四川省達州市2025屆高三數(shù)學第一次診斷測試模擬考試文科試題含解析_第1頁
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文檔簡介

四川省達州市2024屆高三數(shù)學第一次診斷測試模擬考試文科試題總分:150分一單選題(5分*12)1.設集合,,則等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別解方程和不等式求出集合和集合,再求并集即可.【詳解】對于集合,由解得或,∴,對于集合,不等式等價于,∵是定義在上的增函數(shù),∴,∴,∴.故選:A.2.如圖,若向量對應的復數(shù)為z,則表示的復數(shù)為()A.1+3i B.-3-iC.3-i D.3+i【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)與向量的對應關系可得z=1-i,再利用復數(shù)的運算法則即可得出答案.【詳解】由題圖可得Z(1,-1),即z=1-i,所以z+=1-i+=1-i+=1-i+=1-i+2+2i=3+i.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義、復數(shù)與向量之間的對應關系、復數(shù)的運算法則.3.已知函數(shù)?,則?()A.? B.1 C.? D.5【答案】B【解析】【分析】利用導數(shù)運算求得.【詳解】,令得.故選:B4.設條件甲:“事務A與事務B是對立事務”,結論乙:“概率滿意P(A)+P(B)=1”,則甲是乙的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】將兩個條件相互推導,依據(jù)能否推導的狀況選出正確答案.【詳解】①若事務A與事務B是對立事務,則A∪B為必定事務,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1;②投擲一枚硬幣3次,滿意P(A)+P(B)=1,但A,B不肯定是對立事務,如:事務A:“至少出現(xiàn)一次正面”,事務B:“出現(xiàn)3次正面”,則P(A)=,P(B)=,滿意P(A)+P(B)=1,但A,B不是對立事務.所以甲是乙的充分不必要條件.故選:A【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的推斷,考查對立事務的理解,屬于基礎題.5.執(zhí)行程序框圖,則輸出的數(shù)值為()A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C【解析】【分析】模擬程序的運行過程,逐步計算即可求出結果.【詳解】解:模擬程序的運行,,滿意條件,,,滿意條件,,,滿意條件,,,滿意條件,,,滿意條件,,,此時,不滿意條件,退出循環(huán),輸出S的值為63.故選:C.6.已知平面對量是非零向量,,夾角?,則向量?在向量?方向上的投影為()A.? B.1 C.? D.2【答案】A【解析】【分析】依據(jù)向量投影概念求解即可.【詳解】向量?在向量?方向上的投影為.故選:A7.已知直線與圓相切,則的最大值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由直線與圓相切可得,然后利用均值不等式可得,從而可求的最大值.【詳解】解:因為直線與圓相切,所以,即,因為,所以,所以,所以的最大值為,故選:D.8.由倫敦聞名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線大教堂驚艷世界,該建筑是數(shù)學與建筑完備結合造就的藝術品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線??下支的一部分,且此雙曲線的下焦點到漸近線的距離為2,離心率為2,則該雙曲線的方程為()A.? B.?C.? D.?【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到,再解方程組即可.【詳解】設雙曲線的一個焦點為,一條漸近線方程為,則焦點到漸近線的距離,所以,即雙曲線方程為:.故選:B9.已知定義在?上的函數(shù)?滿意,當?時,??,則?等于()A.1 B.? C.? D.2【答案】D【解析】【分析】有題目條件,可得周期為4,且圖像關于對稱,據(jù)此可得.【詳解】因,則圖像關于對稱又因,則,即周期為4.則,又當?時,,則,即.故選:D10.已知函數(shù)在區(qū)間?上單調遞增,則?的取值范圍為()A.? B.?C.? D.?【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間,確定函數(shù)的單調增區(qū)間,依據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,建立不等式,即可求解.【詳解】在區(qū)間上單調遞增,所以由函數(shù)解析式知:在上單調遞增,則有,解得,所以當時,有,故選:B.11.某顧客在2024年1月1日采納分期付款方式購買一輛價值2萬元的家電,在購買一個月后2月1日第一次還款,且以后每個月1日等額還款一次,假如一年內還清全部貸款(12月1日最終一次還款),月利率為0.5%.按復利計算,則該顧客每個月應還款多少元?(精確到1元,參考值,)()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設每月還款元,每月還款按得利計算,11次還款的本利和等于銀行貸款按復利計算的本利和,由此可得.【詳解】設每月還款元,共還款11個月,所以,.故選:A.12.如圖所示,設正方體的棱長為,點是棱上一點,且,過,,的平面交平面于,在直線上,則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】連接,由面面平行性質定理,可以證出,所以,,利用相像比即可求出.【詳解】在正方體中,,,∴四邊形平行四邊形,∴,又∵在正方體中,平面平面,平面平面,平面平面,∴,∴,∴,,又∵,∴,∴,又∵正方體的棱長為,∴,,,∴.故選:A.二填空題(5分*4)13.設變量滿意約束條件:,則目標函數(shù)的最大值為__________.【答案】##4.5【解析】【分析】依據(jù)不等式組作出可行域,再結合目標函數(shù)的幾何意義求最值.【詳解】依據(jù)不等式組作出可行域,如圖所示當目標函數(shù)經過點時,取最大值為故答案為:##4.514.已知數(shù)列?滿意,,?,則?等于__________.【答案】7【解析】【分析】首先依據(jù)題意得到是等差數(shù)列,再依據(jù)等差數(shù)列的性質求解即可.【詳解】因為,所以是等差數(shù)列,由等差數(shù)列性質可得,解得.,解得.所以.故答案為:715.已知點M(-3,2)是坐標平面內肯定點,若拋物線y2=2x的焦點為F,點Q是該拋物線上的一動點,則|MQ|-|QF|的最小值是___.【答案】【解析】【分析】當MQ∥x軸時,|MQ|-|QF|取得最小值,此時點Q的縱坐標y=2,代入計算橫坐標,最終計算最小值.【詳解】拋物線的準線方程為,當MQ∥x軸時,|MQ|-|QF|取得最小值,此時點Q的縱坐標y=2,代入拋物線方程y2=2x得Q的橫坐標x=2,則.故答案為【點睛】本題考查了距離的最小值,推斷當MQ∥x軸時,|MQ|-|QF|取得最小值是解題的關鍵.16.已知當時,不等式恒成立,則正實數(shù)a的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】將問題轉化為,設,依據(jù)函數(shù)的單調性求出,令(),利用導數(shù)求出其最小值,從而可求出實數(shù)a的取值范圍,進而可求得正實數(shù)a的最小值【詳解】由題意得,原不等式可變形為,即,設,則當時,恒成立,由,得,當時,,當時,,,所以在上單調遞減,在上單調遞增,因為,,所以,,因為在上單調遞增,所以要使,只要,兩邊取對數(shù)得,,因為,所以,令(),則,所以在上單調遞增,所以,所以,所以,所以正實數(shù)a的最小值為,故答案為:【點睛】關鍵點點睛:此題考查導數(shù)的綜合應用,考查數(shù)學轉化思想,解題的關鍵是將原不等式轉化為,發(fā)覺兩邊形式相同,所以構造函數(shù),轉化為當時,恒成立,再由函數(shù)的單調性可得,再轉化為恒成立,構造函數(shù)求出其最小值即可,屬于較難題三解答題17.在中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(I)求A;(Ⅱ)設D是線段的中點,若,,求a.【答案】(I);(Ⅱ)【解析】【分析】(I)先由正弦定理,將所給條件化為,再由余弦定理,即可得出結果;(Ⅱ)依據(jù)題中條件,得到,推出,再由余弦定理得到,兩式聯(lián)立求出,進而可求出.【詳解】(I)依據(jù)正弦定理,由可得,即,由余弦定理可得,,因為為三角形內角,所以;(Ⅱ)因為D是線段的中點,,,所以,則,所以,即,整理得;又,所以,解得或(舍),因此,所以【點睛】思路點睛:求解三角形中的邊長或面積等問題時,一般須要依據(jù)正弦定理,或余弦定理,將題中條件進行轉化,得出對應的方程求解即可.18.第24屆冬季奧林匹克運動會于2024年2月在中國北京實行.為迎接此次冬奧會,北京市組織高校生開展冬奧會志愿者的培訓活動,并在培訓結束后統(tǒng)一進行了一次考核.為了了解本次培訓活動的效果,從A,B兩所高校各隨機抽取10名學生的考核成果,并作出如圖所示的莖葉圖.(1)計算A,B兩所高校學生的考核成果的平均值;(2)將學生的考核成果分為兩個等級,如下表所示.現(xiàn)從樣本考核等級為優(yōu)秀的學生中任取2人,求2人來自同一所高校的概率.考核成果考核等級合格優(yōu)秀【答案】(1)?,?.(2)?.【解析】【分析】(1)依據(jù)平均數(shù)計算方法求得平均數(shù).(2)利用列舉法,結合古典概型概率計算公式求得所求概率.【小問1詳解】?,?.【小問2詳解】記事務?為“從樣本考核等級為優(yōu)秀的學生中任取2人,2人來自同一所高校”.樣本中,???己说燃墳閮?yōu)秀的學生共有3人,分別記為?,???己说燃墳閮?yōu)秀的學生共有3人,分別記為?,從這6人中任取2人,全部的基本領件為:?,?共15個,而事務?包含的基本領件是?,共6個,因此?.19.如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的菱形,,側面為等邊三角形.(1)求證:;(2)若平面平面,點為的中點,求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】【分析】(1)本題可取的中點,連接、、,然后依據(jù)為等邊三角形、底面是菱形得出、,最終依據(jù)線面垂直的判定與性質即可證得結論;(2)可通過平面平面得出平面,然后依據(jù)即可得出結果.【詳解】(1)如圖,取的中點,連接、、,因為為等邊三角形,是的中點,所以,因為底面是菱形,,所以是等邊三角形,,因為,所以平面,因為平面,所以.(2)因為底面是邊長為的菱形,為等邊三角形,所以,,底面的面積為,因為平面平面,平面平面,,所以平面,因為為的中點,所以.20.平面直角坐標系?中,已知橢圓?,橢圓?.設點?為橢圓?上隨意一點,過點?的直線?交橢圓?于?兩點,射線?交橢圓?于點?.(1)求證:?;(2)求?面積的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)?.【解析】【分析】(1)設,可以求出,代入可求解.(2)?面積為?,設出方程,與橢圓聯(lián)立找尋韋達定理,把的面積表示為的關系,然后換元解決.【小問1詳解】設?,由題意知?因為?,又?,即?,所以?,即?.【小問2詳解】由(1)知,?面積為?,設?.將?代入橢圓?的方程,可得?,由?,可得?,①則有?.所以?.因為直線?與?軸交點的坐標為?,所以?的面積??.設?,將?代入橢圓?的方程,可得?,由?,可得?,②由(1)(2)可知?,因此?,故?,當且僅當?,即?時取得最大值?.所以?面積的最大值為?.21.已知函數(shù),其中為常數(shù).(1)當時,推斷在區(qū)間內的單調性;(2)若對隨意,都有,求的取值范圍.【答案】(1)推斷見解析(2)【解析】【分析】小問1:當時,求出導數(shù),推斷導數(shù)在上的正負,即可確定在上的單調性;小問2:由得,令,將參數(shù)區(qū)分為,,三種狀況,分別探討的單調性,求出最值,即可得到的取值范圍.【小問1詳解】當時,得,故,當時,恒成立,故在區(qū)間為單調遞增函數(shù).【小問2詳解】當時,,故,即,即.令①當時,因為,故,即,又,故在上恒成立,故;②當時,,,故在上恒成立,在上單調遞增,故,即上單調遞增,故,故;③當時,由②可知在上單調遞增,設時的根為,則在時為單調遞減;在時為單調遞增又,故,舍去;綜上:【點睛】本題考查了利用導數(shù)推斷函數(shù)的單調性,及利用恒成立問題,求參數(shù)的取值范圍的問題,對參數(shù)做到不重不漏的探討,是解題的關鍵.22.在平面直角坐標系xOy中,曲線的方程為:.以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線,的極坐標方程分別為:,.(1)若曲線,相交于異于極點的點Q,求點Q的直角坐標;(2)若直線與,相交于異于極點的A,B兩點,求的最大值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)分別求出、的直徑坐標方程,進而聯(lián)立兩個直角坐標方程,可求出點Q的直角坐標;(2)求出的極坐標方程,設,,從而可得,利用三角函數(shù)求最值即可.【詳解】(1)由,得,將代入,可得的直角坐標方程為;由,得,將代入,可得的直角坐標方

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