高一新課元二次元高次不等式及分式不等式的解法

第八、九講：一元二次、一元高次不等式及分式不等式的解法教學(xué)要求：1．在熟練掌握一元一次不等式(組)的解法基礎(chǔ)上，掌握一元二次不等式的解法及其它的一些簡單的高次不等式和分式不等式的解法。2．掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式等復(fù)雜不等式化歸為整式不等式(組)。3．初步掌握含參不等式的解法，形成討論思想，要注意它們的討論依據(jù)的選?。∫?、復(fù)習(xí)：1.絕對值不等式常見類型的解法：(基本思想一^通過去絕對值轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式)類型(1)：f(x)|<a(a>0)=-a<f(x)<a；|f(x)|>a(a>0)=f(x)>a或f(x)〈一aa<|f(x)|<b(0<a<b)=a<f(x)<匕或一b<f(x)<一a。類型(2)：f(x)|<g(x)o—g(x)<f(x)<g(x)；類型(3)：含多個絕對值的不等式常見解法一零點分段法(特殊方法還有：函數(shù)圖象法;數(shù)軸法)(注意每種方法的要領(lǐng))類型(4)：平方法：f(x)|<|g(x)|=f(x)2<g(x)2((但去絕對值一般不要輕易采用平方法)2.一元一次不等式的解法：一元一次不等式、一元一次方程一次函數(shù)解集ixx>xJ解集{xx<x0}b>0，解集0b<0，解集R注意：一元一次不等式含參時，要分一次項系數(shù)a>0,a<0,a=0及常數(shù)項b的符號討論。二、新課：1.一元二次不等式的解法(型如ax2+bx+c>0(或<0或>0或<0))一元二次不等式一元二次方程一元二二次函數(shù)①A>0,解集二不等根x<x1 2②A=0,解集二相等根x=x1 2③A<0，解集無實根注：對二次項系數(shù)〃<0類似地可由數(shù)形結(jié)合求解集?。ㄒ唬┙夂唵蔚囊辉尾坏仁嚼?.求下列不等式的解集：（1）2x2-3x-2>0；（2）-3x2+6x>2；（3）4x2-4x+1>0；（4）一x2+2x-3>0。變式練習(xí)一：解下列不等式：①-x2<3-2x； ②x2-3x+2>0。變式練習(xí)二：二次函數(shù)丁=ax2+bx+c（xeR）的部分對應(yīng)值如下表:012346006則不等式ax2+bx+c>0的解集是（二）含參一元二次不等式的解法例2.解關(guān)于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0(aeR)。變式練習(xí)：設(shè)方程ax2+bx+c=0（a豐0）的兩根為x,x，且x<x，則關(guān)于x的不等式1 2 1 2ax2+bx+c>0的解集（用x,x表示）為 。12（三）一元二次不等式解法的逆向問題例3.0<a<p，已知不等式ax2+bx+c>0的解集為{xa<x<p},例3.(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集。變式練習(xí)：(1){rax2+bx+c>0}=1x-3<x<2,，貝U{rcx2+bx+a<0}=2.一元高次不等式的解法一序軸標(biāo)根法引入：解不等式(3-x)(x+4)>0。(<)遞進：解不等式(3-x)(x+4)(x+5)<0。序軸標(biāo)根法解一元高次不等式的步驟及注意事項：（1）分解因式成標(biāo)準(zhǔn)型：（x-a）（x-a）（x-a）>0；

TOC\o"1-5"\h\z(2)標(biāo)根：a<a<<a；1 2 n(3)串線寫解集：從最大根的右上方依次串過每一個根，上方線遮住的工軸上的實數(shù)代表(1-a)(1-a)(X-a)>01 2 n的解集，下方線遮住的工軸上的實數(shù)代表(工-a)(1-a)(工-a)<0的解集。(1 2 n等號時端點也加等號)(注意重根情況怎么辦)例1.解不等式：(1)工(X+1)(1-工3)>0；(2)工(工-1)(x-2)2(x2-1)(x3-1)>0。等號時端點也加等號)(注意重根情況怎么辦)變式練習(xí):解不等式:(1)(x3-4x2+4x)(3+2x-x2)>0；(2)(x2+4x)2-2(x2+4x)-15<0.課后作業(yè)：.解關(guān)于x的不等式：(x2-x-2)(x2+1)<0；(2)x2-3x-4>x+1；(3)(x2-2x+1)(2x2-3x-5)<0；(4)(x-1)[(x2—8x)2—2(x2—8x)-63]>0；(5)x2—3x—4>x2—4x+3；(6)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)>120。2.(1)當(dāng)a+b>0時，不等式(a-x)(x+b)<0的解集是。AB=UCAB=UUACB=UCACB=UUU(2)設(shè)全集U=R,A=^xx2-5x+6>0),B=\xx-3AB=UCAB=UUACB=UCACB=UUU，則a+b的值為(3)已知不等式ax2+bx+2，則a+b的值為(4)若不等式(x+a)(x2+4x+3)>(4)若不等式(x+a)(x2+4x+3)>0的解集是(5)若關(guān)于x的不等式x2-ax―6a<0有解，且解的區(qū)間長度不超過5個單位，則實數(shù)a的取值范圍是 (6)(09重慶卷理)不等式|x+3|-|x-1|<a2-3a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A.(-8,-1][4,+8)B.(-8,-2][5,+8) C.[1,2]D.(-鞏1][2,+8)3.(1)已知關(guān)于3.(1)已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+C<0的解集是《x求不等式cx2cx2-bx+a>0的解集。(2)設(shè)不等式5—x>7|x+1|與ax2+bx—2>0同解，求a、b的值。課后作業(yè)答案：(1)L|—1<x<2}；)｛x|x<-1或-1<x<3或x>5｝；(3)｛x-1<x<1或1<x<2(4)-1(4)-1<x<1或1<x<7或x>9｝；(5)<xx<-1或-1<x<7+同或x>7]；4 ；(6)Lx<-6或x>1｝。2.(1)x<-b或x>a｝；(2)A；(3)-14；(4)-2；

2.(1)(5)-25<a<—24或0<a<1；(6)A。1 \a=-43. (1)2<x<3/；(2)i

\b=-93. (1).分式不等式的解法(基本思想：轉(zhuǎn)化為整式不等式(但不能輕易去分母))分式不等式的解法：一般通過移項通分化為如下常見類型：(1)(3)f(x)g((1)(3)f(x)g(x)f(x)g(x)>0of(x)?g(x)>0；⑵g(x)00 ； (4)f(x)?g(x)>0f(x)g(x)f(x)g(x)<0=f(x)?g(x)<0；g(x)豐0f(x)?g(x)<0例1.解下列不等式:(1)x-2、八 x2—3x—4、八 x2-4x+1 ,(1) >0；(2) >0；(3) <1。x2+x+1 x2+3x-10 3x2-7x+2例2.(1)解下列不等式：例2.(1)解下列不等式：5 1 3 x3-x2-4x-17 - >—；(2) x+12(2x-1)2 x2-4x-5>x+1；(3)|x—4|一x—1 x—3|+|x—2|x-3|-x-2 |x-4|.一元二次不等式含參問題及三個“二次”之間的關(guān)系例1.(1)已知關(guān)于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；變式：對于(J)中的條件改為評集為R”，求實數(shù)m的取值范圍。(2)集A=L|x2-5x+6<0/,B=\x|(x-2a)(x-(a+2))<0/，若(CA)Bw0，求實數(shù)a的取值范圍。 實數(shù)a的取值范圍。 i(3)集A="x|x2—ax+a2-13>0J,B=x2-5x+6<0),C=x2+2x-8<0}，滿足(AB)C=0,(AB)C=R，求實數(shù)a的值集； .(4)已知A=trx2-x-2>0,xeZ1B=tr2x2+(5+2k)x+5k<0,xeZ，，且AB={-2}，求實數(shù)k的取值范圍。變式：不等式0<x2+mx+5<3恰好有一個實數(shù)解，求實數(shù)m的值集。例2.(1)已知集合A={xIx2-ax+8>0},B={xIx2-2ax-b<0}，且AB={x14<x<9},求實數(shù)a,b的值；(2)已知集合P={xIx2-3x+2<0},S={xIx2-2ax+a<0}，若ScP，求實數(shù)a的取值組成的集合A。變式練習(xí)：x-2已知集合A={xI-——>0},B={xIx2-4ax+3a2<0}，且AcB,求實數(shù)a的取值范圍。3-x(3)已知集合A={xIx2-ax+8>0},B={xIx-2a<0}，且AB=B，求a的取值范圍。課后作業(yè)：1.解下列關(guān)于x的不等式：xx x3+x2-2x八 2x2+3x-7- (2x-1)(x2-x-6)八(1)——>——；(2) <0；(3) >1；(4) >0；x-1x-1 x4-1 x2+x+1 2x2-3x+1

9 x-2 2 1 x|x-1|-2(5) <5x+2；(6) -<0；(7)—>-；(8)平12〉0；3-2x x2xx-12 x2 x-37、257、25x25x ，八 >.--；(10) + 6<0；(11)x2-2x-1;x2+1x2+1(9)1 1 + x+4x+511> + x+6x+3(1)若不等式“x2-2ax+3>0對xeR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是( )A.0<a<3B.0<a<3C.a<0或a>3D,a>3(2)若不等式￡<1的解集是Lx<1或x>2上則實數(shù)a的值為 。x-1(p+3)x+3,(3)p為何值時，不等式-12< <3對任意實數(shù)x恒成立。x2-x+1(4)設(shè)集A=；x 9<5x+2；,B={xx2-2x-k4+1>0}若A屋B，求實數(shù)k的取值范圍。(5)設(shè)集A=TOC\o"1-5"\h\zI3-2范圍。(5)設(shè)集A=x2-mx+n<0,m、neN*}，若3<x<4},求m、n的值。-x+5,0<x<3},2(6)已知集合A={yIy2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y-x+5,0<x<3},2若ABW01求實數(shù)a的取值范圍。y t(7)設(shè)集A=irx2-x-6>0},B=t2x2+(2k+7)x+7k<0},C=ixx=m,meZ}，若ABC={-3},求實數(shù)k的取值范圍。(8)(09天津卷理10)0<b<1+a,若關(guān)于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整數(shù)恰有3個，則( )A,-1<a<0( B,0<a<1、C,1<a<3D,3<a<6(9)已知M=tx,y)Ix2+2y2=3},N={(x,y)Iy=mx+b},若對于所有的meR,均NW0,則實數(shù)b的取值范圍是( )「35 , 、/6"、八,232v3、A.[一, ]B.(- , )C.(-,)A.2 2 2 2 3 3課后作業(yè)答案： , [ , [1.(1)lx|0<x<1}；(2){xx<-2或-1<x<0}；(3){xx<-4或x>2}；(4)(6)c1-1 --x-(4)(6)c1-1 --x-2<x<一或一<x<1或x>32 2xI-3<x<-2或2<x<4}；(7)；(5)Ixg<x<I或x>21；

11-4<x<0或0<x<4}；(8)x<2或x>3}；(9)b-3<x<-霹或-1<x<-2或2<x<1或及<x<3卜(1