山西省長治市上黨區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題

山西省長治市上黨區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期9月月考試題一?選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，分別是平面，的法向量，若，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】依據(jù)兩平面垂直，可得兩向量垂直，依據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，分別是平面，的法向量，若，則，所以，解得.故選：B.2.如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)N在BC上，且，設(shè)，則x，y，z的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將表示為以為基底的向量，由此求得的值.【詳解】依題意，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間中，用基底表示向量，考查空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.已知直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則k的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出雙曲線的圖像以及雙曲線漸近線的圖像，依據(jù)直線過定點(diǎn)，且與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，得到，由此得出正確選項(xiàng).用判別式求得的取值范圍.【詳解】雙曲線漸近線為，直線過定點(diǎn).畫出雙曲線的圖像以及雙曲線漸近線的圖像如下圖所示，由圖可知，要使直線與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)，則，結(jié)合選項(xiàng)可知只有D選項(xiàng)符合.由消去得，化簡得，因?yàn)橹本€與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)，所以，解得.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)直線和雙曲線右支交點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.4.若直線與圓沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.0或1 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】由直線與圓相離得到點(diǎn)位置后推斷【詳解】由題意，得，故點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓內(nèi)，即在橢圓內(nèi)部，過點(diǎn)的直線與該橢圓必有2個(gè)交點(diǎn)．故選：B5.已知點(diǎn)和在直線的兩側(cè)，則直線的傾斜角的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為θ∈[0,π).點(diǎn)A(1,?2),B(,0).直線l:ax?y?1=0(a≠0)經(jīng)過定點(diǎn)P(0,?1).∵點(diǎn)(1,?2)和(,0)在直線l:ax?y?1=0(a≠0)的兩側(cè)，∴kPA<a<kPB,∴?1<tanθ<，tanθ≠0.解得.本題選擇D選項(xiàng).6.已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量的共線定理，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，求得b的值，求得橢圓方程.【詳解】由題意可得，軸，，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，由，，，代入橢圓方程得，，，故選：A7.已知圓C：和兩點(diǎn)，，若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則m的最大值為（）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】B【解析】【分析】由題意得點(diǎn)軌跡，轉(zhuǎn)化為有交點(diǎn)問題【詳解】，記中點(diǎn)為，則，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，又P在圓C上，所以兩圓有交點(diǎn)，則，而，得．故選：B8.若橢圓(a>b>0)的離心率，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2＋2bx＋c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1，x2，則點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)的距離為()A B.C.2 D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)閑＝＝，所以a＝2c.由a2＝b2＋c2，得＝，x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝，點(diǎn)P(x1，x2)到原點(diǎn)(0,0)的距離d＝＝＝.9.已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)為平面上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時(shí)，橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】點(diǎn)在橢圓上，可得，為平面上一點(diǎn)，，依據(jù)柯西不等式得到，關(guān)系，代入即可．【詳解】解：點(diǎn)在橢圓上，可得，為平面上一點(diǎn)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，，．故選．【點(diǎn)睛】考查橢圓的性質(zhì)，柯西不等式的應(yīng)用，求橢圓的離心率，中檔題．10.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線和的位置關(guān)系不行能是（）A.①③ B.①④ C.②④ D.②③【答案】D【解析】【分析】直線過定點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)式:，視察圓心、定點(diǎn)的位置關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，圓的標(biāo)準(zhǔn)式為：，圓心，半徑，②圓心橫坐標(biāo)小于直線與圓公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以不行能；又定點(diǎn)在圓上，所以③不行能，故選:D11.已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出橢圓與雙曲線的離心率,然后推出a、b關(guān)系,即可求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】因?yàn)?，橢圓的方程為，所以橢圓的離心率為.因?yàn)殡p曲線的方程為，所以雙曲線的離心率為.因?yàn)榕c的離心率之積為，所以，解得：，所以，所以的漸近線方程為：.故選：A12.若點(diǎn)P為共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，，分別是它們的左右焦點(diǎn).設(shè)橢圓離心率為，雙曲線離心率為，若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】可設(shè)橢圓長軸為，雙曲線的實(shí)軸為，焦點(diǎn)為，設(shè)，，利用橢圓和雙曲線的定義可得，，再利用垂直關(guān)系可得，聯(lián)馬上可得解.【詳解】設(shè)橢圓長軸為，雙曲線的實(shí)軸為，焦點(diǎn)為，設(shè)，，所以，，平方和相加可得，由則，所以，所以，即，，即.故選：C二?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，則________．【答案】【解析】【分析】通過三點(diǎn)共線得到：，從而求解出的值.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以設(shè)，且，，則有：，解得：，所以.【點(diǎn)睛】本題考查空間中的三點(diǎn)共線問題，難度一般.對于空間中隨意兩個(gè)向量，共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)使得.14.當(dāng)曲線與直線有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由解析式可知曲線為半圓，直線恒過；畫出半圓的圖象，找到直線與半圓有兩個(gè)交點(diǎn)的臨界狀態(tài)，利用圓的切線的求解方法和兩點(diǎn)連線斜率公式求得斜率的取值范圍.【詳解】為恒過的直線則曲線圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)直線斜率時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)相異交點(diǎn)與半圓相切，可得：解得：又本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠通過數(shù)形結(jié)合的方式找到臨界狀態(tài)，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視曲線的范圍，誤認(rèn)為曲線為圓.15.雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：在△MF1F2中，因?yàn)椤螹F1F2=300，,F1F2=2c，所以MF1=，MF2=，由雙曲線的定義得：,所以．考點(diǎn)：本題考查雙曲線的定義和離心率．點(diǎn)評(píng)：本題干脆考查了雙曲線的簡潔性質(zhì)及定義，屬基礎(chǔ)題．16.過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為M，已知點(diǎn)，則此直線過的定點(diǎn)為___________，的最大值為___________.【答案】①.②.##【解析】【分析】由題意列方程組求定點(diǎn)，由幾何關(guān)系得軌跡，求的最大值【詳解】，即，令，解得，直線過定點(diǎn)，由題意，故是直角三角形，的軌跡是以為直徑的圓，圓心，半徑，則，故的最大值為．故答案為：，三?解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.已知直線和圓．（1）若直線交圓于，兩點(diǎn)，求弦的長；（2）求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先由圓的方程得到圓心和半徑，依據(jù)幾何法求弦長，即可得出結(jié)果；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可干脆得出切線方程；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，先設(shè)切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑列方程，得出的值即可求出直線方程．【小問1詳解】將圓：化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，所以的圓心為，半徑，所以到直線：的距離，所以；【小問2詳解】①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線為，是圓的一條切線；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)圓的切線方程為，即，所以圓心到直線的距離為，即，解得：，所以此時(shí)切線方程為，化簡得．綜上所述，所求的直線方程為：或．18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，平面ABCD，，M為側(cè)棱PD的中點(diǎn).

（1）證明：平面MAC平面PCD；（2）求直線PB與平面PCD所成的角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的判定定理證明平面，再依據(jù)面面垂直的判定定理得證.（2）建立空間坐標(biāo)系，由空間直線與平面所成的角的公式計(jì)算可得.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋琈為側(cè)棱PD的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫鍭BCD，所以CD，又ADCD，，所以平面，所以，且，所以平面PCD，平面MAC，所以平面MAC平面PCD；【小問2詳解】建立如圖空間坐標(biāo)系，

，，，，則，由知平面PCD，平面PCD的法向量為，設(shè)直線PB與平面PCD所成的角為，，所以直線PB與平面PCD所成的角為.19.已知P是圓O：上一動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)在x軸上的射影是D，點(diǎn)M滿意.（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）若A是橢圓E的右頂點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F且斜率為的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，求△AMN的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，，然后利用，可得，，代入中化簡可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程，（2）先求出直線方程，再代入橢圓方程消去，設(shè)，，利用根與系數(shù)關(guān)系，從而可求得，進(jìn)而可求得三角形面積小問1詳解】設(shè)，，，因?yàn)樗詮亩?，代入得即為所?【小問2詳解】由，得，所以，,所以過且斜率為的直線的方程為，聯(lián)立消去x，得，明顯，設(shè)，，則，∴，∵A是橢圓E的右頂點(diǎn)，∴，∴△AMN的面積.20.設(shè)圓C的圓心在x軸的正半軸上，與y軸相交于點(diǎn)，且直線被圓C截得的弦長為.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，那么以MN為直徑的圓能否經(jīng)過原點(diǎn)，若能，懇求出直線MN的方程；若不能，請說明理由.【答案】（1）（2）能，或【解析】【分析】(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由條件列方程求出圓心坐標(biāo)和半徑由此可得圓的方程；(2)聯(lián)立直線與圓的方程，利用設(shè)而不求的方法求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合條件求出直線方程.【小問1詳解】設(shè)圓心，，半徑為r，則圓心到直線的距離為，所以且解得，所以圓C的方程為【小問2詳解】設(shè)，是直線與圓C的交點(diǎn)，將代入圓C的方程得：.，所以，且，所以MN的中點(diǎn)為假如以MN為直徑的圓能過原點(diǎn)，則.又圓心到直線MN的距離為，所以所以，解得經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，直線MN與圓C相交，所以MN的方程為或21.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)..證明：平面.若為棱上一點(diǎn)，滿意，求二面角的余弦值.【答案】證明見解析；.【解析】【分析】在上找中點(diǎn)，連接,，利用三角形中位線性質(zhì)得出，因?yàn)榈酌媸侵苯翘菪危?所以能得出平行且等于，得出四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定，即可證出平面；依據(jù),求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面和平面的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角的余弦值.【詳解】解：證明：在上找中點(diǎn)，連接,，圖象如下：和分別為和的中點(diǎn)，，且,又底面是直角梯形，，且，且.即四邊形為平行四邊形..平面，平面，平面.以為原點(diǎn)，以所在直線為軸,所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，,，，，,，.由為棱上一點(diǎn)，設(shè),所以,由，得,解得，即,,設(shè)平面的法向量為，由可得所以，令，則，則，取平面的法向量為，則二面角的平面角滿意：,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，空間二面角的平面角，建立空間直角坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，屬于難題.22.已知橢圓C:的右焦點(diǎn)為，離心率．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)又本€l過點(diǎn)F，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）x軸上存在點(diǎn)，使得恒成立，理由見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率結(jié)合列式，求得的值，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）假設(shè)軸上存在，使.當(dāng)直線斜率為時(shí)，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用列方程，解方程求得的值.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用列方程，解方程求得的值.由此推斷，由此求得點(diǎn)坐標(biāo)，再證當(dāng)直線斜率存在時(shí)，即可.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓