廣西專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)關(guān)檢測(cè)新人教A版必修第一冊(cè)

第四章過(guò)關(guān)檢測(cè)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域?yàn)?)A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)答案C解析由題意,可知x2-x>0,得x>1或x<0,故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(1,+∞).2.函數(shù)y=log12x,x∈(0,8]的值域是(A.[-3,+∞) B.[3,+∞)C.(-∞,-3) D.(-∞,3]答案A解析∵函數(shù)y=log12x在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,又x∈(0,8],∴l(xiāng)og12x≥log128,∴l(xiāng)og12x≥3.函數(shù)f(x)=x+1x2A.1 B.-1 C.±1 D.0答案B解析令f(x)=0,得x+1x即x+1=0,所以x=-1.4.若2<a<3,化簡(jiǎn)(2-aA.5-2a B.2a-5 C.1 D.-1答案C解析∵2<a<3,∴(2-a)2=|2-a|=a-2,4(∴原式=a-2+3-a=1.故選C.5.設(shè)f(x)=3x-x2,則下列區(qū)間中,使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的是()A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0]答案D解析∵f(-1)=3-1-(-1)2=13-1=-23<0,f(0)=30-02=1∴f(-1)f(0)<0,∴有零點(diǎn)的區(qū)間是[-1,0].6.如圖,函數(shù)f(x)的圖象為折線ACB,則不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}答案C解析令g(x)=y=log2(x+1),在同始終角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)g(x)的圖象如圖所示.易得線段BC在直線x+y=2上,由x結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集為{x|-1<x≤1}.7.已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù),記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<b<c B.c<a<bC.a<c<b D.c<b<a答案B解析由f(x)為偶函數(shù)得m=0,所以a=f(log0.53)=2|log0.53|-b=f(log25)=2|log25|-1=2log25-1=4,c=f(0)=2|8.已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x≤0,3xxA.(-1,3) B.(-1,3]C.(-1,+∞) D.[-1,+∞)答案A解析由題意可知,函數(shù)y=f(x)-m有兩個(gè)不同的零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)f(x)=x2+2x,x≤由圖象可知,-1<m<3.故選A.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)a,b,c都是正數(shù),且4a=6b=9c,那么()A.ab+bc=2ac B.ab+bc=acC.2c=2答案AD解析依題意設(shè)4a=6b=9c=k(k>0),則a=log4k,b=log6k,c=log9k.對(duì)于A,ab+bc=2ac,即bc+b因?yàn)閎c+ba=log6klog9k+對(duì)于C,2a+1b=2log4k+1log6k=2logk4+log對(duì)于D,2b-1a=2logk6-logk4=logk364=logk10.有一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示:x12345y1.55.913.424.137則下列所給函數(shù)模型不適合的有()A.y=logax(a>1) B.y=ax+b(a>1)C.y=ax2+b(a>0) D.y=logax+b(a>1)答案ABD解析由所給數(shù)據(jù)可知y隨x的增大而增大,且增長(zhǎng)速度越來(lái)越快,而A,D中的函數(shù)增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢,B中的函數(shù)增長(zhǎng)速度保持不變,故選ABD.11.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(3-x),則下列說(shuō)法正確的是()A.f(x)在區(qū)間(-1,3)內(nèi)單調(diào)遞增B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱C.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱D.f(x)的值域?yàn)镽答案ACD解析f(x)的定義域是(-1,3),f(x)=lnx+13-x,令t(x)=x+13-x=-4x-3-1(x∈(-1,3)),則t(x)∈(0,+∞),且t(x)在區(qū)間(-1,3)內(nèi)單調(diào)遞增,所以又f(1+x)=ln2+x2-x,f(1-x)=ln2-x2+x,所以對(duì)定義域內(nèi)的隨意x,有f(1+x)=-f(1-x),而f(1+x)≠f(1-x)(只有當(dāng)x=0時(shí),才有f(1+x12.已知函數(shù)f(x)=kx+1,x≤0,log2x,A.當(dāng)k>0時(shí),有3個(gè)零點(diǎn) B.當(dāng)k<0時(shí),有2個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)k>0時(shí),有4個(gè)零點(diǎn) D.當(dāng)k<0時(shí),有1個(gè)零點(diǎn)答案CD解析由y=f(f(x))+1=0,得f(f(x))=-1,設(shè)f(x)=t,則方程f(f(x))=-1等價(jià)于f(t)=-1.①若k>0,作出函數(shù)f(x)的圖象如圖①.則此時(shí)方程f(t)=-1有兩個(gè)根,其中t2<0,0<t1<1,由f(x)=t2<0,知此時(shí)方程有兩個(gè)解,由f(x)=t1∈(0,1),知此時(shí)方程有兩個(gè)解,此時(shí)共有4個(gè)解,即函數(shù)y=f(f(x))+1有4個(gè)零點(diǎn).圖①圖②②若k<0,作出函數(shù)f(x)的圖象如圖②.則此時(shí)方程f(t)=-1有一個(gè)根t3,且0<t3<1,由f(x)=t3∈(0,1)知此時(shí)方程只有1個(gè)解,即函數(shù)y=f(f(x))+1有1個(gè)零點(diǎn).故選CD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知函數(shù)f(x)=3x,x≤1,-x,x>答案log32解析當(dāng)x∈(-∞,1]時(shí),f(x)∈(0,3];當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)∈(-∞,-1).∵f(x)=2,∴3x=2?x=log32.14.若關(guān)于x的方程3x2-5x+a=0的一個(gè)根大于1,另一個(gè)根小于1,則a的取值范圍是.

答案(-∞,2)解析設(shè)f(x)=3x2-5x+a.由題意知,f(1)<0,即-2+a<0,得a<2.15.某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來(lái)個(gè)數(shù)的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時(shí)間,單位:h,y表示病毒個(gè)數(shù)),則k=,經(jīng)過(guò)5h,1個(gè)病毒能繁殖為個(gè)(第一空2分,其次空3分).

答案2ln21024解析當(dāng)t=0.5時(shí),y=2.則2=e12k,得k=2ln2,于是y=e2故當(dāng)t=5時(shí),y=e10ln2=210=1024.16.已知函數(shù)f(x)=log2(x+a答案[1,+∞)解析由題意知,log2(x+a)=0在區(qū)間(-∞,0]上有一個(gè)根,x2-3ax+a=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個(gè)不相等的根.由log2(x+a)=0,得x=1-a,所以1-a≤0,所以a≥1;x2-3ax+a=0在區(qū)間(0,+∞)上有兩個(gè)不相等的根,所以實(shí)數(shù)a滿意9a2-4綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)(1)計(jì)算:27912+(lg5)(2)解方程:log3(6x-9)=3.解(1)原式=25912+(lg5)0+343-1(2)由方程log3(6x-9)=3,得6x-9=33=27,則6x=36=62,得x=2.經(jīng)檢驗(yàn),x=2是原方程的解.故原方程的解為x=2.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2,且滿意0<x1<1<x2<4,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解由題意可得f即2解得-75<m<-5故實(shí)數(shù)m的取值范圍為-75,-54.19.(12分)已知函數(shù)y=log4(2x+3-x2).(1)求函數(shù)的定義域;(2)求y的最大值,并求取得最大值時(shí)的x值.解(1)由2x+3-x2>0,解得-1<x<3,所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|-1<x<3}.(2)原函數(shù)為y=log4u,u=2x+3-x2(-1<x<3)兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù).因?yàn)閡=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4,所以y=log4(2x+3-x2)≤log44=1.所以y的最大值為1,此時(shí)x=1.20.(12分)直播帶貨是通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)直播平臺(tái)進(jìn)行商品線上展示、詢問(wèn)答疑、導(dǎo)購(gòu)銷售的新型營(yíng)銷模式.據(jù)統(tǒng)計(jì),某職業(yè)主播的粉絲量不低于2萬(wàn)人時(shí),其商品銷售利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)隨粉絲量x(單位:萬(wàn)人)的改變狀況如表所示:x/萬(wàn)人235y/萬(wàn)元159(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù),分別用模型①y=loga(x+m)+b(a>0,且a≠1,m,b∈R)和②y=cx+n+d(c,n,d∈R)求y關(guān)于x(2)已知該主播的粉絲量為9萬(wàn)人時(shí),商品銷售利潤(rùn)為3.3萬(wàn)元,你認(rèn)為(1)中哪個(gè)函數(shù)模型更合理?說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù):57≈7.55)解(1)對(duì)于模型①y=loga(x+m)+b(a>0,且a≠1,m,b∈R),由題意得loga所以y=log2(x-1)+14(x≥2)對(duì)于模型②y=cx+n+d(c,n,d∈由題意得c2+n所以y=2·x-15(2)對(duì)于函數(shù)y=log2(x-1)+14(x≥2),當(dāng)x=9時(shí),y=134=3.對(duì)于函數(shù)y=2·x-158-14因?yàn)?72-14-3.3≈0.225>|3.25-3.3|=0所以選擇模型①更合理.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x.(1)推斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性,并用定義證明.(2)函數(shù)g(x)=f(x)+log2x-2在區(qū)間(1,2)內(nèi)是否有零點(diǎn)?若有零點(diǎn),用“二分法”求零點(diǎn)的近似值(精確度為0.3);若沒(méi)有零點(diǎn),說(shuō)明理由.(參考數(shù)據(jù):1.25≈1.118,1.5≈1.225,1.75≈1.323,log21.25≈0.322,log21.5≈0.585,log21解(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.證明如下:設(shè)x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1-所以f(x1)<f(x2).故函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)由(1)可得,g(x)=x+log2x-2,易知g(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增,且g(1)=1+log21-2=-1<0,g(2)=2+log22-2=2-1>0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x0.因?yàn)間(1.5)=1.5+log21.5-2≈1.225+0.585-2所以x0∈(1.5,2).又因?yàn)間(1.75)=1.75+log21.75-2≈1.323+0.807-2所以x0∈(1.5,1.75).又1.75-1.5=0.25<0.3,所以g(x)的精確度為0.3的零點(diǎn)的近似值可取1.5.(注:函數(shù)g(x)零點(diǎn)的近似值取區(qū)間[1.5,1.75]上的隨意一個(gè)數(shù)都可以)22.(12分)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=b-2(1)求a,b的值;(2)證明:f(x)在R上為減函數(shù);(3)若對(duì)于隨意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.(1)解因?yàn)閒(x)為R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,得b=1,又f(-1)=-f(1),即1-2-12-經(jīng)檢驗(yàn)a=1,b=1符合題意.(2)證明由(1)可知,f(x)=1-任取x1,x2∈R,且x1<x