專(zhuān)題2.7 配方法的應(yīng)用【八大題型】-2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（北師大版）

PAGE1專(zhuān)題2.7配方法的應(yīng)用【八大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用配方法求字母的值】 1【題型2利用配方法求代數(shù)式的值】 4【題型3利用配方法比較大小】 7【題型4利用配方法進(jìn)行證明】 10【題型5利用配方法求最值】 14【題型6利用配方法在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】 17【題型7利用配方法確定三角形形狀】 18【題型8利用配方法求幾何圖形面積最值】 21知識(shí)點(diǎn)：配方法等號(hào)兩邊都就是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)得最高次數(shù)就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程?！绢}型1利用配方法求字母的值】【例1】（23-24九年級(jí)·福建莆田·階段練習(xí)）小明在學(xué)習(xí)配方法時(shí)，將關(guān)于x的多項(xiàng)式x2?2x+3配方成x?12+2，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x?1取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x2?2x+3的值是相等的．例如：當(dāng)x?1=±2時(shí)，即x=3或?1時(shí)，x2?2x+3的值均為6；當(dāng)x?1=±3時(shí)，即于是小明給出一個(gè)定義：對(duì)于關(guān)于x的多項(xiàng)式，若當(dāng)x?t取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，該多項(xiàng)式的值相等，就稱(chēng)該多項(xiàng)式關(guān)于x=t對(duì)偶，例如x2?2x+3關(guān)于請(qǐng)你結(jié)合小明的思考過(guò)程，運(yùn)用此定義解決下列問(wèn)題：(1)多項(xiàng)式x2?8x+10關(guān)于(2)當(dāng)x=m或9?m時(shí)，關(guān)于x的多項(xiàng)式x2+2bx+c的值相等，求(3)若整式x2+8x+16x2?4x+4【答案】(1)x=4(2)b=?4.5(3)n=?1【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，完全平方公式，整式乘法，正確理解新定理，判斷出對(duì)稱(chēng)軸是解題關(guān)鍵．（1）將多項(xiàng)式配方得x?42（2）將多項(xiàng)式配方得x+b2?b2+c（3）結(jié)合完全平方公式對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行配方，再根據(jù)新定義判定即可．【詳解】（1）解：∵x2∴當(dāng)x?4取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，該多項(xiàng)式的值相等，∴多項(xiàng)式x2?8x+10關(guān)于故答案為：x=4（2）解：∵x∴當(dāng)x+b取任意一對(duì)互為相反數(shù)的數(shù)時(shí)，該多項(xiàng)式的值相等，∵當(dāng)x=m或9?m時(shí)，關(guān)于x的多項(xiàng)x2∴m+b解得：b=?4.5；（3）解：x====∵整式x2+8x+16x∴n=?1．【變式1-1】（23-24九年級(jí)·湖北武漢·期末）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式?x2+mx+4A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】利用配方法將?x【詳解】解：?故m2解得：m=±2.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的運(yùn)用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵.【變式1-2】（23-24九年級(jí)·山西呂梁·期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2?10x+m=0可以通過(guò)配方寫(xiě)成(x?n)2=A．m=25,n=5 B．m=20,n=5 C．m=100【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式展開(kāi)即可得解；【詳解】∵(x?n)2∴x2又∵一元二次方程x2∴2n=10，m=n∴n=5，m=25；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程配方法的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（23-24九年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）無(wú)論x為何值，關(guān)于x的多項(xiàng)式﹣12x2+3x+m的值都為負(fù)數(shù)，則常數(shù)mA．m＜﹣9 B．m＜﹣92 C．m＜9 D．m＜【答案】B【分析】首先判斷出：﹣12x2+3x+m＝﹣12（x﹣3）2+m+92，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性質(zhì)，可得-12（x﹣3）2+m+92≤m+92，再根據(jù)無(wú)論x為何值，﹣12x2+3x+m【詳解】解：∵﹣12x2+3x+m＝﹣12（x2﹣6x+9）+m+92＝﹣12（x﹣3）2∵﹣12（x﹣3）2∴﹣12（x﹣3）2+m+92≤m+∵無(wú)論x為何值，﹣12x2+3x+m∴m+92解得m＜﹣92故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是配方法的應(yīng)用，將多項(xiàng)式進(jìn)行配方是解此題的關(guān)鍵．【題型2利用配方法求代數(shù)式的值】【例2】（23-24九年級(jí)·浙江嘉興·期末）已知關(guān)于x的多項(xiàng)式ax2?2bx+ca≠0，當(dāng)x=a時(shí)，該多項(xiàng)式的值為c?a，則多項(xiàng)式A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75【答案】A【分析】本題考查了代數(shù)式及配方法，不等式及偶次方的非負(fù)性，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先將x=a代入原式，可整理得a2=2b?1>0，再代入到a2【詳解】∵當(dāng)x=a時(shí)，該多項(xiàng)式的值為c?a，∴a3整理得a3?2ab+a=0∵a≠0，∴a2?2b+1=0，即∴b>1∴a2四個(gè)選項(xiàng)中，只有A符合，故選：A．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·遼寧鞍山·期中）若a，b滿(mǎn)足2a2+b2【答案】?4【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：已知等式變形得：a2即a+b2∵a+b2≥0，∴a+b=0，a?2=0，解得：a=2，b=?2，則a+3b=2?6=?4．故答案為：?4．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式2-2】（23-24九年級(jí)·四川眉山·階段練習(xí)）“a2x2∵x?4∴x?4∴x試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：(1)如果4a2+6a+1=b+c4b2(2)已知x2+8x+y【答案】(1)?(2)?5【分析】（1）將方程組的三個(gè)方程相加，變形后再根據(jù)完全平方式的特征求解；（2）先配方，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值即可；【詳解】（1）4①+②+③，得：4∴4∴2a+1∴2a+1∴2a+1=0,2b+1=0,2c+1=0,∴a=?∴a+b+c=?1故答案為：?3【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用，正確配方，充分利用平方的非負(fù)性是求解本題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24九年級(jí)·重慶忠縣·期末）閱讀下面材料，解決后面的問(wèn)題：我們知道，如果實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a2+b2=0，那么a=b=0．利用這種思路，對(duì)于m解法是：∵m2?2mn+2n即m?n2+n?32=0，∴m?n=0根據(jù)這樣的解法，完成：(1)若x2+y(2)若等腰△ABC的兩邊長(zhǎng)a，b滿(mǎn)足a2+b(3)若正整數(shù)a，b，c滿(mǎn)足不等式a2+b【答案】(1)x+3y=?1；(2)△ABC的周長(zhǎng)為10或11；(3)a+b+c=6．【分析】本題考查的是配方法的應(yīng)用、等腰三角形的概念、三角形的三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用配方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性分別求出x、y，進(jìn)而求出x+3y；（2）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性分別求出a、b，根據(jù)等腰三角形的概念解答即可；（3）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性以及有理數(shù)的平方、分情況討論求出a、b、c，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵x2∴x+42∴x=?4，y=1，∴x+3y=?1；（2）解：∵a2∴a?32∴a=3，b=4．∵a，b是等腰△ABC的兩邊長(zhǎng)，∴當(dāng)a是腰，b是底時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為3+3+4=10；當(dāng)b是腰，a是底時(shí)，△ABC的周長(zhǎng)為4+4+3=11．綜上所述：△ABC的周長(zhǎng)為10或11；（3）解：∵a2∴4a∴3a?2∵a，b，c為正整數(shù)，∴c?3=0，即c=3，而a?2=0或±1，即a=2或1或3，當(dāng)a=1時(shí)，必有a?2b=0，則b=0.5，與題意不符，舍去，當(dāng)a=3時(shí)，必有a?2b=0，則b=1.5，與題意不符，舍去，∴a=2，b=1，c=3，∴a+b+c=6．【題型3利用配方法比較大小】【例3】（23-24·河北石家莊·一模）（1）發(fā)現(xiàn)，比較4m與m2①當(dāng)m=3時(shí)，4m②當(dāng)m=2時(shí)，4mm③當(dāng)m=?3時(shí)，4mm（2）論證，無(wú)論m取什么值，判斷4m與m2（3）拓展，試通過(guò)計(jì)算比較．x2+2與【答案】（1）<，=，<；（2）總有4m≤m2【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，不等式的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是不等式的性質(zhì)、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)兩個(gè)式子的差比較出數(shù)的大?。?）當(dāng)m=3時(shí)，當(dāng)m=2時(shí)，當(dāng)m=?3時(shí)，分別代入計(jì)算，再進(jìn)行比較得出結(jié)論填空即可；（2）根據(jù)(m2+4)?4m=(m?2)2≥0，即可得出無(wú)論m取什么值，判斷（3）拓展：先求出x2+2?2x【詳解】解：（1）①當(dāng)m=3時(shí)，4m=12，m2+4=13，則②當(dāng)m=2時(shí)，4m=8，m2+4=8，則③當(dāng)m=?3時(shí)，4m=?12，m2+4=13，則故答案為：<；=；<；（2）無(wú)論m取什么值，判斷4m與m2+4有理由如下：∵(m∴無(wú)論取什么值，總有4m≤m（3）拓展：x=?=?(=?(x+2)故x2【變式3-1】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期中）已知P＝1113m?2，Q＝m2?1513mA．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．無(wú)法判斷【答案】C【分析】用做差法，寫(xiě)出P-Q的形式，利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可．【詳解】解：∵P＝1113m?2，Q＝∴Q﹣P＝(m2?1513m)?(1113m?2)＝m2則P＜Q，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是用做差發(fā)比較大小以及配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、靈活運(yùn)用配方法是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（23-24·安徽馬鞍山·二模）已知a,b,c為實(shí)數(shù)，且b+c=5?4a+3a2,c?b=1?2a+a2A．a(chǎn)<b≤c B．b<a≤c C．b≤c<a D．c<a≤b【答案】A【分析】先根據(jù)已知等式求出b=a2?a+2,c=2【詳解】∵b+c=5?4a+3a∴b=a∴b?a=a=a=(a?1)∴a<b，又∵c?b=1?2a+a∴b≤c，∴a<b≤c，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）閱讀以下材料：利用我們學(xué)過(guò)的完全平方公式及不等式知識(shí)能解決代數(shù)式一些問(wèn)題，如a∵a+12∴a2因此，代數(shù)式a2+2a?4根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題：(1)代數(shù)式a2?2a+2的最小值為(2)試比較a2+b(3)已知：a?b=2，ab+c【答案】(1)1(2)a2(3)2【分析】（1）將代數(shù)式a2（2）作差并配方，可進(jìn)行大小比較；（3）變形后得：a=b+2，【詳解】（1）解：a2∵a?12∴a?12即代數(shù)式a2?2a+2的最小值為故答案為：1；（2）a2a==a∵a?32∴a2（3）∵a?b=2，∴a=b+2，∵ab+c∴bb+2∴b+12∴b+1=0，∴b=?1，∴a=?1+2=1，∴a+b+c=1?1+2=2．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法，利用配方法可以確定最值問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【題型4利用配方法進(jìn)行證明】【例4】（23-24九年級(jí)·四川宜賓·期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用．例如：已知x可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式x2解：x2∵無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，都有（x+1)2≥0，∴（x+1請(qǐng)利用上述知識(shí)解決以下問(wèn)題：(1)求代數(shù)式2x(2)證明：無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，二次根式x2【答案】(1)代數(shù)式2x(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先把2x2+4x+10（2）先把被開(kāi)方數(shù)x2+x+2通過(guò)配方化為【詳解】（1）解：2x2+4x+10=∵無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，都有（x+1)2≥0∴代數(shù)式2x（2）證明：x2+x+2∵無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，都有（x+12∴無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，二次根式x2【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，代數(shù)式的最值，偶次方的非負(fù)性的應(yīng)用，二次根式有意義的條件，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24九年級(jí)·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）用配方法說(shuō)明，無(wú)論x取何值，代數(shù)式?2x【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查配方的應(yīng)用，將?2x2+8x?12【詳解】證明：?2x∵(x?2)∴?2(x?2)∴?2(x?2)∴無(wú)論x為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式?2x【變式4-2】（23-24·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知整式A=4x(1)將整式A分解因式；(2)求證：若x取整數(shù)，則A能被4整除．【答案】(1)4(x+3)(x?2)；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）利用配方法把4x（2）利用（1）的結(jié)果即可求證；本題考查了因式分解及其應(yīng)用，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：A=4=(2x+1)=[(2x+1)+5][(2x+1)?5]，=4(x+3)(x?2)；（2）證明：∵x取整數(shù)，∴x+3和x?2均為整數(shù)，又由（1）可知，A=4(x+3)(x?2)，∴A能被4整除．【變式4-3】（23-24九年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）[項(xiàng)目學(xué)習(xí)]配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法.它是指將一個(gè)式子的某部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．例如，把二次三項(xiàng)式x2解：x2我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，即兩個(gè)數(shù)的平方和形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“雅美數(shù)”例如，5是“雅美數(shù)”．理由：因?yàn)?=22+12(1)[問(wèn)題解決]4，6，7，8四個(gè)數(shù)中的“雅美數(shù)”是______．(2)若二次三項(xiàng)式x2?6x+13（x是整數(shù)）是“雅美數(shù)”，可配方成x?m2+n（m，(3)[問(wèn)題探究]已知S=x2+4y2+8x?12y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)且x≠?4，(4)[問(wèn)題拓展]已知實(shí)數(shù)M，N是“雅美數(shù)”，求證：M?N是“雅美數(shù)”．【答案】(1)4，8(2)12(3)k=25(4)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“雅美數(shù)”的定義判斷即可；（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對(duì)應(yīng)系數(shù)的值；（3）配方后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x、y的值，進(jìn)行計(jì)算即可；（4）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“雅美數(shù)”的定義證明結(jié)論．【詳解】（1）4是“雅美數(shù)”，理由：因?yàn)?=28是“雅美數(shù)”，理由：因?yàn)?=2故答案為：4，8；（2）∵x2∴m=3，n=4，∴mn=12，故答案為：12；（3）S=又∵x≠?4，y≠∴x+42≠0∴k?25=0，∴k=25；（4）因?yàn)镸，N為“雅美數(shù)”，則令M=a2+b2，N=c2+d∴M?N===又∵a，b，c，d為整數(shù)∴ac+bd，bc?ad均為整數(shù)∴M?N是“雅美數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題關(guān)鍵．【題型5利用配方法求最值】【例5】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期中）新定義：關(guān)于x的一元二次方程a1(x?c)2+k=0與a2(x?c)2+k=0稱(chēng)為“同族二次方程”．例如：5(x?6)2+7=0與6【答案】2024【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項(xiàng)式相等的條件列出關(guān)于m與n的方程組，求出方程組的解得到m與n的值，進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程(m+2)x2+(n?4)x+8=0∴(m+2)x∴(m+2)x∴n?4=?2(m+2)m+3=8解得m=5n=?10∴m=5=5(x?1)∵5(x?1)∴5(x?1)∴mx故答案為：2024．【變式5-1】（23-24九年級(jí)·江蘇南通·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足2x+y=4，則代數(shù)式xy?2x+2y?4的最大值為．【答案】9【分析】將y=4?2x代入代數(shù)式，利用配方法可得?2(x?【詳解】解：由題意得：y=4?2x，將y=4?2x代入代數(shù)式得：xy?2x+2y?4=x(4?2x)?2x+2(4?2x)?4=?2=?2=?2(x?∵2(x?∴?2(x?∴?2(x?∴原代數(shù)式的最大值為：92故答案為：92【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用、不等式的性質(zhì)及平方的非負(fù)性，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24·河北石家莊·一模）已知A=x2+6x+n2A．B?A的最大值是0 B．B?A的最小值是?1C．當(dāng)B=2A時(shí)，x為正數(shù) D．當(dāng)B=2A時(shí)，x為負(fù)數(shù)【答案】B【分析】利用配方法表示出B?A，以及B=2A時(shí)，用含n的式子表示出x，確定x的符號(hào)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵A=x2+6x+∴B?A=2=2==x?1∴當(dāng)x=1時(shí)，B?A有最小值?1；當(dāng)B=2A時(shí)，即：2x∴2x∴?8x=n∴x≤0，即x是非正數(shù)；故選項(xiàng)A,C,D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查整式加減運(yùn)算，配方法的應(yīng)用．熟練掌握合并同類(lèi)項(xiàng)，以及配方法，是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24九年級(jí)·湖北黃岡·自主招生）設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿(mǎn)足x+y+z=1，則M=xy+2yz+3zx的最大值為．【答案】3【分析】先將已知等式變形可得z=1?x?y，然后代入M中，利用配方法將右側(cè)配方，最后利用平方的非負(fù)性即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵x+y+z=1∴z=1?x?y∴M=xy+2yz+3zx=xy+2y=xy+2y?2xy?2=?3=?2=?2=?2=?2=?2∵?2∴?2∴M=xy+2yz+3zx的最大值為3故答案為：34【點(diǎn)睛】此題考查的是配方法的應(yīng)用和非負(fù)性的應(yīng)用，掌握完全平方公式和平方的非負(fù)性是解決此題的關(guān)鍵．【題型6利用配方法在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】【例6】（23-24九年級(jí)·上海黃浦·期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2+6x?5=【答案】x+3+【分析】先利用配方法進(jìn)行整理，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可。【詳解】解：x2根據(jù)平方差公式可得x+32故x2故答案為：x+3+14【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解，注意在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解的式子的結(jié)果一般要分到出現(xiàn)無(wú)理數(shù)為止是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（23-24九年級(jí)·上海普陀·期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2x2【答案】2【分析】根據(jù)配方法化為平方差的形式，進(jìn)而因式分解，即可求解．【詳解】解：2=2=2=2=2x?故答案為：2x?【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24九年級(jí)·上海浦東新·期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：2x【答案】(【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．【詳解】解：原式=2=2(=2==(2【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法和平方差公式法進(jìn)行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．【變式6-3】（23-24九年級(jí)·上海浦東新·階段練習(xí)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2【答案】2【分析】先配方，再采用平方差公式進(jìn)行分解.【詳解】解：原式=2=2=2=2=2=2【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，熟練掌握配方法與平方差公式是解題的關(guān)鍵.【題型7利用配方法確定三角形形狀】【例7】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）選取二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)中的兩項(xiàng)，配成完全平方式的過(guò)程叫作配方．例如①選取二次項(xiàng)和一次項(xiàng)配方：x2?4x+2=(x?2)2根據(jù)上述材料解決下面問(wèn)題：（1）寫(xiě)出x2（2）已知x2+y（3）已知a、b、c為三條線(xiàn)段，且滿(mǎn)足14a2+b2+c【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）1；（3）不能?chē)扇切?，理由詳?jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)配方的概念，分別對(duì)一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行配方；（2）根據(jù)x2（3）將原式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出a、b、c之間的等量關(guān)系，從而進(jìn)行判斷．【詳解】（1）x2?8x+4=x（2）∵x∴(x+∴x=?1，y=2．∴x（3）不能，理由如下：原式變形：14a∴(4a即(2a?b)2∴b=2a，c=3a，3b=2c．∴a+b=3a=c．∴a、b、c三條線(xiàn)段不能?chē)扇切危军c(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，根據(jù)題意理解新概念并掌握整式的運(yùn)算，求解出未知數(shù)或者他們之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·江蘇·單元測(cè)試）已知三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿(mǎn)足a2?4b=7，b2A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．無(wú)法確定【答案】A【詳解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形為等腰三角形．故選A．點(diǎn)睛：本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的進(jìn)行因式分解．【變式7-2】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·課后作業(yè)）已知a，b，c是△ABC的三邊，若a，b，c滿(mǎn)足a2－6a＋b2－8b＋c?5＋25＝0，則△ABC是三角形；若a，b，c滿(mǎn)足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，則△ABC是三角形．【答案】直角;等邊.【分析】把25分成9、16，利用配方法把a(bǔ)2－6a＋b2－8b＋c?5＋25＝0改寫(xiě)為(a-3)2+(b-4)2+c?5=0，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，根據(jù)勾股定理逆定理判斷即可；利用配方法把a(bǔ)2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0改寫(xiě)為(a-b)2+(b-c)2+(a-c)【詳解】∵a2－6a＋b2－8b＋c?5∴(a-3)2+(b-4)2+c?5∴a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形；∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a=b，b=c，a=c，∴a=b=c，∴△ABC是等邊三角形.故答案為直角；等邊.【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用、勾股定理逆定理、非負(fù)數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是注意配方法的步驟,在變形的過(guò)程中不要改變式子的值.【變式7-3】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）先閱讀，再解決問(wèn)題，例題：若m2+2mn+2n解：∵m∴(∴m+n∴n=3，(1)若x2+2y(2)已知ΔABC的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+(3)根據(jù)以上的方法是說(shuō)明代數(shù)式：x2【答案】(1)14(2)△ABC是等邊三角形；(3)答案見(jiàn)解析．【分析】（1）將原式配方得(x?y)2（2）將原式配方得(a?3)2+(b?3)（3）利用配方法可以對(duì)式子x2【詳解】（1）解：x2∴x?y∴x∴x（2）解：a==0，∴a∴ΔABC（3）解：∵==(故x2【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值、偶次方，解題的關(guān)鍵是明確如何運(yùn)用配方法化簡(jiǎn)題目中所求的問(wèn)題，根據(jù)三角形的三邊可以判斷三角形的形狀．【題型8利用配方法求幾何圖形面積最值】【例8】（23-24九年級(jí)·福建泉州·階段練習(xí)）閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，∵a?b2=a?2ab(1)當(dāng)x>0時(shí)，則x+1(2)）若y=x2+7x+11(3)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形

【答案】(1)2；(2)y最小值為4；(3)25．【分析】（1）當(dāng)x>0時(shí)，按照公式a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b（2）將y=x2+7x+11（3）設(shè)S△BOC=x，已知SΔAOB=4，SΔCOD=9，則由等高三角形可知：S△BOC【詳解】（1）當(dāng)x>0時(shí)，x+1x≥2∴當(dāng)x>0時(shí)，x+1故答案為：2；（2）由y=x∵x>?2，∴y=x+2+1當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1x+2，即當(dāng)當(dāng)x=?1時(shí)，y最小值為4；（3）設(shè)S△BOC=x，已知S則由等高三角形可知：S∴x:9=4:∴:S∴四邊形ABCD面積=4+9+x+36當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)取等號(hào)，即四邊形ABCD面積的最小值為25．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同時(shí)本題還考查了分式化簡(jiǎn)和等高三角形的性質(zhì)，本題難度中等略大，屬于中檔題．【變式8-1】（23-24九年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）配方(1)若x2?6x+7=(x+m)2+n≥n(2)如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC以4cm/s的速度移動(dòng).如果P、Q兩點(diǎn)分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(0<t≤6)，當(dāng)t為何值時(shí)，(3)式子3?x【答案】(1)?3，?2；(2)當(dāng)t=3時(shí)，△PBQ的面積最大，最大為36(3)3?【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形面積公式、一元二次方程的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能正確配方；（1）利用配方法即可求解；（2）依題意可知：BQ=4tcm，BP=AB?AP=12?2t(cm)，（3）根據(jù)配方可得x2【詳解】（1）解：∵x∴(x+m)∴m=?3故答案為：?3，?2；（2）解：依題意可知：BQ=4tcm，∴S△PBQ=當(dāng)t=3時(shí)，△PBQ的面積最大，最大為36cm（3）解：∵x∴當(dāng)x=?2時(shí)，x