四川省眉山市仁壽縣 新科高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

仁壽縣2023級(jí)高二上學(xué)期半期聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、選擇題（本題共8道小題，每小題0分，共0分）1.已知直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.2.甲、乙、丙三位同學(xué)在學(xué)校舉辦的建黨100周年黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)，頒獎(jiǎng)時(shí)甲、乙、丙三位同學(xué)隨機(jī)站成一排，則甲乙兩人恰好相鄰而站的概率為（）A. B. C. D.3.已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.4.設(shè)，則兩圓與的位置關(guān)系不可能是（）A.相切 B.相交 C.內(nèi)切和內(nèi)含 D.外切和外離5.甲、乙兩個(gè)雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)概率分別是0.9和0.8，飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為（）A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.986.已知直線與直線平行，且在軸上的截距為，則的值為（）A B. C. D.7.已知向量，，則下列向量中，使能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量是（）A. B. C. D.8.在正三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形的邊長(zhǎng)為1，則與側(cè)面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.二、多選題（本題共3道小題，每小題0分，共0分）9.已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A如果，那么，B.如果與互斥，那么，C.如果與相互獨(dú)立，那么，D.如果與相互獨(dú)立，那么，10.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.空間向量，若，則B.若空間四個(gè)點(diǎn)，，則三點(diǎn)共線C.已知向量，若，則為鈍角D.任意向量滿足11.圓，直線，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓關(guān)于直線對(duì)稱B.的最大值是9C.從點(diǎn)向圓引切線，切線長(zhǎng)最小值是3D.直線被圓截得的弦長(zhǎng)取值范圍為第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共3道小題，每小題0分，共0分）12.某人投籃命中的概率為0.3，投籃15次，最有可能命中______次．13.直線xcosθ＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是________．14.如圖，在正四棱錐中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．若，則實(shí)數(shù)_____四、解答題（本題共5道小題，第1題0分，第2題0分，第3題0分，第4題0分，第5題0分，共0分）15.已知直線和直線.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.16.從2名男生(記為和)和3名女生(記為，，和)組成的總體中，任意依次抽取2名學(xué)生.（1）分別寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間；（2）在（1）中的兩種抽樣方式下，分別求出抽到的2人為1名男生和1名女生的概率.17.如圖，已知長(zhǎng)方體中，，，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，交于（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求直線與平面所成角的正弦值．18.在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）求BC邊上的中線AD的所在直線方程；（2）求△ABC的外接圓O被直線l：截得的弦長(zhǎng)．19.如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且．（1）用向量表示向量；（2）求證：共面；（3）當(dāng)何值時(shí)，．仁壽縣2023級(jí)高二上學(xué)期半期聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷第I卷（選擇題）一、選擇題（本題共8道小題，每小題0分，共0分）1.已知直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得直線的斜率為，解方程即可得出答案.【詳解】已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為，則.故選：B.2.甲、乙、丙三位同學(xué)在學(xué)校舉辦的建黨100周年黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)中獲得優(yōu)勝獎(jiǎng)，頒獎(jiǎng)時(shí)甲、乙、丙三位同學(xué)隨機(jī)站成一排，則甲乙兩人恰好相鄰而站的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出甲、乙、丙三位同學(xué)隨機(jī)站成一排的排法總數(shù)，再計(jì)算甲乙兩人恰好相鄰而站的排法數(shù)，利用古典概率公式即可求解.【詳解】甲、乙、丙三位同學(xué)隨機(jī)站成一排有：（甲、乙、丙），（甲、丙、乙），（乙、甲、丙），（乙、丙、甲），（丙、甲、乙），（丙、乙、甲），共種甲乙兩人恰好相鄰而站有：（甲、乙、丙），（乙、甲、丙），（丙、甲、乙），（丙、乙、甲）共種，所以甲乙兩人恰好相鄰而站的概率為，故選：D.3.已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出，再利用空間向量的夾角公式求解即可【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?，，且，所以，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，故選：A4.設(shè)，則兩圓與的位置關(guān)系不可能是（）A.相切 B.相交 C.內(nèi)切和內(nèi)含 D.外切和外離【答案】D【解析】【分析】求出兩圓圓心和半徑，計(jì)算圓心距與半徑比較即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為4；圓的圓心為，半徑為．兩圓心之間的距離為，又因?yàn)?，所以兩圓不可能外切和外離．故選：D．5.甲、乙兩個(gè)雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別是0.9和0.8，飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為（）A.0.02 B.0.28 C.0.72 D.0.98【答案】D【解析】【分析】設(shè)事件表示“甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)”，事件表示“乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)”，飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為，從而即可求解.【詳解】設(shè)事件表示“甲雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)”，事件表示“乙雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)”，因?yàn)榧滓覂蓚€(gè)雷達(dá)獨(dú)立工作，它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)概率分別是和，所以，所以飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為.故選：D6.已知直線與直線平行，且在軸上的截距為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：根據(jù)兩條直線平行，得到的等量關(guān)系，根據(jù)直線在軸上的截距，可得所滿足的等量關(guān)系式，聯(lián)立方程組求得結(jié)果.詳解：因?yàn)橹本€與直線平行，所以，又直線在軸上的截距為，所以，解得，所以，所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有兩條直線平行時(shí)系數(shù)所滿足的條件，以及直線在y軸上的截距的求法，根據(jù)題中的條件，列出相應(yīng)的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.7.已知向量，，則下列向量中，使能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共面基本定理只需無(wú)解即可滿足構(gòu)成空間向量基底，據(jù)此檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以A中的向量不能與，構(gòu)成基底；因?yàn)?，所以B中的向量不能與，構(gòu)成基底；對(duì)于，設(shè)，則，解得，，所以，故，，為共面向量，所以C中的向量不能與，構(gòu)成基底；對(duì)于，設(shè)，則，此方程組無(wú)解，所以，，不共面，故D中的向量與，可以構(gòu)成基底.故選：D8.在正三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形邊長(zhǎng)為1，則與側(cè)面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作的中點(diǎn)，連接，，，根據(jù)題意可知與側(cè)面所成角即為，根據(jù)已知條件求解即可.【詳解】作的中點(diǎn)，連接，，，根據(jù)題意，易得平面，故與側(cè)面所成角即為，因側(cè)棱長(zhǎng)為，底面三角形的邊長(zhǎng)為1，所以，，故，即與側(cè)面所成角的正弦值為.故選：D.二、多選題（本題共3道小題，每小題0分，共0分）9.已知事件，，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.如果，那么，B.如果與互斥，那么，C.如果與相互獨(dú)立，那么，D.如果與相互獨(dú)立，那么，【答案】BD【解析】【分析】A選項(xiàng)在前提下，計(jì)算出，，即可判斷；B選項(xiàng)在與互斥前提下，計(jì)算出，，即可判斷；C、D選項(xiàng)在與相互獨(dú)立前提下，計(jì)算出，，，，即可判斷.【詳解】解：A選項(xiàng)：如果，那么，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：如果與互斥，那么，，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：如果與相互獨(dú)立，那么，，故D選項(xiàng)正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查在包含關(guān)系，互斥關(guān)系，相互獨(dú)立的前提下的和事件與積事件的概率，是基礎(chǔ)題.10.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.空間向量，若，則B.若空間四個(gè)點(diǎn)，，則三點(diǎn)共線C.已知向量，若，則為鈍角D.任意向量滿足【答案】AB【解析】【分析】由空間向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)可判斷ACD，由空間向量的基本定理與共線定理可判斷B【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，則，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，則，即，又與有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)于C：，若為鈍角：則，且與不共線，由得，當(dāng)時(shí)，，即，由與不共線得，于是得當(dāng)且時(shí)，為鈍角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：是的共線向量，而是的共線向量，故D錯(cuò)誤，故選：AB11.圓，直線，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓關(guān)于直線對(duì)稱B.的最大值是9C.從點(diǎn)向圓引切線，切線長(zhǎng)的最小值是3D.直線被圓截得的弦長(zhǎng)取值范圍為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)不在直線上判斷A；根據(jù)判斷B；根據(jù)時(shí)，切線長(zhǎng)最小求解判斷C；根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式判斷D.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，圓，∴圓心，半徑，∵，∴圓不關(guān)于直線對(duì)稱，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由圓心到直線的距離為：，的最小值是，故，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，從點(diǎn)向圓引切線，當(dāng)時(shí)，切線長(zhǎng)最小，最小值是，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)在圓C內(nèi)，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，所截弦長(zhǎng)為過(guò)點(diǎn)和圓心的圓的直徑，即弦長(zhǎng)的最大值為8，最短的弦長(zhǎng)為垂直與該直徑的弦長(zhǎng)，和圓心的距離為，最短弦長(zhǎng)為，故直線被圓截得的弦長(zhǎng)取值范圍為，D正確．故選：CD．第II卷（非選擇題）三、填空題（本題共3道小題，每小題0分，共0分）12.某人投籃命中的概率為0.3，投籃15次，最有可能命中______次．【答案】4【解析】【分析】易知投籃命中次數(shù)服從二項(xiàng)分布，設(shè)最有可能命中m次，于是，解出不等式即可得到答案.【詳解】投籃命中次數(shù)，設(shè)最有可能命中次，則，，．最有可能命中4次．故答案為：4.13.直線xcosθ＋y＋2＝0的傾斜角的范圍是________．【答案】【解析】【詳解】由題知k＝－cosθ，故k∈，結(jié)合正切函數(shù)的圖象，當(dāng)k∈時(shí)，直線傾斜角α∈，當(dāng)k∈時(shí)，直線傾斜角α∈，故直線的傾斜角的范圍是∪.14.如圖，在正四棱錐中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．若，則實(shí)數(shù)_____【答案】4【解析】【分析】連結(jié)AC，交BD于O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出實(shí)數(shù)λ．【詳解】解：連結(jié)AC，交BD于O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA＝AB＝2，則A（2，0，0），D（0，，0），P（0，0，2），M（，0，），B（0，2，0），（0，﹣22，0），設(shè)N（0，b，0），則（0，b，0），∵λ，∴﹣2，∴b，∴N（0，，0），（，，），（，0），∵M(jìn)N⊥AD，∴10，解得實(shí)數(shù)λ＝4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查空間向量、正四棱錐的結(jié)構(gòu)牲等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．四、解答題（本題共5道小題，第1題0分，第2題0分，第3題0分，第4題0分，第5題0分，共0分）15.已知直線和直線.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）0或2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直的公式，即可求解；（2）根據(jù)兩直線平行，，求解，再代回直線驗(yàn)證.【小問(wèn)1詳解】若，則，解得或2；【小問(wèn)2詳解】若，則，解得或1.時(shí)，，滿足，時(shí)，，此時(shí)與重合，所以.16.從2名男生(記為和)和3名女生(記為，，和)組成的總體中，任意依次抽取2名學(xué)生.（1）分別寫出有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間；（2）在（1）中的兩種抽樣方式下，分別求出抽到的2人為1名男生和1名女生的概率.【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，抽到的2人為1名男生和1名女生的概率為；不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，抽到的2人為1名男生和1名女生的概率為.【解析】【分析】（1）用列舉法，分別寫出兩種抽取方法對(duì)應(yīng)基本事件，即可得出結(jié)果；（2）先列舉出兩種抽樣方式下，“抽到的2人為1名男生和1名女生”所包含的基本事件，確定基本事件個(gè)數(shù)，再由古典概型的概率計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；共包含個(gè)基本事件；不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本空間為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；共包含個(gè)基本事件；（2）由（1）可得，兩種抽樣方式下，抽到的2人為1名男生和1名女生，所包含的基本事件都是：，，，，，，，，，，，；共個(gè)，有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，抽到的2人為1名男生和1名女生的概率為；不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣下，抽到的2人為1名男生和1名女生的概率為.17.如圖，已知長(zhǎng)方體中，，，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，交于（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明即可；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，求出法向量，利用向量法求解解．（3）利用向量法求解即可．【小問(wèn)1詳解】如圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，因?yàn)樵谏希士稍O(shè)，又，所以，解得，所以，，，即，平面．