廣西專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.7三角函數(shù)的應(yīng)用課后訓(xùn)練新人教A版必修第一冊(cè)

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.如圖所示,單擺從某點(diǎn)起先來回?fù)u擺,離開平衡位置O的距離scm和時(shí)間ts的函數(shù)關(guān)系式為s=6sin(100πt+π6),則單擺搖擺的頻率為(A.150 B.1100 C.50 D答案C解析設(shè)f為單擺搖擺的頻率,T為周期,則f=1T=1002.商場(chǎng)人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù),某商場(chǎng)的人流量滿意函數(shù)F(t)=50+4sint2(t≥0),則在下列哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)人流量是增加的(A.[0,5] B.[5,10]C.[10,15] D.[15,20]答案C解析由2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2,k∈Z,得4kπ-π≤t≤4kπ+π當(dāng)k=1時(shí),得t∈[3π,5π],而[10,15]?[3π,5π],故選C.3.彈簧上掛的小球做上下振動(dòng),它在時(shí)間t(單位:s)時(shí)離開平衡位置的位移s(單位:cm)滿意函數(shù)關(guān)系式s=2sint+π4.給出下列三種說法:①小球起先時(shí)在平衡位置上方2cm處;②小球下降到最低點(diǎn)時(shí)在平衡位置下方2cm處;③經(jīng)過2πs小球重復(fù)振動(dòng)一次.A.①② B.②③C.①③ D.①②③答案D解析當(dāng)t=0時(shí),s=2sin0+π4=2,故①中說法正確;smin=-2,故②中說法正確;函數(shù)的最小正周期T=2π4.電流強(qiáng)度I(單位:A)隨時(shí)間t(單位:s)改變的函數(shù)I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的圖象如圖所示,則當(dāng)t=7120s時(shí)的電流強(qiáng)度為(A.0A B.-52AC.102A D.-102A答案A解析由題圖知,A=10,函數(shù)的周期T=2×(4300-1300)=150,所以ω=2πT=2π150=100π,將點(diǎn)(1300,10)的坐標(biāo)代入I=10sin(100πt+φ),結(jié)合題意得φ=π5.設(shè)某人的血壓滿意函數(shù)式p(t)=115+25sin160πt,其中p(t)為血壓(單位:mmHg),t為時(shí)間(單位:min),則此人每分鐘心跳的次數(shù)是.

答案80解析周期T=2π160π=1806.已知某交變電流I(單位:A)隨時(shí)間t(單位:s)的改變規(guī)律可以擬合為函數(shù)I=52sin100πt-π2,t∈[0,+∞),則此交變電流在0答案25解析設(shè)此交變電流的頻率為f,周期為T,因?yàn)閒=1T=所以0.5s內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為0.5×50=25.7.某試驗(yàn)室一天的溫度(單位:℃)隨時(shí)間t(單位:h)的改變近似滿意函數(shù)關(guān)系:f(t)=10-2sin(π12t+π3),t∈試驗(yàn)室這一天的最大溫差是℃.若要求試驗(yàn)室溫度不高于11℃,則試驗(yàn)室須要降溫的時(shí)間長度是h.

答案48解析因?yàn)閒(t)=10-2sin(π12t+π3),又0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<當(dāng)t=2時(shí),sin(π12t+π3)當(dāng)t=14時(shí),sin(π12t+π3)=-于是f(t)在區(qū)間[0,24)上的最大值為12,最小值為8.故試驗(yàn)室這一天的最高溫度為12℃,最低溫度為8℃,最大溫差為4℃.依題意,當(dāng)f(t)>11時(shí)試驗(yàn)室須要降溫.由(1)得f(t)=10-2sin(π12t+π3故有10-2sin(π12t+π3)>11,即sin(π12t+π3又0≤t<24,因此7π6<π12t+故在10h至18h試驗(yàn)室須要降溫,其時(shí)間長度為18-10=8(h).8.已知某海濱浴場(chǎng)海浪的高度y(單位:m)是時(shí)間t(0≤t≤24,單位:h)的函數(shù),記作:y=f(t),下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù):t/h03691215182124y/m1.51.00.51.01.51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測(cè),曲線y=f(t)可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b(A>0,ω>0)的圖象.(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù),求函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T,A及函數(shù)解析式.(2)依據(jù)規(guī)定,當(dāng)海浪高度高于1m時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放,請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論,推斷一天內(nèi)的8:00至20:00之間,有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)?解(1)由題表中數(shù)據(jù)知周期T=12,∴ω=2π∴y=Acosπ6t+b由題表中數(shù)據(jù)可知f(t)的最大值為1.5,最小值為0.5,∴A∴A=0.5,b=1,∴y=12cosπ6t+(2)由題意知,當(dāng)y>1時(shí)才可對(duì)沖浪者開放,∴12cosπ6t+1>1,∴cosπ6t>0,∴2kπ-π2<π6t<2kπ+π2,k∈Z,即12k-3∵8≤t≤20,∴9<t<15.∴在8:00至20:00之間,有6h可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng).實(shí)力提升1.如圖,設(shè)點(diǎn)A是單位圓上的肯定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身在圓上按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,點(diǎn)P所旋轉(zhuǎn)過的AP的長為l,弦AP的長為d,則函數(shù)d=f(l)的大致圖象是()答案C解析∵AP為單位圓上的弧長,∴∠POA=l,過點(diǎn)O作PA的垂線(圖略),且平分∠POA,則在直角三角形中得|PA|=2sinl2,即d=f(l)=2sinl22.一根長l厘米的線,一端固定,另一端懸掛一個(gè)小球,小球搖擺時(shí),離開平衡位置的位移s(單位:cm)和時(shí)間t(單位:s)的函數(shù)關(guān)系是s=3cos(glt+π3).已知g取980cm/s,要使小球搖擺的周期是1s,線的長度應(yīng)當(dāng)是(A.980πcm B.245C.245π2cm D.答案C解析小球的搖擺周期T=2πg(shù)l=2所以l=g(T2π)2,將g=980,T=1代入,得l=980×(12π)23.已知?jiǎng)狱c(diǎn)A(x,y)在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn),12s旋轉(zhuǎn)一周,且當(dāng)t=0時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)是12,32,則當(dāng)0≤t≤12時(shí),動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于A.[0,1] B.[1,7]C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]答案D解析由題意,可設(shè)y關(guān)于t的函數(shù)解析式為y=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π2).又由題意可知周期T=12,所以ω=2πT=π6,又t=0時(shí),y=32,所以sinφ=32,所以φ=π3.所以y=sin(π6t+π3).令2kπ-π2≤π6t+π3≤2kπ+π2,k∈Z,得12k-5≤t≤124.一種波的波形為函數(shù)y=-sinπ2x的圖象,若其在區(qū)間[0,t]上至少有2個(gè)波峰(圖象的最高點(diǎn)),則正整數(shù)t的最小值是.答案7解析由題意知,周期T=4,明顯當(dāng)0≤x≤1時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)1<x≤3時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)x=3時(shí),y=1.因此自0起先向右的第一個(gè)波峰所對(duì)的x值為3,其次個(gè)波峰對(duì)應(yīng)的x值為7,所以要在區(qū)間[0,t]上至少有2個(gè)波峰,t至少為7.5.如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為圓心,r為半徑作圓,A為圓周上的一點(diǎn),以O(shè)x為始邊,OA為終邊的角為α,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是,點(diǎn)A以恒定的角速度ω(單位:弧度/秒)轉(zhuǎn)動(dòng),經(jīng)過t秒轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)B(x,y),動(dòng)點(diǎn)B在y軸上的投影C做簡諧運(yùn)動(dòng),則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為.

答案(rcosα,rsinα)y=rsin(ωt+α)解析由隨意角三角函數(shù)的定義,得A(rcosα,rsinα).由題意可得∠BOx=ωt+α,則點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為y=rsin(ωt+α).6.如圖所示,某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道,賽道的前一部分為點(diǎn)O,M之間的曲線,該段曲線為函數(shù)y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為S(3,23);賽道的后一部分為折線段MNP.為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的平安,限定∠MNP=120°,求A,ω的值和M,P兩點(diǎn)間的距離.解設(shè)函數(shù)y=Asinωx(A>0,ω>0)的最小正周期為T,依題意,有A=23,T故T=12,又T=2πω,∴ω=∴點(diǎn)O,M之間的曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式為y=23sinπ6x,x∈[0,4]當(dāng)x=4時(shí),y=23sin2π3=3,∴M又P(8,0),∴MP=42+37.某地從1月到12月的月平均氣溫T(單位:℃)與月份數(shù)t(單位:月)近似滿意函數(shù)關(guān)系:T=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,-π<φ<0).從1月到7月的月平均氣溫的散點(diǎn)圖如圖所示,且1月份和7月份的平均氣溫分別為該地全年的最低和最高的月平均氣溫.(1)求月平均氣溫T(單位:℃)與月份數(shù)t(單位:月)的函數(shù)解析式;(2)推算出該地全年月平均氣溫低于20℃但又不低于10℃的是哪些月份.解(1)依題意,有b=25+52=15,A=25-半周期為7-1=6,所以周期為12,所以2π|又ω>0,所以ω=π6所以T=10sin(π6t+φ)+15將點(diǎn)(1,5)的坐標(biāo),代入T=10sin(π6t+φ)+15得到10sin(π6+φ)+15=5,即sin(π6+φ所以φ=