2024學(xué)年廣西大學(xué)附中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

學(xué)年廣西大學(xué)附中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷2024年11月一、單選題（本大題共8小題）1．若直線與直線垂直，則（）A．8 B．8 C． D．2．已知數(shù)列滿足：，則（

）A．3 B．2 C． D．233．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．4．在長(zhǎng)方體中，已知，，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．若數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn為（

）A． B．C． D．6．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．27．如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（

）

A． B．C． D．8．過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)C，則的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知等差數(shù)列10，7，4，…，則（）A．該數(shù)列的通項(xiàng)公式為B．是該數(shù)列的第13項(xiàng)C．該數(shù)列的前5項(xiàng)和最大D．設(shè)該數(shù)列為，則數(shù)列為等差數(shù)列10．已知直線和圓，則（

）A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)B．存在k使得直線l與直線垂直C．直線l與圓O相交D．若，直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為411．已知雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有公共的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．雙曲線C的離心率為 B．C．當(dāng)P為C與的交點(diǎn)時(shí)， D．的最小值為1三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，若與垂直，則.13．若圓與圓內(nèi)切，則實(shí)數(shù)的值為.14．《莊子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”.已知長(zhǎng)度為的線段PQ，取PQ的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖1），該等邊三角形的面積為，再取的中點(diǎn)，以為邊作等邊三角形（如圖2），圖2中所有的等邊三角形的面積之和為，以此類(lèi)推，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓C經(jīng)過(guò)，，且圓心C在直線上．(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程．16．（1）已知等比數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.17．在六面體中，平面，，且底面為菱形.(1)證明：平面.(2)若，，.求平面與平面所成二面角的正弦值.18．設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線l與橢圓交于兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程：(2)已知直線斜率存在，若AB是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，且，求證：為定值.19．已知數(shù)列滿足：，.(1)若，求證：為等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.(3)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案1．【答案】A【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得，故選：A2．【答案】A【詳解】由，，則，解得，由，解得.故選：A.3．【答案】D【詳解】依題意，雙曲線的一條漸近線方程為，所以.故選：D4．【答案】C【詳解】在長(zhǎng)方體中,以點(diǎn)為原點(diǎn),分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，則，，，，可得,則，則直線與所成角的余弦值為.故選：C.5．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.6．【答案】A【詳解】橢圓得，，，設(shè)，，則，，，，，，即．故選：A．7．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以?故選：C8．【答案】B【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)作于，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于，設(shè)，因?yàn)椋?，所以，所以，在中，，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，又由，可得，所以，所以，所以，所?故選B.9．【答案】ABD【詳解】依題意，所以，故A正確；由，得，故B正確；由，得，由，得，所以該數(shù)列的前4項(xiàng)和最大，故C不正確；而，則，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D正確.故選：ABD.10．【答案】BC【詳解】【分析】利用直線系方程求出直線所過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)判斷A、C；求出使得直線與直線垂直的值判斷B；根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)可判斷D.【詳解】解：對(duì)于A、C，由，得，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)橹本€恒過(guò)定點(diǎn)，而，即在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，故C正確；對(duì)于B，直線的斜率為，則當(dāng)時(shí)，滿足直線與直線垂直，故B正確；對(duì)于D，時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意中的點(diǎn)求出雙曲線方程，結(jié)合離心率的定義即可判斷A；根據(jù)雙曲線的漸近線，結(jié)合圖形即可判斷B；根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可判斷C；由兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】A：由題意，，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)代入得，所以雙曲線方程為，得其離心率為，故A正確；B：由A選項(xiàng)的分析知，雙曲線的漸近線方程為，如圖，，所以，得，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)P為雙曲線和橢圓在第一象限的交點(diǎn)時(shí)，由橢圓和雙曲線的定義知，，解得，又，在中，由余弦定理得，故C正確；D：設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD.12．【答案】【詳解】由題意與垂直，則，解得，所以，則.故答案為：.13．【答案】【詳解】，故圓心為，半徑為3，的圓心為，半徑為1，因?yàn)閮蓤A內(nèi)切，故，即，解得.故答案為：14．【答案】/【詳解】由題可得，，從第2個(gè)等邊三角形起，每個(gè)三角形的面積為前一個(gè)三角形面積的，故每個(gè)正三角形的面積可構(gòu)成一個(gè)以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.故答案為：.15．【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）線段的中點(diǎn)，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，因此圓C的圓心，半徑，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）點(diǎn)到直線的距離為2，即直線與圓C相切；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，由，解得，因此方程為，所以圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程為或.16．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，，解得，，所以.（2）因?yàn)?，則，所以，則數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為23，公差為，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以.17．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以.又平面ABCD，平面ABCD，所以.因?yàn)?，平面，所以平?（2）由題意得，.以菱形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，.所以，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.易知平面的一個(gè)法向量為，則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.18．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為，則，所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）由（1）知，，因?yàn)橹本€的斜率存在，設(shè)，即，設(shè)，由，得，則，所以.因?yàn)?，所以，?/p>