湖北省新八校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析

2024-2025湖北省“新八校協(xié)作體”高二年級12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知空間向量，，若與垂直，則等于(

)A. B. C.3 D.2.橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為

A. B. C.2 D.43.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加比賽，那么互斥且不對立的兩個(gè)事件是(

)A.至少有1名女生與全是女生 B.至少有1名女生與全是男生

C.恰有1名女生與恰有2名女生 D.至少有1名女生與至多有1名男生4.已知一組數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別為80，21，若向這組數(shù)據(jù)中再添加一個(gè)數(shù)據(jù)80，數(shù)據(jù)，，，80的平均數(shù)和方差分別為，，則(

)A. B. C. D.5.在直三棱柱中，，，E為的中點(diǎn)，則與AE所成角的余弦值是(

)A. B. C. D.6.過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且M恰為線段AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率為(

)A. B. C. D.7.已知圓，圓，M，N分別是圓，上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為(

)A. B. C. D.8.在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，點(diǎn)若直線l經(jīng)過點(diǎn)，且以為方向向量，P是直線l上的任意一點(diǎn)，則直線l的方程為若平面經(jīng)過點(diǎn)，且以為法向量，P是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則平面的方程為利用以上信息解決下面的問題：已知平面的方程為，直線l是平面與平面的交線，則直線l與平面所成角的正弦值為(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，甲每次命中概率為，乙每次命中概率為，甲和乙是否命中互不影響，甲、乙各投籃一次，則(

)A.兩人都命中的概率為 B.恰好有一人命中的概率為

C.兩人都沒有命中的概率為 D.至少有一人命中的概率為10.設(shè)動(dòng)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則下列說法正確的有(

)A.直線l過定點(diǎn) B.當(dāng)最大時(shí)，

C.當(dāng)最小時(shí)， D.當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為11.立體幾何中有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，半正多面體的棱長為，棱數(shù)為24，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有(

)

A.平面GHMN

B.若E是棱MN的中點(diǎn)，則HE與平面AFG平行

C.若四邊形ABCD的邊界及其內(nèi)部有一點(diǎn)P，，則點(diǎn)P的軌跡長度為

D.若E為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，則HE與平面HGF所成角的正弦值的范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)A到直線BC的距離為

.13.若曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作一條漸近線的垂線，垂足為Q，延長與雙曲線的右支相交于點(diǎn)P，若，則雙曲線C的離心率為

.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分已知圓C的圓心在y軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;過點(diǎn)的直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程.16.本小題15分求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：過點(diǎn)，且與雙曲線的離心率相等;兩頂點(diǎn)間的距離為8，漸近線方程為17.本小題15分

半程馬拉松是一項(xiàng)長跑比賽項(xiàng)目，長度為公里，為全程馬拉松距離的一半世紀(jì)50年代，一些賽事組織者設(shè)立了半程馬拉松，自那時(shí)起，半程馬拉松的受歡迎程度大幅提升.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對“半程馬拉松”相關(guān)知識的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡的人舉辦了一次“半程馬拉松”知識競賽，將參與知識競賽者按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)參與知識競賽者的平均年齡;現(xiàn)從以上各組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“半程馬拉松”宣傳使者.若有甲年齡，乙年齡兩人已確定入選為宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選為組長的概率;若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計(jì)年齡在內(nèi)的所有參與知識競賽者的年齡的平均數(shù)和方差.18.本小題17分如圖1，在直角梯形ABCD中，已知，，將沿BD翻折，使平面平面如圖2，BD的中點(diǎn)為求證：平面若AD的中點(diǎn)為G，在線段AC上是否存在點(diǎn)H，使得平面GHB與平面BCD夾角的余弦值為若存在，求出點(diǎn)H的位置;若不存在，請說明理由.19.本小題17分有一個(gè)半徑為8的圓形紙片，設(shè)紙片上一定點(diǎn)F到紙片圓心E的距離為，將紙片折疊，使圓周上某一點(diǎn)M與點(diǎn)F重合，每一次折疊，都留下一條折痕，當(dāng)M取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與ME的交點(diǎn)P形成的軌跡記為曲線C，以點(diǎn)F，E所在的直線為x軸，線段EF的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.求曲線C的方程;若直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn).ⅰ當(dāng)k為何值時(shí)，為定值，并求出該定值;ⅱ過A，B兩點(diǎn)分別作曲線C的切線，當(dāng)兩條切線斜率均存在時(shí)，若其交點(diǎn)Q在直線上，探究：此時(shí)直線l是否過定點(diǎn)?若過，求出該定點(diǎn);若不過，請說明理由.答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了兩個(gè)空間向量的垂直關(guān)系，考查了模長求解，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)向量垂直的條件列式求出n的值，最后運(yùn)用求模公式求|

【解答】

解：因?yàn)?，?/p>

與垂直，所以，

解得，

所以，

所以|，

故選：2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．由題意可得，，求出a，b的值，結(jié)合長軸長是短軸長的兩倍列式求得m值．

【解答】解：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，

，，則，

又長軸長是短軸長的兩倍，

，即

故選D3.【答案】C

【解析】【分析】本題考查互斥事件與對立事件，解題的關(guān)鍵是理解兩個(gè)事件的定義及兩事件之間的關(guān)系，屬于基本概念型題．

互斥事件是兩個(gè)事件不包括共同的事件，對立事件首先是互斥事件，再就是兩個(gè)事件的和事件是全集，由此規(guī)律對四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可得到答案．【解答】

解：“從中任選2名同學(xué)參加比賽”所包含的基本情況有：兩男、兩女、一男一女.

至少有1名女生與全是女生不是互斥事件，故A錯(cuò)誤;

至少有1名女生與全是男生是對立事件，故B錯(cuò)誤;

恰有1名女生與恰有2名女生是互斥不對立事件，故C正確;

至少有1名女生與至多有1名男生是相同事件，故D錯(cuò)誤.

故選：4.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了平均數(shù)與方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

利用平均數(shù)與方差的性質(zhì)直接求解即可.

【解答】

解：由題得，所以，則新數(shù)據(jù)平均數(shù)為故A，B錯(cuò)誤;

且由題意，所以，

則新數(shù)據(jù)方差為

故D正確.故選：5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了異面直線所成角的計(jì)算，屬于中檔題．

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值．【解答】

解：以為原點(diǎn)，以，，為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

，

則，，，，

所以，，所以，，

故與AE所成角的余弦值為

故選：6.【答案】D

【解析】【分析】本題考查橢圓中點(diǎn)差法的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．

由直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法能求出直線l的斜率．【解答】解：顯然在橢圓內(nèi)，

當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l方程為時(shí)，，，或，，

不是線段AB的中點(diǎn)，所以直線l的斜率存在，

設(shè)，，則，

兩式相減并化簡得，

又，，代入得，解得，故選7.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查圓的對稱圓方程、與圓有關(guān)的最值問題，兩點(diǎn)距離公式的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，求出圓

關(guān)于x軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓與圓

的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即為

的最小值．

【解答】

解：圓，圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑為，如圖：

圓關(guān)于x軸的對稱圓為圓，連接，交x軸于P，交圓于M，交圓于N，此時(shí)，最小，最小值為，故選：8.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查利用空間向量求直線與平面所成的角，考查閱讀理解能力，屬于中檔題.

根據(jù)平面

的方程

，得

平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，求得，由此可求出直線

l

與平面

所成角的正弦值.

【解答】

解：平面的方程為，平面的一個(gè)法向量，

同理，可得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，

則，取，

設(shè)直線l與平面所成角為，

則，，

故選9.【答案】AB

【解析】【分析】

本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

按照獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式和對立事件的概率計(jì)算公式

，求解即可．

【解答】解：設(shè)事件A為“甲中靶”，設(shè)事件B為“乙中靶”，這兩個(gè)事件相互獨(dú)立，

對于A，都中靶的概率為，故A正確；

對于B，恰好有一人中靶的概率為

，故B正確；

對于C，兩人都不中靶的概率為

，故C錯(cuò)誤；

對于D，至少一人中靶，其對立事件為兩人都不中靶，

故至少一人中靶的概率為

，故D錯(cuò)誤；10.【答案】ABC

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題.

對各選項(xiàng)逐一判定正誤，即可得到答案.

【解答】

解：對于選項(xiàng)A，動(dòng)直線，可得：，由得，即直線l過定點(diǎn)，即選項(xiàng)A正確;

對于選項(xiàng)B，當(dāng)取得最大值時(shí)，直線l過圓心，則，得，選項(xiàng)B正確;

對于選項(xiàng)C，當(dāng)取得最小值時(shí)，直線l與和的連線垂直，經(jīng)過和的直線的斜率為1，

故直線l的斜率為，故，選項(xiàng)C正確：

對于選項(xiàng)D，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)，直線l與和的連線垂直，則，

由余弦定理可得，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

故選：11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查分析問題能力，將原幾何體補(bǔ)形成正方體是關(guān)鍵，屬于中檔題．

將該半正多面體補(bǔ)成正方體，即可求出正方體的棱長，逐項(xiàng)求解，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【解答】

解：“阿基米德體”是由如圖所示得到的，即“阿基米德體”的所有頂點(diǎn)都是正方體的棱的中點(diǎn).

對于A選項(xiàng)，由圖可知平面GHMN，A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易知平面平面DBHN，

而HE與平面DBHN相交，故HE與平面AFG不平行，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C選項(xiàng)，半正多面體的棱長為，所以正方體的棱長為4，

在正方體中，平面ABCD，得，故，

所以點(diǎn)P的軌跡是以Q為圓心，2為半徑的圓，

又點(diǎn)P在四邊形ABCD的邊界及其內(nèi)部，所以點(diǎn)P的軌跡是劣弧AB，

所以點(diǎn)P的軌跡長度為，故C正確；

D選項(xiàng)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，則，

所以，，，

設(shè)平面HGF的法向量為，HE與平面HGF所成角為，

則，取，則，

，

由，可得，故D選項(xiàng)正確.

故選12.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查點(diǎn)到直線的距離的向量求法，屬于基礎(chǔ)題.

先求出在上的投影長度，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【解答】

解：由題意可得，，，

則點(diǎn)A到直線BC的距離為

故答案為：13.【答案】

【解析】【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系及判定，屬于難題.

由解析式可知曲線為半圓，直線恒過；畫出半圓的圖象，找到直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界狀態(tài)，利用圓的切線的求解方法和兩點(diǎn)連線斜率公式求得斜率的取值范圍.【解答】解：如圖，化簡曲線得：，表示以為圓心，1為半徑的圓的上半圓.

直線經(jīng)過定點(diǎn)且解率為k，半圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點(diǎn)為，

當(dāng)直線的解率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率時(shí)，直線與半圓有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，

由點(diǎn)到直線的距離公式，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)調(diào)足，

解之得，即，

又因?yàn)橹本€AB的解率，所以直線的解率k的范圍為

故答案為：

14.【答案】【解答】

解：雙曲線的方程為，一條漸近線方程為，

設(shè)，可得，若，則，

由雙曲線的定義可得，在直角三角形中，，，

在中，

，即有，

即，即，

則故答案為：

【解析】本題主要考查雙曲線的離心率，屬于偏難題.

在直角三角形中，，，在中，

，即可得.15.【答案】解：設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由題意可得，解得，所以，圓的半徑為，

因此，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

當(dāng)時(shí)，圓心C到直線l的距離為，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)，圓心C到直線l的距離為1，符合題意;

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即，則，解得，此時(shí)，直線l的方程為

綜上所述，直線l的方程為或

【解析】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓相交的弦長

設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由題意可得，求出b的值，從而可得圓的半徑，即可求解；

結(jié)合弦長求出圓心到直線的距離，再分直線斜率存在和不存在進(jìn)行求解即可。16.【答案】解：由題意可知：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且，

雙曲線的離心率為，

則，得，故，

所以雙曲線的方程為；由題意知，

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，得，

所以雙曲線的方程為；

當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，得，

所以雙曲線的方程為

綜上所述，雙曲線的方程為或

【解析】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題目.

由題意可知：雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且，結(jié)合離心率求解即可；

由題意知，討論焦點(diǎn)位置求解即可17.【答案】解：設(shè)參與知識競賽者的平均年齡為，

則

由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為甲，B，C，D，

第五組應(yīng)抽取人，記為乙，F(xiàn)，

對應(yīng)的樣本空間為：，

設(shè)事件M為“甲、乙兩人至少一人被選上”，

則，

所以

設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，

則，，，，

設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，

則，

，

據(jù)此估計(jì)第四組和第五組所有人的年齡的平均數(shù)為38，方差為

【解析】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)平均數(shù)、方差、概率、古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的公式計(jì)算即可求解；

用列舉法列出所有的基本事件，根據(jù)古典概型的公式即可求解所求事件的概率；

根據(jù)平均數(shù)，方差的公式即可求解．18.【答案】解：證明：因?yàn)椋珺D的中點(diǎn)為O，所以，

又因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，平面平面，平面ABD，

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面BCD；

取DC的中點(diǎn)為M，連接MO，則，由圖1直角梯形可知，ABMD為正方形，

，，，，

由平面BCD，可知OD，OM，OA兩兩互相垂直，