新教材2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用分層作業(yè)北師大版選擇性必修第二冊(cè)

第一章§4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用A級(jí)必備學(xué)問(wèn)基礎(chǔ)練1.[2024湖北鄂州中學(xué)校聯(lián)考期中]某人從2024年起,每年1月1日到銀行新存入2萬(wàn)元(一年定期),若年利率為2%保持不變,且每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期,到2033年1月1日將之前全部存款及利息全部取回,他可取回的錢數(shù)約為()(單位:萬(wàn)元)參考數(shù)據(jù):1.029≈1.195,1.0210≈1.219,1.0211≈1.243.A.2.438 B.19.9 C.22.3 D.24.32.[2024江西吉安三中階段練習(xí)]某公司有10名股東,其中任何六名股東所持股份之和不少于總股份的一半,則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是()A.公司持股最少的5位股東所持股份之和可以等于總股份的5B.公司持股較多的5位股東所持股份均不少于總股份的1C.公司持股最大的股東所持股份不超過(guò)總股份的1D.公司持股較多的2位股東所持股份之和可以超過(guò)總股份的13.某市利用省運(yùn)會(huì)的契機(jī),激勵(lì)全民健身,從2024年7月起向全市投放A,B兩種型號(hào)的健身器材.已知7月投放A型健身器材300臺(tái)、B型健身器材64臺(tái),安排8月起,A型健身器材每月的投放量均為a臺(tái),B型健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月底該市A,B兩種健身器材投放總量不少于2000臺(tái),則a的最小值為()A.243 B.172 C.122 D.744.某病毒探討所為了更好地探討某種病毒,安排改建十個(gè)試驗(yàn)室,每個(gè)試驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi),每個(gè)試驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣,設(shè)備費(fèi)從第一到第十試驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列,已知第五試驗(yàn)室比其次試驗(yàn)室的改建費(fèi)用高28萬(wàn)元,第七試驗(yàn)室比第四試驗(yàn)室的改建費(fèi)用高112萬(wàn)元,并要求每個(gè)試驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過(guò)1100萬(wàn)元,則該探討所改建這十個(gè)試驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多為()A.2806萬(wàn)元 B.2906萬(wàn)元C.3106萬(wàn)元 D.3206萬(wàn)元5.[2024四川成都七中階段練習(xí)]有關(guān)數(shù)據(jù)顯示,2015年我國(guó)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾約為400萬(wàn)噸.有專家預(yù)料,假如不實(shí)行措施,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾年平均增長(zhǎng)率將達(dá)到50%.由此可知,假如不實(shí)行有效措施,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過(guò)4000萬(wàn)噸的年份是()(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)A.2024 B.2024 C.2024 D.20246.某運(yùn)動(dòng)員一腳把球踢到32米高處,從今處起先計(jì)算,假設(shè)足球每次著地后又彈回到原來(lái)高度的一半再落下,則第5次著地時(shí),該球所經(jīng)過(guò)的總路程為米.

7.有純酒精a(a>1)升,從中取出1升,再用水加滿,然后再取出1升,再用水加滿,如此反復(fù)進(jìn)行,則第九次和第十次共取出純酒精升.

8.某抗洪指揮部接到預(yù)報(bào),24小時(shí)后有一洪峰到達(dá),為確保平安,指揮部確定在洪峰到來(lái)之前臨時(shí)筑一道堤壩作為其次道防線.經(jīng)計(jì)算,除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外,還需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車,平均每輛車工作24小時(shí).從各地緊急抽調(diào)的同型號(hào)翻斗車目前只有一輛投入運(yùn)用,每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達(dá),一共可調(diào)集25輛,那么在24小時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成其次道防線?B級(jí)關(guān)鍵實(shí)力提升練9.據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)記載:我國(guó)古代一座9層塔掛了126盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都多d(d為常數(shù))盞,底層的燈數(shù)是頂層的13倍,則塔的頂層共有燈()A.2盞 B.3盞 C.4盞 D.5盞10.[2024湖北十堰高二階段練習(xí)]從2015年起到2024年,某人每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲(chǔ)蓄,若年利率為p且保持不變,并約定每年到期,存款的本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年的定期,到2024年5月1日將全部存款及利息全部取出,則可取出錢(單位:元)的總數(shù)為()A.a(1+q)4 B.a(1+q)5C.ap[(1+p)4-(1+p)] D.ap[(1+p)5-(111.[2024四川校聯(lián)考模擬預(yù)料]“勾股樹(shù)”,也被稱為畢達(dá)哥拉斯樹(shù),是依據(jù)勾股定理所畫出來(lái)的一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的樹(shù)形圖形.如圖所示,以正方形ABCD的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個(gè)等腰直角三角形,再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長(zhǎng)向外作兩個(gè)正方形,如此接著,若共得到127個(gè)正方形,且AB=8,則這127個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為()A.480+2242 B.224+2242C.60+282 D.56+28212.我們知道,當(dāng)償還銀行貸款時(shí),“等額本金還款法”是一種很常見(jiàn)的還款方式,其本質(zhì)是將本金平均安排到每一期進(jìn)行償還,每一期的還款金額由兩部分組成,一部分為每期本金,即貸款本金除以還款期數(shù),另一部分是利息,即貸款本金與已還本金總額的差乘利率.自主創(chuàng)業(yè)的高校生小華向銀行貸款的本金為48萬(wàn)元,小華跟銀行約定,依據(jù)等額本金還款法,每個(gè)月還一次款,20年還清,貸款月利率為0.4%,設(shè)小華第n個(gè)月的還款金額為an元,則an=()A.2192 B.3912-8nC.3920-8n D.3928-8n13.如圖,作邊長(zhǎng)為3的正三角形的內(nèi)切圓,在這個(gè)圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形,然后作新三角形的內(nèi)切圓……如此下去,前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為.

14.在我國(guó)古代聞名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述:今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊,齊去長(zhǎng)安四百二十里,良馬初日行九十七里,日增一十五里;駑馬初日行九十二里,日減一里;良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬,二馬相逢.兩匹馬在第日相逢.

15.某企業(yè)2024年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元,因設(shè)備老化等緣由,企業(yè)的生產(chǎn)實(shí)力將逐年下降.若不能進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)料從2024年起每年比上一年純利潤(rùn)削減20萬(wàn)元,2024年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造,預(yù)料在未扣除技術(shù)改造資金的狀況下,第n年(2024年為第一年)的利潤(rùn)為5001+12n萬(wàn)元(n為正整數(shù)).(1)設(shè)從2024年起的前n年,若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為An萬(wàn)元,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為Bn萬(wàn)元(須扣除技術(shù)改造資金),求An,Bn的表達(dá)式.(2)依上述預(yù)料,從2024年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年,進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)?C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1200,預(yù)料以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8%,且每年年底賣出100頭牛,設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的安排存欄數(shù)依次為a1,a2,a3,….參考數(shù)據(jù):1.088≈1.8509,1.089≈1.9990,1.0810≈2.1589.(1)寫出一個(gè)公式,表示an+1與an之間的關(guān)系;(2)將(1)中的關(guān)系表示成an+1-k=r(an-k)的形式,其中k,r為常數(shù);(3)求S9=a1+a2+a3+…+a9的值(結(jié)果精確到整數(shù)).17.容器A內(nèi)裝有6升質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水溶液,容器B內(nèi)裝有4升質(zhì)量分?jǐn)?shù)為5%的鹽水溶液,先將A內(nèi)的鹽水倒1升進(jìn)入B內(nèi),再將B內(nèi)的鹽水倒1升進(jìn)入A內(nèi),稱為一次操作;這樣反復(fù)操作n次,A,B容器內(nèi)的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為an,bn.(1)求a1,b1,并證明{an-bn}是等比數(shù)列.(2)至少操作多少次,A,B兩容器內(nèi)的鹽水濃度之差小于1%?(取lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)(3)求an,bn的表達(dá)式.

參考答案§4數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用1.C由題意,2024年存的2萬(wàn)元共存了10年,本息和為2(1+0.02)10萬(wàn)元,2024年存的2萬(wàn)元共存了9年,本息和為2(1+0.02)9萬(wàn)元,……2032年存的2萬(wàn)元共存了1年,本息和為2(1+0.02)萬(wàn)元,所以到2033年1月1日將之前全部存款及利息全部取回,他可取回的錢數(shù)約為2(1+0.02)10+2(1+0.02)9+…+2(1+0.02)=2×1.02×故選C.2.D不妨設(shè)10名股東所持股份為a1≤a2≤…≤a10,總股份為1,因?yàn)?a6≥a1+a2+…+a6≥12,a6≥112,a6的最小值為112,若a6=112,此時(shí)a1+a2+…+a5≤5a又因?yàn)閍1+a2+…+a5≥12-112=512,此時(shí)a1+a2由于a6≥112,且a10≥a9≥a8≥a7≥a6故公司持股較多的5位股東所持股份均不少于總股份的112因?yàn)閍9≥a8≥a7≥a6,所以a1+a2+…+a9≥512+4×112=34,所以a因?yàn)閍1+a2+…+a6≥12,所以a7+a8+a9+a10≤1又因?yàn)閍8≥a7≥a6≥112所以a9+a10≤12-a7-a8≤12故選D.3.D設(shè)B型健身器材這6個(gè)月投放量構(gòu)成數(shù)列{bn},則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)b1=64,公比q=32的等比數(shù)列,其前6項(xiàng)的和S6=64×[1-(32)

6]4.A設(shè)每個(gè)試驗(yàn)室的裝修費(fèi)用為x萬(wàn)元,設(shè)備費(fèi)從第一到第十試驗(yàn)室構(gòu)成的等比數(shù)列為{an}(n=1,2,…,10),公比為q,則a解得q∴a10=a1q9=2×29=210=1024,依據(jù)題意x+1024≤1100,解得x≤76,∴該探討所改建這十個(gè)試驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多為10x+a1+a2+…+a10≤760+2×(即該探討所改建這十個(gè)試驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多須要2806萬(wàn)元.故選A.5.C由題意知,2015年我國(guó)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾約為400萬(wàn)噸,且年平均增長(zhǎng)率為50%,則我國(guó)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾和年份之間符合等比數(shù)列,且公比為1+50%=1.5,2016年我國(guó)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾約為400×(1+50%)=400×1.5(萬(wàn)噸),則第n(n∈N+)年我國(guó)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾約為400×(1+50%)n-2015=400×1.5n-2015萬(wàn)噸,則有400×1.5n-2015>4000,即1.5n-2015>10,兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)得lg1.5n-2015>lg10=1,即(n-2015)lg32>則有n-2015>1lg3-lg2故n>2024.679.∵n∈N+,∴n=2024,故從2024年起先,快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過(guò)4000萬(wàn)噸.故選C.6.92足球第1次落地經(jīng)過(guò)的路程為32;足球第2次落地經(jīng)過(guò)的路程為32+32×12×2=足球第3次落地經(jīng)過(guò)的路程為64+32×122×2=80;足球第4次落地經(jīng)過(guò)的路程為80+32×123×2=88;足球第5次落地經(jīng)過(guò)的路程為88+32×124×2=92.7.1-1a82-1a由題意可知,取出的純酒精數(shù)量是一個(gè)以1為首項(xiàng),1-1a為公比的等比數(shù)列,即:第一次取出的純酒精為1升,其次次取出的純酒精為1-1a升,第三次取出的純酒精為1-1a2升,……第n次取出的純酒精為1-1an-1升,則第九次和第十次共取出的純酒精數(shù)量為a9+a10=1-1a8+1-1a9=1-1a82-1a.8.解從第一輛車投入工作算起各車工作時(shí)間(單位:小時(shí))依次設(shè)為a1,a2,…,a25.由題意可知,此數(shù)列為等差數(shù)列,且a1=24,公差d=-1325輛翻斗車完成的工作時(shí)間為a1+a2+…+a25=25×24+25×12×-13=500(小時(shí)),而須要完成的工作時(shí)間為24×20=480(小時(shí)).∵500>480,∴在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成其次道防線.9.A設(shè)頂層有x盞燈,則最下面有(x+8d)盞,則x+8d=13x,即23d=x,由題意得x+(x+d)+(x+2d)+…+(x+8d)=126,整理得9x+36d=126,所以9×2d3+36d=126,解得d=3,x=2,所以頂層有2盞燈10.D2015年5月1日到銀行存入a元,則一年后存款及利息是a(1+p),則到2024年5月1日存款及利息是a(1+p)4,2016年5月1日到銀行存入a元,則一年后存款及利息是a(1+p),則到2024年5月1日存款及利息是a(1+p)3,2017年5月1日到銀行存入a元,則一年后存款及利息是a(1+p),則到2024年5月1日存款及利息是a(1+p)2,2024年5月1日到銀行存入a元,則一年后存款及利息是a(1+p),則到2024年5月1日存款及利息是a(1+p),到2024年5月1日將全部存款及利息全部取出的總數(shù)為a(1+p)+a(1+p)2+a(1+p)3+a(1+p)4=ap[(1+p)5-(1+p)]故選D.11.A依題意可知,不同邊長(zhǎng)的正方形的個(gè)數(shù),構(gòu)成以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故令1+2+22+…+2n-1=127,即1-2n1即有7種邊長(zhǎng)不同的正方形,又因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)構(gòu)成以8為首項(xiàng),22故邊長(zhǎng)為8的正方形有1個(gè),邊長(zhǎng)為42的正方形有2個(gè),邊長(zhǎng)為4的正方形有4個(gè),邊長(zhǎng)為22的正方形有8個(gè),邊長(zhǎng)為2的正方形有16個(gè),邊長(zhǎng)為2的正方形有32個(gè),邊長(zhǎng)為1的正方形有64個(gè),這127個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和為1×4×8+2×4×42+4×4×4+8×4×22+16×4×2+32×4×2+64×4×1=480+2242.故選A.12.D由題意可知,每月還本金2000元,設(shè)張華第n個(gè)月的還款金額為an元,則an=2000+[480000-(n-1)×2000]×0.4%=3928-8n.故選D.13.1-14nπ依據(jù)題意知第一個(gè)內(nèi)切圓的半徑為36×3=32,面積為34π,其次個(gè)內(nèi)切圓的半徑為34,面積為316π……這些內(nèi)切圓的面積組成一個(gè)首項(xiàng)為14.4由題意,可知良馬第n日行程記為an,則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為97,公差為15的等差數(shù)列,駑馬第n日行程記為bn,則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為92,公差為-1的等差數(shù)列,則an=97+15(n-1)=15n+82,bn=92-(n-1)=93-n.∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為n(數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為n(∴n(179+15整理得14n2+364n-1680=0,即n2+26n-120=0,解得n=4(n=-30舍去),即兩匹馬在第4日相逢.15.解(1)依題設(shè),An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2,Bn=5001+12+1+122+…+1+12n-600=500n-5002n-100.(2)Bn-An=500n-5002n-100-(490n-10n2)=10n2+10n-5002n-100=10n(n+1)-502n-因?yàn)閿?shù)列n(n+1)-502n-10為遞增數(shù)列,當(dāng)1≤n≤3時(shí),n(n+1)-502n-10≤12-508-10=-當(dāng)n≥4時(shí),n(n+1)-502n-10≥20-5016-10=所以當(dāng)n≥4時(shí),Bn>An,所以至少經(jīng)過(guò)4年,該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利