2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓中證切線、求弧長(zhǎng)、求面積、新定義探究問(wèn)題（8題型）（解析版）

搶分秘籍10圓中證切線、求弧長(zhǎng)、求面積、新定義探究問(wèn)題

（壓軸通關(guān)）

目錄

【中考預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）

?I中考預(yù)測(cè)

圓中證切線、求弧長(zhǎng)、求扇形面積問(wèn)題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有

一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，證明切線是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)，圓通常還會(huì)和其他幾何圖形及函

數(shù)結(jié)合一起考查。

2.從題型角度看，以解答題的第六題或第七題為主，分值8~10分左右，著實(shí)不少！

-G分通關(guān)

題型一證切線'求面積

典例精講

【例1】（2024?湖北襄陽(yáng)?一模）A3是。的直徑，ZABT=45°,AT=AB,3T與I。相交于點(diǎn)C.

⑴如圖1,求證：AT是:。的切線；

（2）如圖2,連接AC,過(guò)點(diǎn)。作ODLAC分別交AT,AC于點(diǎn)D,E,交AC于點(diǎn)八若AB=2垃,求圖

中陰影部分的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵2一號(hào)

【分析】本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出/AR=90。，再根據(jù)切線的判定方法進(jìn)行解答即可;

（2）根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：AT=AB,

.\ZATB=ZABT=45°f

ZTAB=180°-45°-45°=90°,

即

“是O的直徑，

.?.AT是。的切線；

（2）解：如圖，連接OC,

AB是。的直徑，

.\ZACB=90°,

即AC±BT9

AC±ODf

OD//BT,

.?.AQD=N5=45。，

/.AD=AO=-AB=42,

2

BC=TC,AO=BO,

OC//AT,

/.ZCOF=90°-45°=45°,

?二S陰影部分=S梯形OATC—SAOD-S扇形。CF

1/、145萬(wàn)x(0)

=-x(V2+2V2)xV2——XV2XA/2----------———

2'>2360

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)切線的判定

方法進(jìn)行解答即可；根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【例2】（2024?湖北十堰?一模）如圖，。是：O的直徑，點(diǎn)8在。上，點(diǎn)A為。C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。

作交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且=

⑴求證：AE是（。的切線；

（2）若線段OE與（。的交點(diǎn)廠是OE的中點(diǎn)，。的半徑為6,求陰影部分的面積.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

（2）6兀一述

2

【分析】本題考查切線的判定，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，

扇形的面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn).正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

（1）連接根據(jù)圓周角定理得到根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到NOBE=90。,

根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）連接班■，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到骸=。尸，推出一尸是等邊三角形，得至UNBO尸=60°,根據(jù)

扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：連接。3,

回。是＜。的直徑，

0BC1BD,即NCBZ）=90。，

SOE//BC,

團(tuán)NDGO=NCBD=90°,

^ZBGE=ZDGO=90°,N￡)+NDOG=90。,

回“=/￡,

⑦/DOE=/DBE,

回OE=OB,

⑦ND=NOBD,

團(tuán)ZOBD+NDBE=ND+/DOG=90°,

回NO班;=90。，

回OB是f。的半徑，

團(tuán)4￡1是(。的切線；

(2)解：連接M,

0ZOBE=9O°,尸是OE的中點(diǎn)，

田BF=OF,

0，。的半徑為6,NDGO=90。,

B1BF=OF=OB=6,Z.BGO=180°-ZDGO=90°,

團(tuán)08廠是等邊三角形，

0ZBOF=60°,

0ZOBG=90°-NBOF=30°,

3OG=-OB^3,BG=dOB2-OG2=&-￥=3#),

2

團(tuán)陰影部分的面積為：S扇形。/一S.BG=K轟必一gx3/x3=6兀一券，

團(tuán)陰影部分的面積為6%-28.

2

名校模擬

1.（2024?廣東佛山?一模）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AC=CE,連接AE交。

于點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，。。為半徑作。，。交線段AO于點(diǎn)尸.

(2)若48=2忘+2,求陰影部分的面積.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)272+2--^

【分析】(1)作OGLAC,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到/ZME=NAEC,由AC=CE,得到NE4C=NAEC,

由角平分線的性質(zhì)定理，得到OD=OG,即可求解，

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)，設(shè)8=°,根據(jù)。應(yīng)0。，求出0。的長(zhǎng)，根據(jù)NE4c=ND4E=g/D4C,

求出/OO廠的度數(shù)，根據(jù)S陰影=SABC~S扇形。Of，即可求解，

本題考查了，切線的判定，正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，扇形的面積，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握

相關(guān)性質(zhì)定理.

【詳解】(1)解：過(guò)點(diǎn)。作OG_LAC,交AC于點(diǎn)G,

13正方形ABCD,

^DA//CB,ODLAD,

SZDAE=ZAEC,

團(tuán)AC-CE,

^ZEAC=ZAEC,

⑦ZEAC=NDAE,

回OD=OG,

回點(diǎn)G在。上，

團(tuán)43是(。的切線，

(2)解：回正方形ABCD,

ElZOCG=ZDAC=45°,0c=43=20+2,

0OD=OG,

設(shè)OD=a,貝！)OC=0Q,

團(tuán)+碼Q=20+2,解得：a=2,

回。D=a=2

團(tuán)ZEAC=/DAE=-ADAC=工x45。=22.5°,

22

團(tuán)ZDOA=90°-22.5°=67.5°,

cc_167.5兀Of）?_i/67.5兀x2?_63

S陰影=SMC—S扇形。。F=-xDnAnOrDi---=^x（2.2+2）x2o—--=2V2+2--TI,

2JOU2'/JOU4

故答案為：2立+2-卜.

4

2.（2024?遼寧沈陽(yáng)一模）如圖，直線/與：＞。相切于點(diǎn)M,點(diǎn)尸為直線/上'點(diǎn)，直線尸。交：。于點(diǎn)48,

點(diǎn)C在線段PM上，連接BC,且CM=3C.

⑴判斷直線BC與。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若=。的半徑為6cm,求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）直線BC是：。的切線，理由見(jiàn)解析

⑵（12萬(wàn)-9A卜n?

【分析】（1）首先證明OBC%OMC（SSS）,得出NC8O=NawO=90。，即可得出直線BC是。的切線；

（2）利用切線的性質(zhì)定理以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系得出NPOM=60。，則NMQ4=120。，以及All

的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式以及扇形面積公式得出答案即可.

【詳解】（1）解：直線86是（。的切線，

理由：連接MO,CO,

回直線/與。相切于點(diǎn)M,

BlZPMO^90°,

在AOBCWQMC中

BC=MC

COCO,

B0=M0

003C咨。wc(sss),

0ZCBO=Z.CMO=90°,

AB為直徑，

回直線5c是：。的切線；

(2)過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)N,

PCV/

國(guó)AB=2BP,

^\PB=BO=MOf

即MO二^PO,

2

又團(tuán)ZPMO=90。，貝lJsinNOPM=^=g,

團(tuán)NMPO=30。，

0ZPOM=6O°,貝！JZMCM=120。，

rc120^x621C/2\

團(tuán)S扇形A0M=一標(biāo)—=12萬(wàn)(cm),

回NMOA=120。，ON.LAM,

^\ZMON=ZAON=^)°,

團(tuán)NO二;x6=3(cm),

MTV=CO?sin60。=Ix6=3同cm),

2

團(tuán)AM=6^cm,則SA0M=xNOxAM=；X3*66=9在(cm),

2

回圖中陰影部分的面積為：S扇形aw-SAOM=(12^-9V3)cm.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了扇形面積公式以及切線的性質(zhì)和判定和銳角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用以及全等三角形的

判定及性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)和判定定理是解題關(guān)鍵.

題型二證切線、求線段或半徑

典例精講J

【例1】(新考法，拓視野)(2024?廣東深圳?一模)如圖，已知是:。的直徑.點(diǎn)尸在B4的延長(zhǎng)線上，

點(diǎn)。是1。上一點(diǎn).連接尸￡),過(guò)點(diǎn)8作3E垂直于PD,交PD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。、連接A￡)并延長(zhǎng)，交BE于

點(diǎn)、E,S.AB=BE

⑴求證：PZ）是1。的切線；

4

⑵若PA=2,tanB=-,求O半徑的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)詳解

（2）3

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出再根據(jù)垂線、平行線的性質(zhì)得出

ODVCD,由切線的判定方法即可得出結(jié)論；

（2）在直角三角形OD尸中由銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理列方程求解即可.

【詳解】（1）證明：如圖，連接

OA=OD，

：.ZOAD=ZODA,

AB=BE,

:.ZBAE=ZBEA,

.\ZODA=ZBEA,

回OD〃BE,

BCLCD,

:.OD±CD,

OD是。的半徑，

.?.如是＜。的切線；

(2)解：由(1)可知，OD//BE,

:.ZB=ZPOD,

4PD4

在RtPOD中，tan/POD=tanB=—,即---=—,

3OD3

設(shè)尸。=4%,則QD=3x,

:.OP=yJPD2+OD2=5x，

PA=2=5x-3x,

解得X=l,

OD=3x=3,

即半徑為3.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，

圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關(guān)鍵.

【例2】(2024?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))如圖，在ABC中，ZACB=90°,點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，且=

2

點(diǎn)。在3C上，以點(diǎn)。為圓心的圓經(jīng)過(guò)C,。兩點(diǎn).

⑴求證：A3是:。的切線；

3

(2)若sinB=《，。的半徑為3,求AC的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)6

【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出

輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)連接根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NOCD=NOZ)C,求得"OB=NOCD+NODC=2ZBCD,等量代

換得到4OD=NA,求得ZBDO=90°,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義得到03=5,求得3c=O3+OC=8,設(shè)AC=3x,AB=5x,根據(jù)勾股定理得到

BC=8,于是得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接

OC=OD,

:./OCD=/ODC,

ZDOB=NOCD+NODC=2ZBCD,

.\ZBCD=-ZBOD,

2

ZBCD=-ZA,

2

:.ZBOD=ZA,

ZACB=90°,

:.ZA+ZB=90°,

.-.ZBOr>+ZB=90°,

NBDO=90。,

OD是。的半徑，

???直線A3與：。相切；

(2)sin8=g=3，。。=3,

OB5

:.OB=5,

BC-OB+OC—8,

AC3

在Rtz\ACB中，sinB=-----=—,

AB5

.,設(shè)AC=3x,AB=5x,

BC=y]AB--AC2=4x=8>

..x=2,

/.AC=3x=6.

名校模擬

1.（2024?廣東珠海?一模）如圖，A2是的直徑，AC^BC,E是。3的中點(diǎn)，連結(jié)CE并延長(zhǎng)到點(diǎn)死

使EF=CE.連結(jié)AF交于點(diǎn)。，連結(jié)3。，BF.

⑴求證：直線M是。的切線.

(2)若AF=5,求的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)BD=2

【分析】(1)證明—OCE一班E(SAS),可得NOB/=NCOE=90。，可得結(jié)論;

(2)由勾股定理求得和即，再根據(jù)等面積法即可求得3D.

【詳解】(1)證明：連接0C,如圖所示：

團(tuán)42是〈。的直徑，

0ZACB=90°,

SAC^BC,OA^OB,

0OC1AB,

0ZBOC=90°,

EIE是QB的中點(diǎn)，

0OE=BE,

在△OCE和△BFE中,

OE=BE

<ZOEC=ZBEF,

CE=EF

0OCEgBFE(SAS),

0ZOBF=ZCOE=90°,

回直線3尸是。的切線;

(2)由(1)知8尸=OC=；AB,ZABF=90°,

設(shè)。。的半徑為廠，則AB=2r,BF=r,

在AAB尸中，由勾股定理得482+3尸2=詼2,

BP(2r)2+r2=52,解得r=有，

即AB=2?,BF=亞,

EIAB為直徑，

0ZAZ)B=9O°,

0s..RF=—ABxBF--AFxBD,

MBF22

KP-x2V5xV5=-x5xBZ),

22

解得BD=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，等腰三角形

的性質(zhì)等，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

2.(2024?湖北隨州?一模)如圖，四邊形ABC。是.。的內(nèi)接四邊形，是直徑，C是8。的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C

作CELAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

⑴求證：CE是。的切線；

(2)若3c=6,AC=8,求CE,DE的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)Z)E=y,￡C=y

【分析】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握

相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，

(2)先由“直徑所對(duì)的圓周角是直角"，證ABC是直角三角形，用勾股定理求出A3長(zhǎng)，再通過(guò)三角形相似

即可求解.

【詳解】(1)證明：連接OC

E

a

回C為8。的中點(diǎn),

0CD=BC，

0Z1=Z2,

又田OA=OC,

*2=/3,

0Z1=Z3,

^\AE//OC,

又EICE_LAE,

0CE±OC,OC為半徑,

回CE為〈O的切線，

(2)回A3為。直徑，

0ZACB=90°,

0BC=6,AC=8,

0AB=1O,

X0Z1=Z2,ZAEC=ZACB=90°,

團(tuán)，ACQs,AC6,

團(tuán)一EC=

CBAB610

24

團(tuán)EC=——

5

?CD=CB，

團(tuán)CD=BC=6,

在RtADEC中，由勾股定理得：

DE=S)CD2-CE2=/一樣J=y.

題型三圓與（特殊）平行四邊形綜合問(wèn)題

典例精講

【例1】(新考法，拓視野)(2024?廣東江門?一模)如圖，矩形ABCD中，AB=16,AD^6.E是。的中

點(diǎn)，以AE為直徑的。與交于凡過(guò)尸作尸GL3E于G.

⑴求證：FG是t。的切線.

(2)求cosNEBA的值.

【答案】⑴見(jiàn)解析

【分析】(1)連接。尸交AE于點(diǎn)。，由圓周角定理推論得到ZAFE=90°,根據(jù)矩形ABCD，得到四邊形ADEF

是矩形，得到A尸=DE,點(diǎn)。是的圓心，根據(jù)DE=CE,證明”=族，根據(jù)AO=OE,得到OF//BE,

推出尸G1.0尸，即得FG是〈Q的切線；

4

(2)證明昉=8,EF=6,NBFE=90。,根據(jù)勾股定理得到3E=10,根據(jù)余弦定義即得cos/EA4=y.

【詳解】(1)連接。尸交AE于點(diǎn)。，

。的直徑，

0ZAFE=9O°,

回四邊形ABCD是矩形，

0ZS/1D=ZADC=90°,

團(tuán)四邊形ADEF是矩形，

SiAF=DE,OF=OA=OD=OE,

回點(diǎn)。是的圓心，

ae是co的中點(diǎn)，

團(tuán)DE=CE,

^\DC=AB,

⑦AF=BF,

團(tuán)AO=OE,

?OF〃BE,

?FG工BE,

⑦FGLOF,

BBF=-AB=8,

2

團(tuán)EF=AD=6,ZBFE=180°-ZAFE=90°,

回BE=dEF?+BF2=]0，

BF4

0cosZEBA==—.

BE5

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查了圓，矩形，三角形綜合.熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)和圓周角定理推論，矩形的判

定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識(shí),

是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?安徽馬鞍山?一模）如圖，四邊形488是（O的內(nèi)接四邊形，直徑OE平分NMC.

（2）過(guò)點(diǎn)A向圓外作皿3=NACB,且AF=CD,求證：四邊形ABD尸為平行四邊形.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是圓的相關(guān)性質(zhì)-圓周角定理推論、同圓中弧弦間的關(guān)系，平行四邊形的判定,

（1）先證明BE=CE及￡BD=EC￡＞，證出BD=CD即可證出結(jié)論；

（2）先證明”〃班＞,再證明AF=3D即可證出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：DE為:一。直徑，

\EBD=ECD-

V直徑DE平分N3DC,

.,.NBDE=NCDE,

...BE=CE，

\EBD-BE=ECD-CE，

BD=CD，

BD=CD；

(2)證明：1DAF彳頁(yè)CB,ACB=?ADB

.\ZADB=ZDAF

:.AF//BD

AF=CD,BD=CD

：.AF=BD

.??四邊形ABD尸為平行四邊形.

名校模擬

1.(2024?云南?模擬預(yù)測(cè))如圖，線段A3與，1。相切于點(diǎn)40交(。于點(diǎn)其延長(zhǎng)線交I。于點(diǎn)C,

連接BC,NABC=120。，D為。上一點(diǎn)且弧的中點(diǎn)為連接AD,CD.

⑴求/ACB的度數(shù)；

⑵四邊形A5CD是否是菱形？如果是，請(qǐng)證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若AC=6,求弧CD的長(zhǎng).

【答案】⑴30。

⑵四邊形ABCD是菱形，理由見(jiàn)解析

⑶￥

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)及角的和差求出/OBC=30。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可；

(2)根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)得出/。。0=/3。0=30。,￡)〃=2河，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

NC4B=30。=ZACB=/DCM,進(jìn)而推出AB=BC,AB\\CD,根據(jù)圓周角定理得NCDM=NCBW=90。，利用

證明RtQM/RtCBM,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出CD=AB,結(jié)合ABiCD,推出四邊形ABCD是

平行四邊形，再結(jié)合鉆=3C,進(jìn)而判定四邊形是菱形；

(3)根據(jù)菱形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)推出ND4c=30。,NOZ)C=3()。,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角的和差

推出NADC=120。,ZADO=90。,NCOD=120。，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出OC=2,再根據(jù)弧長(zhǎng)

計(jì)算公式求解即可.

【詳解】（1）如圖，連接05,

團(tuán)線段與「。相切于點(diǎn)5,

.\OB.LAB,

:.ZABO=90°,

Zz4BC=120°,

/.ZOBC=ZABC-ZABO=30°,

OB=OC,

:.ZACB=ZOBC=30°；

(2)四邊形ABCD是菱形，理由如下:

連接,

團(tuán)弧。B的中點(diǎn)為M,

團(tuán)ZDCM=ZBCM=30°,DM=BM,

團(tuán)NG4B+ZABC+ZACB=180。，

^ZCAB=30°=ZACB=ZDCM9

團(tuán)AB=BC,ABCD,

團(tuán)MC為CO的直徑，

⑦NCDM=NCBM=90。,

在RtCDM和RtCBM中,

(CM=CM

[DM=BM'

團(tuán)RtCDM^RtCBM(HL),

團(tuán)CD=CB,

國(guó)CD=AB,

又ABCD,

團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形，

^AB=BC,

團(tuán)四邊形ABCD是菱形;

(3)如圖,連接。如,

團(tuán)四邊形ABCD是菱形，

團(tuán)AD=CD,

團(tuán)NZMC=NOC4=30。，

團(tuán)ZADC=180?！猌DAC-ZDCA=120°,

回OD=OC,

團(tuán)NQDC=NOCD=30。，

團(tuán)ZADO=ZADC-ZODC=90°,ZCOD=180?！猌OCD-ZODC=120°,

團(tuán)OA=2OD=2OC,

0AC=Q4+OC=6,

團(tuán)OC=2,

."120?x24

國(guó)弧CD的長(zhǎng)=———=-n.

lol)J

【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的

判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、弧長(zhǎng)計(jì)算公式等知識(shí)，熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形

的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、弧長(zhǎng)計(jì)算公式并作出合理的輔助線是解題

的關(guān)鍵.

2.(2024?河南平頂山?一模)如圖，AB為。的直徑，點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，。的切線CE,與BD

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,連接8C.

⑴求證：NCEB=90。

⑵連接CO，當(dāng)CD〃鉆時(shí)：

①連接OC,判斷四邊形O3DC的形狀，并說(shuō)明理由.

②若BE=3,圖中陰影部分的面積為------（用含有兀的式子表示）.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵①菱形，理由見(jiàn)解析；②（萬(wàn)

【分析】（1）連接OC,證明OC〃BE,即可得到結(jié)論.

（2）①根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件先證明四邊形03DC是平行四邊形，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及點(diǎn)C是AO

的中點(diǎn)，可得ZDCB=ZDBC從而證明鄰邊相等，即可得出結(jié)論；

②連接0。，如圖所示，設(shè)0D,BC交于點(diǎn)/，證明AC=DC=BC得ZAOC=60°，從而可求出Z.CBE=30°,

解直角三角形得出03=2,根據(jù)CD〃鈿，從而可得SAC”=SASS，求出扇形COD的面積即可得到陰影

部分的面積.

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接OC,

E

回點(diǎn)C是AD的中點(diǎn)，

團(tuán)AC=Z）C，

國(guó)ZABC=NEBC,

回OB=OC,

⑦ZABC=NOCB,

⑦NEBC=NOCB,

^\OC//BE,

團(tuán)CE是，：。的切線.

團(tuán)OC_LCE,

團(tuán)5￡_LC￡,即：NCEB=90。；

（2）①如圖所示，

E

由（1）可得OC〃BE

^CD//AB

團(tuán)NDCB=NABC,四邊形。是平行四邊形,

又田ZABC=/EBC

?NDCB=NEBC

團(tuán)DC=DB,

回四邊形03。。是菱形，

②連接0。，如圖所示，設(shè)。。3c交于點(diǎn)下

E

團(tuán)CD-BD,

^CD=BD,

^CD=BD,AC=DC

國(guó)AC=DC=BC，

0ZAOC=ZCOD=ZBOD=60°,

團(tuán)ZABC=ZCBE=-ZAOC=30°,

2

BE

^\cosZCBE=----,BE=3,

BC

團(tuán)BC=--------=2^3；貝|BF=6

cos30°

2

^\CD//AB,

團(tuán)S^COD=S&BCD，

回S陰影=S扇形COD-

同qq_60^-x22_2"

口,陰影一＞扇形cc?一-痛6——飛?

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，弧弦圓心角的關(guān)系，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的

性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，扇形的面積等知識(shí)，熟練掌握切線的判斷定理以及扇形

面積的求法是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?江蘇南京?一模)如圖，四邊形ABCQ是平行四邊形，AB=AC；

(2)如圖②，當(dāng)8與,：。相交于點(diǎn)E時(shí).

(0)若AD=6,CE=5,求,。的半徑.

(0)連接8E,交AC于點(diǎn)R若EF-AB=CE?,則一￡＞的度數(shù)是，

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵(回)空也；(回)72

8

【分析】(1)連接CO并延長(zhǎng)，交::。于點(diǎn)連接AM,證明ZABC=ZBAC,得出AC=BC,WAB=AC,

得出=即可證明結(jié)論；

(2)(0)證明得出四=匹，即_￡=組二求出.=9(負(fù)值舍去)，設(shè)

ABBCAB6

OA=OB^OC=r,則。尸=6&-r，根據(jù)勾股定理得出/=(60-rf+32,求出結(jié)果即可；

(0)證明aACES;ECF,得出NCEF=NC4E,證明NBAC=NC3E=NABE,根據(jù)AB=AC,得出

ZABC=ZACB,設(shè)ZABC=ZACB=x，則/BAC=/CBE=ZABE=』無(wú)，根據(jù)ZABC+ZACB+ABAC=180°,

2

得出x+x+gx=180。，求出x的值即可.

【詳解】(1)解：連接CO并延長(zhǎng)，交C。于點(diǎn)“，連接A"，如圖所示:

^\ZMAC=90°,

^\ZAMC+ZACM=90°,

團(tuán)CD與t。相切，

團(tuán)MC_LCD,

國(guó)NMCD=90。,

^\ZMCA+ZACD=90°,

^\ZAMC=ZACDf

團(tuán)AC=AU

^\ZAMC=ZABC,

團(tuán)NABC=NACD,

回四邊形ABC。為平行四邊形，

團(tuán)A3CD,

^ZBAC=ZACDf

團(tuán)/ABC=NBAC,

回AC=BC,

回AB=AC,

回AB=BC,

團(tuán)四邊形ABCD為菱形.

(2)解：(團(tuán))連接A0并延長(zhǎng)，交3C于點(diǎn)尸，連接03、0C,AE,如圖所示:

團(tuán)A0垂直平分3C,

[3/APC=NAPB=90°,BP=CP=-BC=3,

回四邊形ABCD為平行四邊形,

團(tuán)Z.ABC=ND,AB=CD,AD=BC=6,

團(tuán)四邊形ABCS內(nèi)接于O,

團(tuán)N5+ZAEC=180。，

0ZA￡C+ZAED=180°,

回NAED=NABC,

回AB=AC,

^\ZABC=ZACBf

田NABC=NACB=ND=NAED,

0AABCSAADE1,

ADDE

團(tuán)---=---

ABBC

?DE=CD—CE=AB—CE,

「6AB-5

團(tuán)——=------

AB6

解得：AB=9(負(fù)值舍去),

0AP=VAS2-BP2=JA-32=6V2，

設(shè)OA=OB=OC=r,則OP=6^2-r，

SOB2=OP2+BP2,

艮fl戶=（60—r）"+32,

270

解得：r

8

即圓的半徑為之也.

8

(0)連接AE,如圖所示:

AD

團(tuán)四邊形ABCD為平行四邊形,

0ABCD,

^\ZACE=ZBAC,

⑦BC=BC，

⑦NCEB=NBAC,

◎NCEB=NACE,

^AE=BC，EF=CF

⑦EF?AB=CE?,AB=AC,

CEAC

回-------,

CFCE

⑦/ECF=ZACE,

回ACEs,ECF,

^\ZCEF=ZCAE,

⑦CE=CE，

@/CAE=NCBE,

⑦NCEF=NCBE,

^AE=BC，

?ZABE=/CEF,

回ZABE=/CBE,

回NBAC=ZCBE=ZABE,

回AB=AC,

⑦/ABC=ZACB,

瞰NABC=NACB=x,則N3AC=NC3E=NA3E=,

2

團(tuán)ZABC+ZACB+ZBAC=180。，

團(tuán)x+—x=180°,

2

解得：x=72。，

0Z￡>=ZABC=72°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和判定，作出輔助線.

題型四圓內(nèi)接三角形和四邊形

典例精講

【例1】（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，Rt^ABC內(nèi)接于eO,NACB=90。，過(guò)點(diǎn)C作CF1AB交A3于點(diǎn)E,

交，:，。于點(diǎn)。，連接AF交。于點(diǎn)G,連接CG,OG,/⑦，設(shè)tan"GP=〃z（%為常數(shù)）.

A

B

⑴求證：ZAGC=ZDGF；

(2)設(shè)ZGDC-ZGCD=a,ZF=0,求證：a=2/3-,

（3）求筆手的值（用含機(jī)的代數(shù)式表示）.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

AGAF1+m2

（5）---；-=-----

CD24

【分析】（1）連接BG.根據(jù)圓周角定理得到A3是的直徑，由CF1AB,得到C2=r>2，即可得出結(jié)

論;

（2）設(shè)AB,CG相交于點(diǎn)連接MD.由（1）可知NAGC="GF,得到NAGD=/FGC,再根據(jù)

/GAD=NDCG.推出NADG=/F=￡,由NADM=NACG=NADG即可得出結(jié)論;

（3）證明△ACGS/'ARS,得到AG-AF=AC2,解直角三角形得到/石=機(jī)位，代入計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）證明：ZACB=9Q°,

.:/歸是（。的直徑.

如圖，連接BG.

:.ZAGB=90°,

又*CF±AB,即Afi_LCD,

CB=DB，

:.ZCGB=ZDGB,

:.ZAGC=90°-ACGB,NDGF=90。一NDGB,

:.ZAGC=ZDGF■,

(2)證明；如圖，設(shè)AB,CG相交于點(diǎn)M,連接

B

由(1)可知NAGC=NOG/,

??ZAGC+/CGD=/DGF+/CGD,BPZAGD=ZFGC.

又Q/GAD=/DCG.

/.ZADG=ZF=/3,

又Q/ADM=ZACG=ZADG,

.:.ZMDG=ZADM+ZADG=2/3.

QZMDG=ZGDC-ZMDC=Z.GDC-Z.GCD=a,

cc=2(3；

(3)解：QZACD=ZAT>C=NAGC,NCAb=NGAC,

.?.AACGsAAFC,

ACAF

即AGAF=AC2.

AG-AC

又Q/DGF=ZACD,

tanZDGF=tanZACD=m,

AE

----=m,即AE二機(jī)CE,

CE

AGAbAC?。石2+4七2。石2+加2。石21+根2

CD2-CT57--4CE2--4C￡2-4

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，垂

徑定理等，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?天津?yàn)I海新?一模）如圖，A3是的直徑，弦C。與相交于點(diǎn)P,若NADC=24。.

圖①圖②

⑴如圖①，求—C鉆的度數(shù)；

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)C作。的切線，與54的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,若EP=EC,求NZMP的度數(shù).

【答案】⑴66。

(2)45°

【分析】(1)連接8C,根據(jù)圓周角定理得出NABC=NADC=24。，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得出

ZACB=90°,求出結(jié)果即可；

(2)連接OC,根據(jù)圓周角定理得出NAOC=2NADC=48。，根據(jù)切線的性質(zhì)得出NOCE=90。，根據(jù)等

1800-42°

腰三角形的性質(zhì)求出ZEPC=ZECP=-------------=69。，最后求出ZDAP=ZEPC-ZADC=45°即可.

2

【詳解】(1)解：如圖①，連接3C,

圖①

團(tuán)AC=AC'

O

^\ZABC=ZADC=24f

團(tuán)43為《。的直徑，

國(guó)/ACB=90。,

團(tuán)ZCAB=90°-ZABC=90°-24°=66°.

BZAOC=2ZADC=48°,

團(tuán)石C是O切線，

團(tuán)NOCE=90。，

團(tuán)ZOEC=900-ZAOC=90°-48°=42°,

團(tuán)PE=CE,

1800-42°

0ZEPC=NECP=--------=69°,

2

0ZDAP=ZEPC-ZADC=45°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角為直角，等腰三角形的性質(zhì)，三角

形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì).

名校模擬

1.（2024?安徽蕪湖?一模）四邊形內(nèi)接于O,AB^AC.

（1汝口圖1,若NB4c=1,求—ADC的度數(shù)；

⑵如圖2.連接3。交AC于點(diǎn)E.

①求證：AE2=AEAB-BEDE;

②若NE4c=2NZMC,AB=5,BC=6,求CO的長(zhǎng).

【答案】⑴90。+夕

⑵①見(jiàn)詳解②，

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可；

（2）①先證明△ADEsaBCE,得AE-CE=BE-DE,再根據(jù)AEYAC-A6MAEAC-AEZUBE-DE即

可得出結(jié)論；（2）^ZBAC=2ZDAC=2a,則4MC=NDBC=。，先證明AC13O,再根據(jù)勾股定理求出

AE,BE,CE的長(zhǎng)，由①知=求出DE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可.

【詳解】（1）解：AB=AC,若4AC=CK.

?四邊形A2CD內(nèi)接于。，

1QAO_41

.ZADC=180。-=180°---------=90。+—a；

22

(2)證明①,ZADB=ZACB/CAD=NCBD,

心ADEs}BCE,

AEDE

~BE~~CE'

:.AECE=BEDE,

AE-(AC-AE)=AE-AC-AE2=BE-DE,

AB=AC,

:.AEAB-AE2^BEDE，

AE1=AEAB-BEDE-,

@^ZBAC=2ZDAC=2a,貝I」ND4c=ND3C=a,

AB=AC=5,

??~W290。一a,

ZABE=ZABC-ZDBC=90°-a-a=90°-2a,

在AAEB中ZAEB=180°-ZCAB-ZABD=180。一2a—(90。-la)=90°,

:.AC±BD,

BE2=BC2-CE2=AB2-AE2,

2222

/.6-(5-AE)=5-AEf

;.AE=*,CE卷,

/.BE=ylAB2-AE2=y,

718

-2]

5

由①知=￡>￡=^I-=—,

20

y

:.CD=y/DE2+CE2=J(—)2+(—)2=—

V2054

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練

掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

2.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)如圖1,在。中，直徑4B垂直弦。于點(diǎn)G,連接A。，過(guò)點(diǎn)C作C尸，AD

于R交A3于點(diǎn)X,交。。于點(diǎn)E,連接OE.

⑴如圖1,求證：NE=2NC；

（2）如圖2,求證：DE=CH；

（3）如圖3,連接BE,分別交AD、CD于點(diǎn)M、N,當(dāng)OH=2OG,HF=M,求線段EN的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

⑶12

【分析】（1）連接AC,根據(jù)垂徑定理和等弧所對(duì)的圓周角相等，結(jié)合等角的余角相等即可證明結(jié)論；

（2）連接BC,運(yùn)用同?。ǖ然。┧鶎?duì)的圓周角相等，結(jié)合同角的余角相等和等量代換即可證明；先證明

BC=CH,再證明=

（3）根據(jù)已知設(shè)出0G和OH,結(jié)合（2）表示8G,進(jìn)而用x表示半徑、直徑，結(jié)合勾股定理表示Ca,3E,

結(jié)合BGNs,BEA,即可求解.

【詳解】（1）證明：連接AC,

團(tuán)42是(。的直徑，ABVCD,

^BC=BD^BAD+ZADG=90°

團(tuán)ZCAB=ZBAD=-ACAD=-NCED,

22

團(tuán)AF_LCE,

團(tuán)/ECD+/ADG=90。,

⑦NECD=NBAD,

⑦NE=2NDCE；

(2)連接BC,

B

圖2

0AB±CD,CE±AZ),

團(tuán)/ECD+NCHG=/ECD+/CDF=90°,

?NCHG=ZADC,

又團(tuán)ZADC=NB,

@NCHG=NB,

⑦CH=CB,

由(1)知：/E=2NECD,

@CD=2DE，

團(tuán)CD=25。，

國(guó)DE=BC，

⑦DE=BC=CH；

(3)連接0cAE,則：ZAEB=90°,

團(tuán)OH=2OG,

團(tuán)設(shè)OG=x,則O"=2x,

@HG=OH+OG=3x,

由（2）知，BC=CH,

團(tuán)AB_LCD,

團(tuán)BG=GH=3x,

⑦OB=BG+OG=4x,

團(tuán)OC-4x,AB=8x,AH=2x,

0ZCHB=ZAHE,ZCBH=ZCEA,且NCHB=NCBH,

國(guó)ZAHE=/CEA,

團(tuán)AE=A/7=2x,

EIRtAABE中，BE=JAB2-AE=2岳x，

RtAOGC中，CG=4OC。-OG2=Ax，

Rt_"GC中，CH=jCG?+GH?=2如，

0DE=BC=BD，

SZBAD^ZDCE,

HFHG

0sinZBAD=sinZDCE,即:

AHCH

3%

0--=-=-,

2x2\/6x

回.獨(dú)1

3

團(tuán)8石=2/尤=20,BG=3x=2岳,AB=8x=驍后,

3

團(tuán)ZABE=/GBN,ZBGN=ZAEB=90°,

團(tuán)BGNsBEA,

BNBG

團(tuán)---=---，

ABBE

2而x16岳

回師-妙43一“W一8,

BE20

0EN=BE-BN=12.

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的綜合問(wèn)題，涉及到垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、角之間的關(guān)系，解直角三

角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟悉圓的相關(guān)性質(zhì)，會(huì)結(jié)合題意靈活運(yùn)用勾股定

理和方程思想，會(huì)借助相似三角形構(gòu)建等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）如圖1,在。中，BD為直徑,和BC為弦，AB=3C且AB人3c.

⑴求4BD的度數(shù)；

(2汝口圖2,E為0D上一點(diǎn)、,連接AE,作EFLAE于E交BC于凡連接EC,求證：EF=EC；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接OC交所于G,過(guò)P作RVL砂于R交EC延長(zhǎng)線于N,若EG=1,CN=2,

求CP的長(zhǎng).

【答案】⑴45。

(2)見(jiàn)詳解

⑶5=竿

【分析】(1)利用HL證明涇RJCBD,即可得出NABD=NCBD,又NABC=/90。，故可得出

ZABD=45°

(2)先求四邊形ABEE內(nèi)角和，進(jìn)而可得出/EEB+NA=180。，等量代換可得出NA=N￡FC,證明

?ABE^CBE(SAS),由全等得性質(zhì)可得出NA=NC,等量代換得出/EFC=/C,由等角對(duì)等邊得出

EF=EC.

(3)在EF=EC的條件下，作,一￡FMq.ECG,可得出EG=EM=1,設(shè)FG=MC=x，可得NM=NF=2+x,

利用勾股定理解出x,得出WV=4,NE=5,CN=2,EF=3,過(guò)C作CK_LFN于K,得出三=里=些,

CNENNF

進(jìn)一步利用勾股定理得出CF的值.

【詳解】(1)解：連接AT),CD,

團(tuán)BD是直徑，

國(guó)NBAD=NBCD=90。,

在RJABD和RtACBD中,

jBD=BD

[AB=CB'

團(tuán)RtABD^RtCB￡）（HL）,

田NABD=NCBD,

國(guó)AB/BC,

0ZABC=Z9O°,

^ZABD=ZCBD=45°.

（2）四邊形AB/芯內(nèi)角和為：（4—2）x180。=360。,

由AB/BC,EFLAE,

團(tuán)/ABF=90°,ZAEF=90°

團(tuán)NEFB+NA=360?！狽ABF—NAEF=180。,

0/EFC+/EFB=180。,

^\ZA=ZEFC,

在石和△CB石中，

AB=CB

<ZABE=ZCBE

BE=BE

ABEPCBE(SAS)

團(tuán)NA=NC,

團(tuán)NEFC=NC,

?EF=EC.

(3)在￡F=EC的條件下，作-EFMmdECG,如下圖,

圖3*N

EIEG=￡M=1,

設(shè)尸G=MC=尤，

貝i]NM=NF=2+x,

SFN±EF

0ZA7^=9O°

在心EFN中:

EF2+NF2=NE2,

即(x+l)2+(%+2)2=(%+3)2,

解得x=±2,

[Ex>0

回x=2,

團(tuán)EV=4,NE=5,CN=2,EF=3,

過(guò)C作CK_L~V于K,

又EIRV_LEF

SCK//FE,

CKNCNK

團(tuán)---=---

EFEN~NF

團(tuán)CK=—,KN=-

55

Q12

?FK=FN—KN=4一一=—

55

可解得CF=?L

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的判定以及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，四邊形內(nèi)角

和問(wèn)題等知識(shí)，作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.(2024?河北滄州?一模)如圖，珍珍利用一張直徑A3為8c機(jī)的半圓形紙片探究圓的知識(shí)，將半圓形紙片

沿弦AP折疊.

⑴如圖1,PQ為C。的切線，當(dāng)NPAB=45。時(shí)，求證：PQ//AB.

(2)如圖2,當(dāng)/上鉆=30。時(shí)，通過(guò)計(jì)算比較小與弧3尸哪個(gè)長(zhǎng)度更長(zhǎng).(萬(wàn)取3.14,岔。1.73)

(3)如圖3,M為AP的中點(diǎn)，為點(diǎn)〃關(guān)于弦AP的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)/848=15。時(shí)，直接寫出點(diǎn)與點(diǎn)"之

間的距離約為cm.(結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sinl5°?0.26,tanl5°?0.27)

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)AP>BP

(3)5.92

【分析】(1)連接。尸，根據(jù)切線的性質(zhì)，圓周角定理，得到NOPQ+/BOP=180。，即可得證；

(2)連接3P,圓周角定理，得到NA/B=90。，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，

進(jìn)行比較即可；

(3)連接31交AP于點(diǎn)N,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂徑定理，得到