天津市四合莊中學(xué)2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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天津市四合莊中學(xué)2025屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,,則()A. B. C. D.2.已知,橢圓的方程,雙曲線的方程為,和的離心率之積為,則的漸近線方程為()A. B. C. D.3.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個(gè)關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開(kāi)式,該公式于明朝初年傳入我國(guó).在我國(guó)科技水平業(yè)已落后的情況下,我國(guó)數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國(guó)的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開(kāi)始,歷時(shí)近30年,證明了包括這個(gè)公式在內(nèi)的三個(gè)公式,同時(shí)求得了展開(kāi)三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個(gè)新級(jí)數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書(shū),為我國(guó)用級(jí)數(shù)計(jì)算π開(kāi)創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開(kāi)式”計(jì)算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.4.已知斜率為2的直線l過(guò)拋物線C:的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,則p=()A.1 B. C.2 D.45.如圖,在中,點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.6.如圖,正方體的棱長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)在線段上,、分別是、的中點(diǎn),則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A., B.存在點(diǎn),使得平面平面C.平面 D.三棱錐的體積為定值7.()A. B. C. D.8.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,拋物線上任意一點(diǎn)P,且PQ⊥y軸交y軸于點(diǎn)Q,則的最小值為()A. B. C.l D.19.網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1單位長(zhǎng)度,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.1 B. C.3 D.410.已知在中,角的對(duì)邊分別為,若函數(shù)存在極值,則角的取值范圍是()A. B. C. D.11.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù),指數(shù)值趨小,表明空氣質(zhì)量越好,下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢(shì),下列敘述錯(cuò)誤的是()A.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上(指數(shù))的天數(shù)占C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好D.總體來(lái)說(shuō),該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好12.()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,且,則的最小值是______.14.已知的展開(kāi)式中含有的項(xiàng)的系數(shù)是,則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)_____.15.若函數(shù)的圖像上存在點(diǎn),滿足約束條件,則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)_________.16.為激發(fā)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作,敢于拼搏,不言放棄的精神,某校高三5個(gè)班進(jìn)行班級(jí)間的拔河比賽.每?jī)砂嘀g只比賽1場(chǎng),目前(—)班已賽了4場(chǎng),(二)班已賽了3場(chǎng),(三)班已賽了2場(chǎng),(四)班已賽了1場(chǎng).則目前(五)班已經(jīng)參加比賽的場(chǎng)次為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),若恒成立,求的最大值;(2)記的解集為集合A,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.(1)求和的值;(2)若函數(shù),求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程.19.(12分)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為0,公差為a,;等差數(shù)列的首項(xiàng)為0,公差為b,.由數(shù)列和構(gòu)造數(shù)表M,與數(shù)表;記數(shù)表M中位于第i行第j列的元素為,其中,(i,j=1,2,3,…).記數(shù)表中位于第i行第j列的元素為,其中(,,).如:,.(1)設(shè),,請(qǐng)計(jì)算,,;(2)設(shè),,試求,的表達(dá)式(用i,j表示),并證明:對(duì)于整數(shù)t,若t不屬于數(shù)表M,則t屬于數(shù)表;(3)設(shè),,對(duì)于整數(shù)t,t不屬于數(shù)表M,求t的最大值.20.(12分)已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且滿足.(1)求,及的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,已知.(1)求的值;(2)若,求的面積.22.(10分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),求正實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

求得集合中函數(shù)的值域,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】由,得,所以,所以.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值域的求法,考查集合補(bǔ)集、交集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式,結(jié)合和的離心率之積為,即可得的關(guān)系,進(jìn)而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程,雙曲線的方程為,則橢圓離心率,雙曲線的離心率,由和的離心率之積為,即,解得,所以漸近線方程為,化簡(jiǎn)可得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)應(yīng)用,橢圓與雙曲線離心率表示形式,雙曲線漸近線方程求法,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計(jì)算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時(shí)滿足判定條件,輸出結(jié)果,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出,其中解答中認(rèn)真審題,逐次計(jì)算,得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

設(shè)直線l的方程為x=y(tǒng),與拋物線聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得p.【詳解】由已知得F(,0),設(shè)直線l的方程為x=y(tǒng),并與y2=2px聯(lián)立得y2﹣py﹣p2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)C(x0,y0),∴y1+y2=p,又線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1,則y0(y1+y2)=,所以p=2,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線的相交弦問(wèn)題,利用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵,屬中檔題.5、B【解析】

,將,代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.6、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A;根據(jù)面面平行的定義判斷B;根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,判斷D.【詳解】在A中,因?yàn)榉謩e是中點(diǎn),所以,故A正確;在B中,由于直線與平面有交點(diǎn),所以不存在點(diǎn),使得平面平面,故B錯(cuò)誤;在C中,由平面幾何得,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出,結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面,故C正確;在D中,三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐的體積為定值,故D正確;故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.7、A【解析】

分子分母同乘,即根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】解:,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解:設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),,,,當(dāng)時(shí),取最小值,最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.9、A【解析】

采用數(shù)形結(jié)合,根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐,然后根據(jù)錐體體積公式,可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知:該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐,長(zhǎng)度如上圖所以所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積,熟悉常見(jiàn)圖形的三視圖:比如圓柱,圓錐,球,三棱錐等;對(duì)本題可以利用長(zhǎng)方體,根據(jù)三視圖刪掉沒(méi)有的點(diǎn)與線,屬中檔題.10、C【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),由有不等的兩實(shí)根,即可得不等關(guān)系,然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】,.若存在極值,則,又.又.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值,考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵.11、C【解析】

結(jié)合題意,根據(jù)題目中的天的指數(shù)值,判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.【詳解】對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中有個(gè)低于,個(gè)高于,其中第個(gè)接近,第個(gè)高于,所以中位數(shù)略高于,故正確.對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的,故正確.對(duì)于,由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來(lái)越好,從第天到第天空氣質(zhì)量越來(lái)越差,故錯(cuò)誤.對(duì)于,由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下,中旬大部分指數(shù)在以上,所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好,故正確.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)折線圖數(shù)據(jù)的分析,讀懂題意是解題關(guān)鍵,并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)命題進(jìn)行判斷,本題較為基礎(chǔ).12、D【解析】

利用,根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn),可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結(jié)果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式,關(guān)鍵在于掌握公式,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、8【解析】

由整體代入法利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為8,故答案為:8.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求和的最小值,整體代入法,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式得:,解得,令得:展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和,得解.【詳解】解:由的展開(kāi)式的通項(xiàng),令,得含有的項(xiàng)的系數(shù)是,解得,令得:展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式,屬于中檔題.15、1【解析】由題知x>0,且滿足約束條件的圖象為由圖可知當(dāng)與交于點(diǎn)B(2,1),當(dāng)直線過(guò)B點(diǎn)時(shí),m取得最大值為1.點(diǎn)睛:線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是:一、準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域;二、畫(huà)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí),要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免出錯(cuò);三、一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.16、2【解析】

根據(jù)比賽場(chǎng)次,分析,畫(huà)出圖象,計(jì)算結(jié)果.【詳解】畫(huà)圖所示,可知目前(五)班已經(jīng)賽了2場(chǎng).故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查推理,計(jì)數(shù)原理的圖形表示,意在考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)當(dāng)時(shí),由題意得到,令,分類(lèi)討論求得函數(shù)的最小值,即可求得的最大值.(2)由時(shí),不等式恒成立,轉(zhuǎn)化為在上恒成立,得到,即可求解.【詳解】(1)由題意,當(dāng)時(shí),由,可得,令,則只需,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;故當(dāng)時(shí),取得最小值,即的最大值為.(2)依題意,當(dāng)時(shí),不等式恒成立,即在上恒成立,所以,即,即,解得在上恒成立,則,所以,所示實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含絕對(duì)值的不等式的解法,以及不等式的恒成立問(wèn)題的求解與應(yīng)用,著重考查了轉(zhuǎn)化思想,以及推理與計(jì)算能力.18、(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)由題意得,,(2)由,解得,所以對(duì)稱(chēng)軸為,.由,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.19、(1)(2)詳見(jiàn)解析(3)29【解析】

(1)將,代入,可求出,,可代入求,,可求結(jié)果.(2)可求,,通過(guò)反證法證明,(3)可推出,,的最大值,就是集合中元素的最大值,求出.【詳解】(1)由題意知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:,得,則,,得,故.(2)證明:已知.,由題意知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為:,得,,.得,,,.所以若,則存在,,使,若,則存在,,,使,因此,對(duì)于正整數(shù),考慮集合,,,即,,,,,,.下面證明:集合中至少有一元素是7的倍數(shù).反證法:假設(shè)集合中任何一個(gè)元素,都不是7的倍數(shù),則集合中每一元素關(guān)于7的余數(shù)可以為1,2,3,4,5,6,又因?yàn)榧现泄灿?個(gè)元素,所以集合中至少存在兩個(gè)元素關(guān)于7的余數(shù)相同,不妨設(shè)為,,其中,,.則這兩個(gè)元素的差為7的倍數(shù),即,所以,與矛盾,所以假設(shè)不成立,即原命題成立.即集合中至少有一元素是7的倍數(shù),不妨設(shè)該元素為,,,則存在,使,,,即,,,由已證可知,若,則存在,,使,而,所以為負(fù)整數(shù),設(shè),則,且,,,,所以,當(dāng),時(shí),對(duì)于整數(shù),若,則成立.(3)下面用反證法證明:若對(duì)于整數(shù),,則,假設(shè)命題不成立,即,且.則對(duì)于整數(shù),存在,,,,,使成立,整理,得,又因?yàn)?,,所以且?的倍數(shù),因?yàn)椋?,所以,所以矛盾,即假設(shè)不成立.所以對(duì)于整數(shù),若,則,又由第二問(wèn),對(duì)于整數(shù),則,所以的最大值,就是集合中元素的最大值,又因?yàn)椋?,,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,以及反證法,求最值,屬于難題.20、(1);.;(2)【解析】

(1)根據(jù)題意,知,且,令和即可求出,,以及運(yùn)用遞推關(guān)系求出的通項(xiàng)公式;(2)通過(guò)定義法證明出是首項(xiàng)為8,公比為4的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,即可求得的前項(xiàng)和.【詳解】解:(1)由題可知,,且,當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,,由已知可得,且,∴的通項(xiàng)公式:.(2)設(shè),則,所以,,得是首項(xiàng)為8,公比為4的等比數(shù)列,所以數(shù)列的前項(xiàng)和為:,即,所以數(shù)列的前項(xiàng)和:.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,考查計(jì)算能力.21、(1);(2).【解析】

(1)由,利用余弦定理可得,結(jié)合

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