點是反比例函數(shù)圖象上的點，若，則一定成立的是()A． B． C． D．5．關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是（）A．B．C．且D．且6．若方程x2﹣3x﹣4=0的兩根分別為x1和x2，則+的值是（）A．1B．2C．﹣D．﹣7．下列說法正確的是（）A．矩形都是相似圖形B．各角對應相等的兩個五邊形相似C．等邊三角形都是相似三角形D．各邊對應成比例的兩個六邊形相似8．如圖有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（）A． B． C． D．9．如圖，點D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的中點，則四邊形BCED的面積與△ADE的面積的比為A．2:1 B．3:1 C．4:1 D．1:110．如圖，菱形OABC的頂點A的坐標為（3，4），頂點C在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過頂點B，則反比例函數(shù)的表達式為（）A．y= B．y= C．y= D．y=二、填空題11．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次項系數(shù)大于零的一般式是_____．12．如圖，在鈍角三角形中，，，動點從點出發(fā)到點止，動點從點出發(fā)到點止．點運動的速度為秒，點運動的速度為秒．如果兩點同時運動，那么當以點、、為頂點的三角形與相似時，運動的時間是___．13．如果，那么=_____．14．對于任意實數(shù)a、b，定義：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的兩根記為m、n，則m2+n2=_____．15．設a、b是方程x2+x﹣2020=0的兩個實數(shù)根，則（a﹣1）（b﹣1）的值為_____．16．兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在的圖象上，PC⊥x軸于點C，交的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交的圖象于點B，當點P在的圖象上運動時，以下結(jié)論：①△ODB與△OCA的面積相等；②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；③PA與PB始終相等；④當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點．其中一定正確的是__．三、解答題17．如圖，已知△ABC中，AB=20，BC=14，AC=12，△ADE與△ACB相似，∠AED=∠B，DE=5．求AD，AE的長．18．如圖，一次函數(shù)y1=﹣x+5的圖象與反比例函數(shù)y2=（k≠0）在第一象限的圖象交于A（1，n）和B兩點．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）當y2＞y1＞0時，寫出自變量x的取值范圍．19．今年本市蜜桔大豐收，某水果商銷售一種蜜桔，成本價為10元/千克，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于18元/千克，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量（千克）與銷售價（元/千克）之間的函數(shù)關系如圖所示：（1）求與之間的函數(shù)關系式；（2）該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為多少？20．已知關于x的方程2x2+kx-1=0.(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)若方程的一個根是-1，求方程的另一個根．21．解方程：（1）x2+6x+5=0（配方法）（2）x2﹣1=2（x+1）（因式分解法）（3）2x2+3=6x（公式法）22．矩形ABCD一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點B落在CD邊上的點P處．（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．①求證：△OCP∽△PDA；②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長．（2）如圖2，在（1）的條件下，擦去AO和OP，連接BP．動點M在線段AP上（不與點P、A重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連接MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問動點M、N在移動的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出線段EF的長度；若變化，說明理由．23．已知反比例函數(shù)y＝的圖象的一支位于第一象限，點A（x1，y1），B（x2，y2）都在該函數(shù)的圖象上．（1）m的取值范圍是，函數(shù)圖象的另一支位于第一象限，若x1＞x2，y1＞y2，則點B在第象限；（2）如圖，O為坐標原點，點A在該反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上，點C與點A關于x軸對稱，若△OAC的面積為6，求m的值．24．我們定義:如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊,那么這個三角形叫做“等高底”三角形,這條邊叫做這個三角形的“等底”．（1）概念理解:如圖1,在中,,.,試判斷是否是“等高底”三角形，請說明理由.（2）問題探究:如圖2,是“等高底”三角形,是“等底”，作關于所在直線的對稱圖形得到,連結(jié)交直線于點.若點是的重心,求的值.（3）應用拓展:如圖3,已知,與之間的距離為2.“等高底”的“等底”在直線上,點在直線上,有一邊的長是的倍.將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到,所在直線交于點.求的值.參考答案1．B【分析】根據(jù)圖象知，兩個函數(shù)的圖象的交點是（1，1），（-1，-1）．由圖象可以直接寫出當y1<y2時所對應的x的取值范圍．【詳解】根據(jù)圖象知,一次函數(shù)y1=x3與反比例函數(shù)y2=的交點是(1,1)，(-1,?1)，∴當y1<y2時，,0<x<1或x＜-1；故答案選：B.【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與冪函數(shù)，解題的關鍵是熟練的掌握反比例函數(shù)與冪函數(shù)的圖象根據(jù)圖象找出答案.2．A【分析】根據(jù)配方法的步驟對方程進行配方即可.【詳解】解：移項得：x2+6x=5，

配方可得：x2+6x+9=5+9，

即（x+3）2=14，

故選：A．【點睛】本題考查用配方法解一元二次方程.熟練掌握用配方法解一元二次方程的具體步驟是解決此題的關鍵.3．B【詳解】解：根據(jù)題意可得：∴反比例函數(shù)處于二、四象限，則在每個象限內(nèi)為增函數(shù)，且當x＜0時y＞0，當x＞0時，y＜0，∴＜＜.4．B【解析】解：∵k=2＞0，∴在每一象限內(nèi)，y隨x增大而減?。帧選1＞0＞x2，∴A，B兩點不在同一象限內(nèi)，∴y2＜0＜y1．故選B．5．D【詳解】分析：根據(jù)一元二次方程根的判別式進行計算即可.詳解：根據(jù)一元二次方程一元二次方程有兩個實數(shù)根，解得：，根據(jù)二次項系數(shù)可得：故選D.點睛：考查一元二次方程根的判別式，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.當時，方程有兩個相等的實數(shù)根.當時，方程沒有實數(shù)根.6．C【解析】試題分析：找出一元二次方程的系數(shù)a，b及c的值，利用根與系數(shù)的關系求出兩根之和與兩根之積，然后利用異分母分式的變形，將求出的兩根之和x1+x2=3與兩根之積x1?x2=﹣4代入，即可求出=．故選C．考點：根與系數(shù)的關系7．C【解析】分析：根據(jù)相似多邊形的判定法則即可得出答案．如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個或多個多邊形叫做相似多邊形．詳解：根據(jù)定義可知：要使多邊形相似則需要滿足對應角相等，還要滿足對應邊成比例，則故選C．點睛：本題主要考查的是相似多邊形的判定定理，屬于基礎題型．理解相似多邊形的定義是解題的關鍵．8．D【分析】過點B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q，三角形的面積公式求出BP的長度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，設邊長DE＝x，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求出x的長度可得．【詳解】如圖，過點B作BP⊥AC，垂足為P，BP交DE于Q．∵S△ABC＝?AB?BC＝?AC?BP，∴BP＝＝＝．∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，∴△BDE∽△BAC，∴＝．設DE＝x，則有：＝，解得x＝，故選：D．【點睛】本題主要考查把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程即可求出邊長，熟練掌握對應高的比等于相似比是關鍵．9．B【解析】【分析】由DE∥BC，得△ADE∽△ABC且相似比為1：2，從而得面積比為1：4，則可推出△ADE與四邊形DBCE的面積之比．【詳解】∵點D、E分別為△ABC的邊AB、AC上的中點，

∴DE為△ABC的中位線，

∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴,

∴，

∴四邊形BCED的面積與△ADE的面積的比為3：1．

故選B．【點睛】本題考查了三角形的中位線定理和相似三角形的性質(zhì)．（1）相似三角形周長的比等于相似比．（2）相似三角形面積的比等于相似比的平方．（3）相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比．10．C【分析】過A作AM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸于N，根據(jù)菱形性質(zhì)得出OA=BC=AB=OC，AB∥OC，OA∥BC，求出∠AOM=∠BCN，OM=3，AM=4，OC=OA=AB=BC=5，證△AOM≌△BCN，求出BN=AM=4，CN=OM=3，ON=8，求出B點的坐標，把B的坐標代入y=kx求出k即可．【詳解】過A作AM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸于N，則∠AMO=∠BNC=90°，∵四邊形AOCB是菱形，∴OA=BC=AB=OC,AB∥OC,OA∥BC，∴∠AOM=∠BCN，∵A(3,4)，∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，即OC=OA=AB=BC=5，在△AOM和△BCN中，∴△AOM≌△BCN(AAS)，∴BN=AM=4，CN=OM=3，∴ON=5+3=8，即B點的坐標是(8,4)，把B的坐標代入y=kx得：k=32，即y=，故答案選C.【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練的掌握菱形的性質(zhì).11．x2＋2x－1＝0【解析】根據(jù)整式的乘法法則化簡方程得，移項可得x2＋2x－1＝0.12．3秒或4.8秒【分析】如果以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似，由于A與A對應，那么分兩種情況：①D與B對應；②D與C對應．再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別作答．【詳解】解：根據(jù)題意得：設當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是x秒，

①若△ADE∽△ABC，則AD：AB=AE：AC，

即x：6=（12-2x）：12，

解得：x=3；

②若△ADE∽△ACB，則AD：AC=AE：AB，

即x：12=（12-2x）：6，

解得：x=4.8；

所以當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是3秒或4.8秒．

故答案為：3秒或4.8秒．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題時要注意此題有兩種相似形式，別漏解；還要注意運用方程思想解題．13．【解析】試題解析：設a=2t，b=3t，故答案為:14．6．【分析】根據(jù)新定義可得出m、n為方程x2+2x﹣1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系可得出m+n=﹣2、mn=﹣1，將其代入m2+n2=（m+n）2﹣2mn中即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵（x◆2）﹣5=x2+2x+4﹣5，∴m、n為方程x2+2x﹣1=0的兩個根，∴m+n=﹣2，mn=﹣1，∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=6．故答案為6．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記兩根之和等于﹣、兩根之積等于是解題的關鍵．15．-2018【分析】由根與系數(shù)的關系可求得a+b與ab的值，代入求值即可．【詳解】∵a,b是方程x2+x?2020=0的兩個實數(shù)根，∴a+b=?1，ab=?2020，∴(a?1)(b?1)=ab?a?b+1=ab?(a+b)+1=?2020?(?1)+1=?2018，故答案為?2018.【點睛】本題考查了一元二次方程的相關知識點，解題的關鍵是熟練的掌握一元二次方程的性質(zhì)以及根與系數(shù)的關系.16．①②④．【解析】①△ODB與△OCA的面積相等；正確，由于A、B在同一反比例函數(shù)圖象上，則兩三角形面積相等，都為．②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；正確，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化．③PA與PB始終相等；錯誤，不一定，只有當四邊形OCPD為正方形時滿足PA=PB．④當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點．正確，當點A是PC的中點時，k=2，則此時點B也一定是PD的中點．故一定正確的是①②④17．【分析】根據(jù)題意△ADE與△ACB相似，再利用相似三角形的性質(zhì)：對應邊的比值相等即可求出AD，AE．【詳解】∵△ADE與△ACB相似，∠AED=∠B，∠A=∠A，∴，∴∴AD=∵∴∴AE=.【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是熟練的掌握相似三角形的性質(zhì)與應用.18．(1)反比例函數(shù)的解析式為：y2=；（2）4＜x＜5或0＜x＜1【解析】試題分析：（1）將點A的橫坐標代入直線的解析式求出點A的坐標，然后將的A的坐標代入反比例函數(shù)的解析式即可．（2）當y2＞y1＞0時，雙曲線便在直線的上方且在x軸的上方，所以求出直線與雙曲線及x軸的交點后可由圖象直接寫出其對應的x取值范圍．試題解析：（1）∵點A（1，n）在一次函數(shù)y1=-x+5的圖象上，∴當x=1時，y=-1+5=4即：A點的坐標為：（1，4）∵點A（1，4）在反比例函數(shù)y2=（k≠0）的圖象上∴k=1×4=4∴反比例函數(shù)的解析式為：y2=（2）如下圖所示：解方程組：得或∴B點的坐標為（4，1）直線與x軸的交點C為（5，0）由圖象可知：當

4＜x＜5或0＜x＜1時，y2＞y1＞0．19．（1）；（2）該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為15元.【分析】（1）觀察函數(shù)圖象找出點的坐標，再利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)總利潤＝每千克的銷售利潤×銷售數(shù)量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取符合題意值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設與之間的函數(shù)關系式，把，代入得：，解得：，∴與之間的函數(shù)關系式；（2）根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去）.答：該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為15元.【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）找準點的坐標，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關系式；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．20．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）計算得到根的判別式大于0，即可證明方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）利用根與系數(shù)的關系可直接求出方程的另一個根.【詳解】解：(1)∵△=k2+8＞0，∴不論k取何值，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設方程的另一個根為x1，則，解得：，∴方程的另一個根為.【點睛】本題是對根的判別式和根與系數(shù)關系的綜合考查，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．21．（1）x1=﹣1，x2=﹣5；（2）x1=﹣1，x2=3；（3）x1=，x2=．【分析】（1）根據(jù)配方法運算，可得答案；

（2）根據(jù)因式分解運算，可得答案；

（3）根據(jù)公式法運算，可得答案．【詳解】（1）移項，得x2+6x=﹣5，配方，得（x+3）2=4，開方，得x+3=±2，x1=﹣1，x2=﹣5；（2）化簡，得（x2﹣1）﹣2（x+1）=0，因式分解，得（x+1）（x﹣3）=0，于是，得x+1=0或x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3；（3）化簡，得2x2﹣6x+3=0a=2，b=﹣6，c=3，△=b2﹣4ac=36﹣4×2×3=12，x===，x1=，x2=．【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關鍵是根據(jù)配方法、公式法與因式分解法解一元二次方程.22．（1）①證明見解析；②10；（2）線段EF的長度不變，它的長度為2.．【詳解】試題分析：（1）先證出∠C=∠D=90°，再根據(jù)∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可證出△OCP∽△PDA；根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1：4，得出CP=AD=4，設OP=x，則CO=8﹣x，由勾股定理得列方程，求出x，最后根據(jù)CD=AB=2OP即可求出邊CD的長；（2）作MQ∥AN，交PB于點Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的結(jié)論求出PB的長，最后代入EF=PB即可得出線段EF的長度不變．試題解析：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，∴=，∴CP=AD=4，設OP=x，則CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得：，解得：x=5，∴CD=AB=AP=2OP=10，∴邊CD的長為10；（2）作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP，∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，∵∠QFM=∠NFB，∠QMF=∠BNF，MQ=BN，∴△MFQ≌△NFB（AAS），∴QF=QB，∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB==，∴EF=PB=，∴在（1）的條件下，當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，它的長度為．考點：翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)；相似形綜合題．23．（1）m＞3，三；（2）9.【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線．當k>0時，則圖象在一、三象限，且雙曲線是關于原點對稱的；

（2）由對稱性得到△OAC的面積為5．設A（x，），則利用三角形的面積公式得到關于m的方程，借助于方程來求m的值．【詳解】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象關于原點對稱知，該函數(shù)圖象的另一支在第三象限，且m﹣3＞0，則m＞3；故答案是：m＞3，三；（2）∵點A在第一象限，且與點C關于x軸對稱∴AC⊥x軸，AC=2y=2×，∴S△OAC=AC?x=×2×?x=m﹣3，∵△OAC的面積為6，∴m﹣3=6，解得m=9．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的相關知識點，解題的關鍵是熟練的掌握反比例函數(shù)的圖象性質(zhì).24．（1）證明見解析；（2）（3）的值為,,2【解析】分析：（1）過點A作AD⊥直線CB于點D，可以得到AD=BC=3，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC，再由ΔA′BC與ΔABC關于直線BC對稱，得到∠ADC=90°，由重心的性質(zhì)，得到BC=2BD．設BD=x，則AD=BC=2x，CD=3x，由勾股