2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷22.2 降次解一元二次方程(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷22.2降次解一元二次方程(含答案)22.2降次——解一元二次方程情境感知我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝曾提出這樣一個問題：“直田積（矩形面積），八百六十四（平方步），只云闊（寬）不及長十二步（寬比長少12步），問闊及長各幾步？”基礎(chǔ)準(zhǔn)備一、配方法1．配方法的定義把一元二次方程的左邊化成一個____________________，右邊變成一個___________．通過這種形式解一元二次方程的方法，叫做配方法．2．用配方法解一元二次方程的步驟（1）如果二次項系數(shù)不是1，就在方程兩邊同時除以_____________，將其化為1；（2）把___________移到方程的右邊；（3）方程兩邊都加上_________________的平方，使方程的左邊變?yōu)橐粋€完全平方式；（4）如果方程的右邊是一個非負(fù)數(shù)，根據(jù)平方根的定義解方程．問題1．用配方法解方程：．二、公式法3．一元二次方程的根可用式子______________________求得，這個式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．問題2．用公式法解方程：．4．求根公式中的____________叫做一元二次方程的根判別式．（1）當(dāng)__________時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)__________時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)__________時，一元二次方程沒有實數(shù)根．問題3．不解方程，判斷下列關(guān)于的方程的根的情況：（1）；（2）．三、因式分解法5．對于一元二次方程，一邊是_________，另一邊化為兩個_____________的乘積，再使這兩個因式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種方法叫做因式分解法．問題4．用因式分解法解下列方程（1）；（2）．要點探究探究1．一元二次方程四種解法的選擇例1．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）．（2）．（3）．（4）．解析：針對方程特點選擇最簡捷的方法解題．答案：（1），，，，，∴，．（2）因式分解，得，∴或，∴，．（3）移項，得，∴，．（4）將方程化為一般形式，即，∴．智慧背囊：一元二次方程解法的選擇順序：先特殊，后一般，即先考慮是否可以用直接開平方法，若不能，則看能否用因式分解法，再考慮用公式法，一般沒有特殊說明不用配方法，因為配方法比較麻煩，四種解法中最簡單的是直接開平方法，最常用的是公式法．活學(xué)活用：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）；（3）；（4）．探究2．一元二次方程的判別式例2．不解方程，判斷下列方程根的情況．（1）；（2）；（3）．解析：先將方程化成一般形式，確定，，的值，再計算的值，并與0進行比較．答案：（1）∵，，，∴，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）原方程可變形為，∵，，，∴，∴原方程有兩個相等的實數(shù)根．（3）原方程可變形為，∵，，，∴．∴原方程沒有實數(shù)根．智慧背囊：判斷方程根的情況的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計算的值，并將其與0進行比較．活學(xué)活用：不解方程，判斷下列方程根的情況．（1）；（2）．例3．已知關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，求的值，并解這個方程．解析：若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則．解題時注意題中隱含條件二次項系數(shù)．答案：∵，，，∴．∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，即，解得，．當(dāng)時，原方程不是一元二次方程，∴不合題意，舍去，當(dāng)時，原方程化為，解得．智慧背囊：對于一次項系數(shù)含有字母的一元二次方程，在用根的判別式時必須考慮題目中的隱含條件，即二次項系數(shù)不能等于0．活學(xué)活用：已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．隨堂嘗試A基礎(chǔ)達標(biāo)1．選擇題（1）一元二次方程的解是（）（A）．（B）．（C），．（D），．（2）方程的解是（）（A）．（B）．（C）．（D），．（3）用配方法將代數(shù)式變形的結(jié)果是（）（A）．（B）．（C）．（D）．（4）已知是完全平方式，則的取值是（）（A）4．（B）4．（C）．（D）16．（5）下列方程中，無實數(shù)根的是（）（A）．（B）．（C）．（D）．2．填空題（1）對于方程，用_____________法解最簡便．（2）當(dāng)_____________時，代數(shù)式的值與的值相同．（3）當(dāng)_____________時，最簡二次根式和是同類二次根式．（4）一個三角形兩邊長為2和4，第三邊長適合方程，則三角形的周長為_____________．3．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）；（3）；（4）．4．若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍．B能力升級5．試分別寫出一個一元二次方程，使它的兩根：（1）一根是0，一根是負(fù)數(shù)；（2）一根是正數(shù)，另一根是在2與1之間．6．已知實數(shù)，，滿足，求方程的根．7．若規(guī)定兩個數(shù)，通過運算得，即△，例如：2△6．（1）求3△5的值；（2）求△△2△4中的值；（3）若不論是什么數(shù)時，總有△，求的值．C感受中考8．下列關(guān)于的一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（）（A）．（B）．（C）．（D）．9．方程的解為_____________．10．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）請你為選取一個合適的整數(shù)，使得到的方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)，是（1）中你所得到的方程的兩個實數(shù)根，求的值．課后實踐高次方程有求根公式嗎一元二次方程有求根公式，一般的一元三次方程、一元四次方程等高次方程是否也有類似的求根公式呢？數(shù)學(xué)家們也曾提出過類似的問題，在意大利的數(shù)學(xué)家們之間還發(fā)生了一連串有趣的故事．1535年，意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞與另一位數(shù)學(xué)家舉行了一場數(shù)學(xué)比賽，雙方各出30個三次方程的問題，限30日交卷，約定誰解出的題目多誰就獲勝，結(jié)果塔爾塔利亞取得了勝利．這次勝利促使塔爾塔利亞進一步潛心研究一般三次方程的解法．1541年，他終于完全解決了三次方程的求解問題．意大利米蘭城有個學(xué)者卡爾達諾聽說塔爾塔利亞會三次方程的解法，就多次向塔爾塔利亞懇求教他，并保證嚴(yán)守秘密，不告訴別人．當(dāng)塔爾塔利亞把這個方法告訴了他之后，卡爾達諾卻將其公開發(fā)表，因此現(xiàn)在還習(xí)慣稱三次方程的求解公式為卡爾達諾公式．當(dāng)然，塔爾塔利亞大為光火，兩人為此曾展開公開論戰(zhàn)．一元三次方程一經(jīng)解出，一元四次方程的解法很快就被卡爾達諾的學(xué)生費拉里獲得．此后200多年的時間里，推求四次以上高次方程的解法的人不可勝數(shù)，但都沒有結(jié)果．久而久之，人們懷疑這個問題難以解決．挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾證明了一般的五次及五次以上的方程都不可能有公式解法．而代數(shù)方程可解性問題的完滿解決應(yīng)歸功于法國數(shù)學(xué)奇才伽羅瓦，他的成果被后人稱之為伽羅瓦理論．22.2.1配方法（一）◆課堂測控知識點一開平方法（一）1．（過程探究題）解方程（1）x2=4，兩邊開平方得，x=±2，所以x1=_____，x2=____．（2）3x2－27=0，移項得3x2=27，兩邊除以3得x2=9，直接開平方得，x=±3，所以x1=－3，x2=______．2．（易錯題）解方程：3x2－5=3解：3x2－5=3．移項，得3x2=8．兩邊除以3，得x2=．所以x=±．以上有兩個錯誤：①________；②最后根的結(jié)果應(yīng)_______，正確解為x1=_____，x2=______．知識點二開平方法（二）3．（過程探究題）解方程（x－4）2－16=0解：（x－4）2－16=0，移項，得（x－4）2=16．兩邊直接開平方，得x－4=±4，所以x－4=______或x－4=______．解得x1=_______，x2=______．4．（過程探究題）解方程x2－4x+4=2解：x2－4x+4=2，左邊是完全平方式，原方程化為（x－2）2=2，兩邊直接開平方，得x－2=±．所以x－2=______或x－2=______．解得x1=_____，x2=_______．◆課后測控5．用直接開平方法直接寫出下列方程的解（1）x2－3=0，則x1=_____，x2=_____．（2）5（x+1）2=1，則x1=_____，x2=_____．6．方程4x2－4x+1=0的解x1=x2=______．7．若（mx）2+6x+9是完全平方式，則m為_______．8．下列各式不是完全平方式的是（）A．x2－16x+64B．x2－2x+1C．3x2－2x+1D．4a2－12ab－9b29．（易錯題）下列方程的解不正確的是（）A．方程x2=1的根為x1=1，x2=－1B．方程x2=0的根為x1=x2=0C．方程（x－2）2=4的根為x1=4，x2=－4D．方程3x2－6=0的根為x1=，x2=－10．運用直接開平方法解下列方程（1）16x2－8x+1=2（2）（2y－1）2=（3y+4）2◆拓展測控11．（探究題）如圖所示，正方形ABCD的面積為48cm，正方形EFGH與正方形ABCD有同一個中心，且BC∥EF，若陰影面積是正方形ABCD面積的一半，求四邊形EFGH的邊長x為多少厘米？答案:1．（1）－2，2（2）32．①方程的根的表述要用x1，x2表示，②化為最簡二次根式，－，[總結(jié)反思]一元二次方程根的表示切忌用一個未知數(shù)x表示，直接開平方法得出的兩個根要分開表述，如x2=4的根為：x1=－2，x2=2．3．4，－4，8，04．－，，2－，2+．[解題規(guī)律]x2=m（m≥0）的解為x1=－，x2=，形如（mx+n）2=p的解為x1=，x2=．5．（1）－，（2）－1，－－16．7．±18．D9．C10．解：（1）16x2－8x+1=2，則（4x－1）2=2，所以4x－1=±，x1=，x2=．（2）2y－1=±（3y+4），所以2y－1=3y+4，y1=－5，2y－1=－3y－4，y2=－．[解題規(guī)律]直接開平方法解一元二次方程，關(guān)鍵把方程化為x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）形式，再運用算術(shù)平方根意義求解．11．解：大正方形面積為48cm，小正方形面積為x2cm．陰影面積為24cm2，即48－x2=24．所以x2=24，x1=2，x2=－2（舍去）．所以x=2，小正方形邊長為2cm．22.2.1配方法(1)第1課時◆課前預(yù)習(xí)1．（_______）2=25;2．a(chǎn)2+2ab+b2=______．3．x2=p（p≥0），x=_______;4．（mx+n）2=p（p≥0），_______=±．◆互動課堂（一）基礎(chǔ)熱點【例1】64的平方根是______________，的平方根是_____________．分析：利用正數(shù)的平方根的定義求值，但在計算后一個時容易寫成±4，注意“”是一個運算符號．解：±8，±2．點撥：此題是數(shù)的開方的直接運用，本身的值是4，它是求4的平方根，解題時要仔細．（二）易錯疑難【例2】方程x2－9=0的解是________．分析：這個式子先移項，變成x2=9，從而把問題轉(zhuǎn)化為求9的平方根．解：移項得x2=9，∴x=±3．點撥：解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．（三）中考鏈接【例3】解方程3x2+6x+3=12．分析：觀察發(fā)現(xiàn)方程的左邊提公因式后是一個完全平方式，即3（x+1）2=12，兩邊除以3，（x+1）2=4，把左邊看成一個整體，利用數(shù)的開方直接求解．解：兩邊除以3得x2+2x+1=4方程化為（x+1）2=4，開方得x+1=±2即x+1=2或x+1=－2．解得x1=1，x2=－3．點撥：用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．名師點撥1．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．2．運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體．◆跟進課堂1．已知一元二次方程有一個根為1，那么這個方程可以是（只需寫出一個方程）_______．2．若方程x2－m=0有整數(shù)根，則m的值可以是________（只填一個）．3．若方程（x－m）2=b有解，那么b的取值范圍是________．4．方程（x－1）2=4的解為_________．5．將方程x2－10x+16=0化為（mx+n）2=p（p≥0）的形式為________．6．一元二次方程x2－1=0的根為（）．A．x=1B．x=－1C．x1=1，x2=－1D．x=27．方程4（2x－3）2=25的根是（）．A．±B．C．D．或8．形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，它的根是（）．A．x=±9．方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若a+b+c=0，那么方程必有一根是（）．A．－1B．1C．0D．±110．方程（h+1）2=（3－2h）2的根是（）．A．B．4C．或4D．無解◆漫步課外解下列方程：11．5x2=20．12．（x+2）2=4．13．（2x－3）2－16=0．14．3（2x+1）2－27=0．◆挑戰(zhàn)極限15．若關(guān)于x的方程a（x－3）2=3b－1有實數(shù)根，求a、b的取值范圍．答案:1．x2－1=02．43．b≥04．3或－15．（x－5）2=96．C7．D8．D9．B10．C11．x=±212．x1=0，x2=－413．x1=，x2=－14．x1=1，x2=－215．略.22.2.1配方法(1)班級姓名座號月日主要內(nèi)容:會用直接開平方法解一元二次方程一、課堂練習(xí):1.形如的方程,它的正確解法是()A.直接開平方法求解,得B.當(dāng)≥0時,C.當(dāng)≥0時,D.當(dāng)≥0時,2.(課本36頁)用直接開平方法解下列方程:(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、課后作業(yè):1.方程的根為.2.方程的根為()A.3B.-3C.±3D.沒有實數(shù)根3.(課本45頁改造題)填空:(1)=()(2)=()4.(課本45頁)用直接開平方法解下列方程:(1)(2)(3)(4)5.(課本46頁)向陽村2001年的人均收為1200元,2003年的人均收入為1452元,求人均收入的年平均增長率.三、新課預(yù)習(xí):1.利用配方法解一元二次方程(1)通過配成形式來解一元二次方程的方法,叫做配方法.(2)配方法解一元二次方程的一般步驟:①移項:通常將含有末知數(shù)的項移到方程的,常數(shù)項移到方程的；②將項系數(shù)化為1；③配方:方程兩邊同加一次項系數(shù)一半的平方,使方程左邊成為一個；④解方程:利用法解方程.2.用配方法將二次三項式變形,結(jié)果是()A.B.C.D.3.用配方法解下列方程:⑴(2)參考答案一、課堂練習(xí):1.形如的方程,它的正確解法是(B)A.直接開平方法求解,得B.當(dāng)≥0時,C.當(dāng)≥0時,D.當(dāng)≥0時,2.(課本36頁)用直接開平方法解下列方程:(1)(2)解:移項,得二次項系數(shù)化為1,得開平方,得即解:移項,得二次項系數(shù)化為1,得開平方,得即(3)(4)解:移項,得開平方,得即解:移項,得二次項系數(shù)化為1,得開平方,得即(5)(6)解:整理,得開平方,得即解:整理,得開平方,得即二、課后作業(yè):1.方程的根為.2.方程的根為(D)A.3B.-3C.±3D.沒有實數(shù)根3.(課本45頁改造題)填空:(1)=()(2)=()4.(課本45頁)用直接開平方法解下列方程:(1)(2)解:移項,得二次項系數(shù)化為1,得開平方,得即解:二次項系數(shù)化為1,得開平方,得即(3)(4)解:開平方,得即解:整理,得開平方,得即5.(課本46頁)向陽村2001年的人均收為1200元,2003年的人均收入為1452元,求人均收入的年平均增長率.解:設(shè)人均收入的年平均增長率為,由題意,得(不合題意,舍去)答:人均收入的年平均增長率為.三、新課預(yù)習(xí):1.利用配方法解一元二次方程(1)通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法,叫做配方法.(2)配方法解一元二次方程的一般步驟:①移項:通常將含有末知數(shù)的項移到方程的左邊,常數(shù)項移到方程的右邊；②將二次項系數(shù)化為1；③配方:方程兩邊同加一次項系數(shù)一半的平方,使方程左邊成為一個完全平方式；④解方程:利用直接開平方法解方程.2.用配方法將二次三項式變形,結(jié)果是(A)A.B.C.D.3.用配方法解下列方程:⑴(2)解:配方,得開平方,得即解:移項,得配方,得開平方,得即22.2.1配方法（二）◆課堂測控知識點一完全平方式1．填空：（1）x2+4x+_____=（x+______）2;（2）x2－6x+_____=（x－______）2．2．填空：（1）x2－x+m是完全平方式，則m=______．（2）x2+5x+n是完全平方式，則n=_______．知識點二二次項系數(shù)為1的情形下的配方法3．（過程探究題）解方程：x2+10x+9=0解：x2+10x+9=0．移項，得x2+10x=－9，配方，得x2+10x+52=－9+52（加上一次項系數(shù)10的一半的平方）．（x+5）2=______，由此可得x+5=4或x+5=－4．所以x1=______，x2=_______．4．（2008，太原）解方程：x2－6x－2=0知識點三二次項系數(shù)不為1的情形下的配方法5．（過程探究題）用配方法解方程2x2－4x－1=0．解：2x2－4x－1=0．方程兩邊______，得－=0．整理，得x2－2x－=0，方程的左邊加上______的一半的______．右邊也加上一次項系數(shù)一半的平方（即（）2），得x2－2x+（）2－=（）2．整理，得x2－2x+1=，變形，得（x－1）2=，兩邊直接開平方，得x－1=±，所以x1=_____，x2=______．完成上述填空．6．運用配方法解下列方程（1）（2008，泰安）6x2－x－12=0;（2）4x2－8x－3=0◆課后測控7．用適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式填空：（1）x2－4x+____=（x－_____）2;（2）x2－8x+_____=（x－______）2;（3）x2+x+_______=（x+_____）2．8．若方程25x2－（k－1）x+1=0的左邊可以寫成一個完全平方式；則k的值為（）A．－9或11B．－7或8C．－8或9D．－6或79．用配方法解一元二次方程x2－6x－5=0，則方程變?yōu)椋ǎ〢．（x－6）2=41B．（x－3）2=14C．（x+6）2=41D．（x+3）2=1410．要使方程x2－x=左邊能成完全平方式應(yīng)該在方程的兩邊都加上（）A．（－）2B．（－）2C．（）2D．（）211．方程2（x－1）2=的根為（）A．x1=1+，x2=1－B．x1=+1，x2=－1C．x1=－1，x2=+1D．以上都不對12．用配方法解下列方程（1）x2－4x－2=0（2）x（x+4）=6x+12（3）2x2+7x－4=0（4）3（x－1）（x+2）=x+4（5）3x2－6x=8◆拓展測控13．閱讀材料后再解答問題阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾．花拉子利用正方形圖形巧妙解出了一元二次方程x2+2x－35=0的一個解．[阿爾．花拉子解法]將邊長為xm的正方形和邊長為1的正方形，外加兩個長方形，長為x，寬為1，拼合在一起面積就是x2+2·x·1+1·1，而由x2+2x－35=0變形及x2+2x+1=35+1（如圖22－2－2所示）即左邊邊長為x+1的正方形面積為36．所以（x+1）2=36，則x=5．你能運用上述方法構(gòu)造出符合方程x2+8x－9=0的一個正根的正方形嗎？試一試吧!答案:1．（1）4，2（2）9，32．（1）（2）[總結(jié)反思]運用完全平方式a2±2ab+b2要全面觀察代數(shù)式是否是表示兩個數(shù)的平方且加（減去）上這兩個數(shù)積的2倍．3．16，－1，－94．解：x2－6x－2=0．配方，得x2－6x+（）2－（）2－2=0，所以x2－6x+9=11．（x－3）2=（）2．即x－3=或x－3=－．x1=+3，x2=3－．[總結(jié)反思]把一元二次方程化為ax2+bx+c=0形式．且x2+x+=0配方過程為x2+x+（）2=（）2－，（x+）2=，即x1,2=－±（b－4ac≥0）．5．除以2，－2，平方，1+，1－．6．解：（1）6