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2025屆福建省晉江市永春縣第一中學(xué)高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是A. B.C. D.2.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若,則內(nèi)角()A. B. C. D.3.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.4.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.35.函數(shù)f(x)=sin(wx+)(w>0,<)的最小正周期是π,若將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng),則函數(shù)f(x)的解析式為()A.f(x)=sin(2x+) B.f(x)=sin(2x-)C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)=sin(2x-)6.已知復(fù)數(shù)滿足,則的共軛復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.7.已知中內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊依次為,若,則的面積為()A. B. C. D.8.“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶,“火紋”是常見(jiàn)的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測(cè)算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn),己知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影部分據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是()A. B. C.10 D.9.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A. B.4C. D.510.設(shè)命題:,,則為A., B.,C., D.,11.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列,且,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,若雙曲線(,)的離心率為,則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______.14.根據(jù)如圖所示的偽代碼,若輸入的的值為2,則輸出的的值為_(kāi)___________.15.命題“對(duì)任意,”的否定是.16.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18.(12分)已知函數(shù),,使得對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù),都有恒成立.(1)求的解析式;(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根,且,求證:.19.(12分)設(shè),,,.(1)若的最小值為4,求的值;(2)若,證明:或.20.(12分)數(shù)列滿足,是與的等差中項(xiàng).(1)證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)將棱長(zhǎng)為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體,為的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值.22.(10分)如圖,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,,為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),周長(zhǎng)的最大值為8.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)直線經(jīng)過(guò),交橢圓于點(diǎn),,直線與直線的傾斜角互補(bǔ),且交橢圓于點(diǎn),,,求證:直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
依照偶函數(shù)的定義,對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),a﹣1=﹣2a,即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),且f(x)是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義,對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x);奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),定義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù).2、C【解析】
由正弦定理化邊為角,由三角函數(shù)恒等變換可得.【詳解】∵,由正弦定理可得,∴,三角形中,∴,∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理,考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式,掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵.3、D【解析】
做出函數(shù)的圖象,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個(gè)交點(diǎn),而函數(shù)在上有3個(gè)交點(diǎn),則在上有4個(gè)不同的交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí),;當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí),,可知當(dāng)時(shí),直線與的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn),即方程,在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的基本思想,屬于中檔題.4、D【解析】
利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結(jié)果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個(gè)向量垂直,,且與的夾角為,說(shuō)明以向量,為鄰邊,為對(duì)角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.【詳解】分析:由函數(shù)的周期求得,再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),得到,由此求得滿足條件的的值,即可求得答案.詳解:因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期是,所以,解得,所以,將該函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后,得到圖像所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為,由此函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),得:,即,取,得,滿足,所以函數(shù)的解析式為,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及函數(shù)的解析式的求解,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.6、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由,得,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則,考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
由余弦定理可得,結(jié)合可得a,b,再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.8、D【解析】
直接根據(jù)幾何概型公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型:,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.9、B【解析】
還原幾何體的直觀圖,可將此三棱錐放入長(zhǎng)方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖,三棱錐的直觀圖為,體積.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計(jì)算能力,屬于中檔題.10、D【解析】
直接利用全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題寫(xiě)出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題,所以,命題:,,則為:,.故本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定,特稱(chēng)命題與全稱(chēng)命題的否定關(guān)系,是基礎(chǔ)題.11、A【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,排除錯(cuò)誤選項(xiàng),從而得出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,所以是偶函?shù),排除C和D.當(dāng)時(shí),,,令,得,即在上遞減;令,得,即在上遞增.所以在處取得極小值,排除B.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,屬于中檔題.12、B【解析】
由等差數(shù)列的性質(zhì)和已知可得,即可得到,代入由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【詳解】解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,解得,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的下標(biāo)和公式的應(yīng)用,涉及三角函數(shù)求值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用,解出,即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】,且,,,該雙曲線的漸近線方程為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率與漸近線方程,考查了雙曲線基本量的關(guān)系,考查了運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
滿足條件執(zhí)行,否則執(zhí)行.【詳解】本題實(shí)質(zhì)是求分段函數(shù)在處的函數(shù)值,當(dāng)時(shí),.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查條件語(yǔ)句的應(yīng)用,此類(lèi)題要做到讀懂算法語(yǔ)句,本題是一道容易題.15、存在,使得【解析】試題分析:根據(jù)命題否定的概念,可知命題“對(duì)任意,”的否定是“存在,使得”.考點(diǎn):命題的否定.16、【解析】
先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法,考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,進(jìn)而求得.(2)由(1)得,,利用分組求和及錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,數(shù)列的公比為q,由可得,,整理得,即,故,由可得,則,即,故.(2)由(1)得,,,故,所以,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,設(shè)①,則②,②①得,綜上,數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題考查求等差等比的通項(xiàng)公式,考試分組求和及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.18、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)根據(jù)題意,在上單調(diào)遞減,求導(dǎo)得,分類(lèi)討論的單調(diào)性,結(jié)合題意,得出的解析式;(2)由為方程的兩個(gè)實(shí)根,得出,,兩式相減,分別算出和,利用換元法令和構(gòu)造函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求出,即可證出結(jié)論.【詳解】(1)根據(jù)題意,對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù),都有恒成立.則在上單調(diào)遞減,因?yàn)?,?dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減.,當(dāng)時(shí),由,有,此時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,綜上,,所以.(2)由為方程的兩個(gè)實(shí)根,得,兩式相減,可得,因此,令,由,得,則,構(gòu)造函數(shù).則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,即,可知,故,命題得證.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的解析式、以及利用構(gòu)造函數(shù)法證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想、解題分析能力和計(jì)算能力.19、(1)2;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)將化簡(jiǎn)為,再利用基本不等式即可求出最小值為4,便可得出的值;(2)根據(jù),即,得出,利用基本不等式求出最值,便可得出的取值范圍.【詳解】解:(1)由題可知,,,,,∴.(2)∵,∴,∴,∴,即:或.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,利用基本不等式和放縮法求最值,考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力.20、(1)見(jiàn)解析,(2)【解析】
(1)根據(jù)等差中項(xiàng)的定義得,然后構(gòu)造新等比數(shù)列,寫(xiě)出的通項(xiàng)即可求(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,分組求和即可【詳解】解:(1)由已知可得,即,可化為,故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.即有,所以.(2)由(1)知,數(shù)列的通項(xiàng)為:,故.【點(diǎn)睛】考查等差中項(xiàng)的定義和分組求和的方法;中檔題.21、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接、,連接,證明出四邊形為平行四邊形,可得出,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得二面角的余弦值,進(jìn)而可求得其正弦值.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接、、,且,四邊形為平行四邊形,且,、分別為、中點(diǎn),且,則四邊形為平行四邊形,且,且,且,所以,四邊形為平行四邊形,且,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、,,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,取,則,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,取,則,,,,,因此,二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.22、(Ⅰ);(Ⅱ)詳見(jiàn)解析.【解析】
(Ⅰ)由橢圓的定義可得,周長(zhǎng)取最大值時(shí),線段過(guò)點(diǎn),可求出,從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)設(shè)直線,直線,,
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