2025年中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：圓中證切線、求弧長、求面積、新定義探究問題（8題型）（原卷版）

搶分秘籍10圓中證切線、求弧長、求面積、新定義探究問題

（壓軸通關(guān)）

目錄

【中考預(yù)測】預(yù)測考向，總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）

?I中考預(yù)測

圓中證切線、求弧長、求扇形面積問題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有

一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點頻率看，證明切線是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高頻考點、必考點，圓通常還會和其他幾何圖形及函

數(shù)結(jié)合一起考查。

2.從題型角度看，以解答題的第六題或第七題為主，分值8~10分左右，著實不少！

搶分通關(guān)

題型一證切線'求面積

典例精講

【例1】（2024?湖北襄陽?一模）A3是。。的直徑，NABT=45。，AT^AB,3T與。。相交于點C.

圖1圖2

⑴如圖1,求證：AT是。。的切線；

（2）如圖2,連接AC,過點。作ODLAC分別交AT,AC于點D,E,交AC于點八若AB=2垃,求圖

中陰影部分的面積.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查切線的判定，圓周角定理、垂徑定理以及扇形面積；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)切線的判定

方法進(jìn)行解答即可；根據(jù)垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及扇形面積的計算方法進(jìn)行計算即可.

【例2】（2024?湖北十堰?一模）如圖，。是。。的直徑，點8在。。上，點A為DC延長線上一點，過點。

作交AB的延長線于點E,且ND=NE.

⑴求證：AE1是。。的切線；

⑵若線段OE與。。的交點廠是OE的中點，的半徑為6,求陰影部分的面積.

名校模擬

1.（2024?廣東佛山?一模）如圖，點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點，且AC=CE,連接AE交CO

于點。，以點。為圓心，0。為半徑作。0,。0交線段AO于點廠.

⑴求證：AC是。。的切線；

（2）若43=20+2，求陰影部分的面積.

2.（2024?遼寧沈陽?一模）如圖，直線/與。。相切于點點尸為直線/上一點，直線尸。交。。于點48,

點C在線段上，連接BC,且CA/=3C.

⑴判斷直線BC與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若=。。的半徑為6cm,求圖中陰影部分的面積.

題型二證切線、求線段或半徑

典例精講”

【例1】（新考法，拓視野）（2024?廣東深圳?一模）如圖，已知是。。的直徑.點尸在54的延長線上，

點。是。。上一點.連接PD,過點8作BE垂直于PD,交尸￡）的延長線于點C、連接AD并延長，交BE于

點、E,且AB=BE

⑴求證：是。。的切線；

4

（2）若PA=2,tanB=-,求。。半徑的長.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查切線的判定，圓周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的邊角關(guān)系，

圓周角定理以及切線的判定方法是正確解答的關(guān)鍵.

【例2】（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，ZACB=90°,點。是AB上一點，S.ZBCD=-ZA,

2

點。在上，以點。為圓心的圓經(jīng)過C,。兩點.

3

⑵若sinB=m，的半徑為3,求AC的長.

名校模擬

1.（2024?廣東珠海?一模）如圖，是。。的直徑，AC=BC,E是。8的中點，連結(jié)CE并延長到點孔

使EF=CE.連結(jié)AF交。。于點。，連結(jié)BF.

⑴求證：直線8尸是。。的切線.

（2）若AF=5,求3D的長.

⑴求證：CE是。。的切線;

(2)若BC=6,AC=8,求CE,OE的長.

題型三圓與（特殊）平行四邊形綜合問題

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?廣東江門?一模）如圖，矩形ABCD中，AB=16,AD=6.E是。的中

點，以AE為直徑的。。與交于R過尸作FGLBE于G.

^\EC

B

⑴求證：FG是。。的切線.

⑵求cosNEBA的值.

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查了圓，矩形，三角形綜合.熟練掌握圓的基本性質(zhì)和圓周角定理推論，矩形的判

定和性質(zhì)，三角形中位線的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識,

是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?安徽馬鞍山?一模）如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，直徑DE平分N3DC.

AF

B

E

⑴求證：BD=CD；

(2)過點A向圓外作NZMF=NACB,且AF=CD,求證：四邊形ABZ邛為平行四邊形.

名校模擬

1.(2024?云南?模擬預(yù)測)如圖，線段A3與。。相切于點B,4。交。。于點其延長線交。。于點C,

連接BC,ABC=120°,。為。。上一點且弧的中點為連接AD,CD.

⑴求—ACB的度數(shù)；

⑵四邊形A5CD是否是菱形？如果是，請證明；如果不是，請說明理由;

(3)若AC=6,求弧CD的長.

2.(2024?河南平頂山?一模)如圖，A3為。。的直徑，點C是a。的中點，過點C作。。的切線CE,與BD

的延長線交于點E,連接BC.

⑴求證：ZCEB=90°

⑵連接CD,當(dāng)CD〃AB時：

①連接OC,判斷四邊形O3DC的形狀，并說明理由.

②若3E=3,圖中陰影部分的面積為------（用含有兀的式子表示）.

3.（2024?江蘇南京?一模）如圖,四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AC；

⑴如圖①，當(dāng)CO與。。相切時，求證：四邊形A3CD是菱形.

（2）如圖②，當(dāng)8與。。相交于點E時.

(EI)若AD=6,CE=5,求O。的半徑.

（團）連接8E,交AC于點凡若灰-4臺二。^,則/￡＞的度數(shù)是_。.

題型四圓內(nèi)接三角形和四邊形

典例精講

【例1】（2024?湖南?模擬預(yù)測）如圖，Rt^ABC內(nèi)接于eO,NACB=90。，過點C作CF/AB交A3于點E,

交。。于點。，連接AF交。。于點G,連接CG,￡?G,yW,設(shè)tanZDGF：”（根為常數(shù)）.

⑴求證：ZAGC=ZDGF；

(2)設(shè)NGDC-ZGCD=a,ZF=0,求證：a=1p.

⑶求4（7薩-AF的值（用含機的代數(shù)式表示）.

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，垂

徑定理等，熟練掌握圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?天津濱海新?一模）如圖，A3是。。的直徑，弦。與相交于點尸，若NADC=24。.

⑴如圖①，求NC4B的度數(shù);

（2）如圖②，過點C作。。的切線，與54的延長線交于點E,若EP=EC,求NZMP的度數(shù).

名校模擬

1.（2024?安徽蕪湖?一模）四邊形內(nèi)接于。O,AB^AC.

⑴如圖1,若NBAC=（z,求/ADC的度數(shù);

⑵如圖2.連接交AC于點E.

①求證：AE2=AEAB-BEDE^

②若NE4c=2NZMC,AB=5,BC=6,求CD的長.

2.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)如圖1,在。。中，直徑AB垂直弦CO于點G,連接AD,過點C作CFLAD

圖1圖2圖3

⑴如圖1,求證：ZE=2ZC；

(2)如圖2,求證：DE=CH；

(3汝口圖3,連接BE,分別交AD、CD于點M、N,當(dāng)OH=2OG,HF=5,求線段EN的長.

3.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)如圖1,在。。中，BD為直徑,和3C為弦，=且ABI3c.

⑴求的度數(shù)；

(2)如圖2,E為。。上一點，連接AE,作EF工AE于E交BC于P,連接EC,求證：EF=EC；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接OC交收于G,過P作引VLEF于F,交EC延長線于N,若EG=1,CN=2,

求CP的長.

4.(2024?河北滄州?一模)如圖，珍珍利用一張直徑A2為8c相的半圓形紙片探究圓的知識，將半圓形紙片

沿弦AP折疊.

⑵如圖2,當(dāng)ZPAB=30。時，通過計算比較AP與弧3P哪個長度更長.（%取3.14,括B1.73）

（3）如圖3,〃為4尸的中點，"'為點M關(guān)于弦AP的對稱點，當(dāng)/上48=15。時，直接寫出點〃'與點"之

間的距離約為cm.（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sinl5°?0.26,tanl5°~0.27）

題型五生活中的實物抽象出圓的綜合問題

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?河南洛陽?一模）中國最遲在四千多年前的夏禹時代已有了馬車，而目前

考古發(fā)現(xiàn)最早的雙輪馬車始見年代為商代晚期（河南安陽殷城）.小明在殷墟游玩時，見到了如圖1的馬車車

廂模型，他繪制了如圖2的車輪側(cè)面圖.如圖2,當(dāng)過圓心。的車架AC的一端A落在地面上時，AC與。。

的另一個交點為點水平地面A2切。。于點朋

⑴求證：ZA+2ZC=90°；

(2)若AD=2m,AB=3m,求。。的直徑.

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等等.

【例2】（2024?廣東珠海?一模）為弘揚民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲"滾鐵環(huán)”列入了校運動會的比賽

項目.滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成.小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)。。與

水平地面相切于點C,推桿與鉛垂線AD的夾角為/54D點。，A,B,C,。在同一平面內(nèi).當(dāng)推桿A8

與鐵環(huán)。。相切于點B時，手上的力量通過切點8傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果.

⑴求證：ZBOC+ZBAD^90°.

（2）實踐中發(fā)現(xiàn)，切點8只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動.圖中點8是該區(qū)域內(nèi)最低位

置,此時點A距地面的距離AD最小,測得ABAD=60°.已知鐵環(huán)QO的半徑為30cm,推桿AB的長為70cm,

求此時AD的長.

名校模擬

1.（2024?河北石家莊?一模）圖1是傳統(tǒng)的手工推磨工具，根據(jù)它的原理設(shè)計了如圖2所示的機械設(shè)備，磨

盤半徑。。=2dm,用長為11dm的連桿將點。與動力裝置P相連（NOOP大小可變），點P在軌道A3上滑

動，帶動點。使磨盤繞點O轉(zhuǎn)動，OA±AB,O4=5dm.

⑴當(dāng)點。、尸、Q三點共線的時候，AP的長為:

（2）點P由軌道最遠(yuǎn)處向A滑動，使磨盤轉(zhuǎn)動不超過180。的過程中:

①PQ與。。相切于點Q,如圖3,求4°的長；

②從①中相切的位置開始，點尸繼續(xù)向點A方向滑動2.4dm至點片，點。隨之逆時針運動至點。1，此時

W/PQ,求點Q運動的路徑長（結(jié)果保留兀）.（參考數(shù)據(jù)：5吊37。g0.60,8537。。。80,tan37OyQ75）

2.（2024?河北石家莊?一模）如圖1,某玩具風(fēng)車的支撐桿OE垂直于桌面MN,點。為風(fēng)車中心，OE=26cm,

風(fēng)車在風(fēng)吹動下繞著中心。旋轉(zhuǎn)，葉片端點A,B,C,。將。。四等分，已知。。的半徑為10cm.

⑴風(fēng)車在轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)/AOE=45。時，點A在OE左側(cè)，如圖2所示，求點A到桌面的距離（結(jié)果

保留根號）;

⑵在風(fēng)車轉(zhuǎn)動一周的過程中，求點A到桌面的距離不超過21cm時，點A所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留萬）;

⑶連接CE,當(dāng)CE與。。相切時，求切線長CE的值，并直接寫出A,C兩點到桌面MN的距離的差.

題型六圓中動點問題

典例精講

【例1】（2024?江蘇淮安?一模）如圖，A3是。。的直徑，AB=18,延長至點C,使AC=Q4.動點P

從點A出發(fā)，沿圓周按順時針方向以每秒萬個單位的速度向終點8運動，設(shè)運動時間為f秒，連接。尸，作

點C關(guān)于直線OP的對稱點。，連接0。、BD、PC、PD.

D

⑴當(dāng)f=3時.

①求NAOP的度數(shù)；

②判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）若2。=96，求f的值.

通關(guān)指導(dǎo)

本題考查切線的判定，圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理的逆定理，弧長公式等知識，熟練掌握相關(guān)圖形

的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?云南昆明?一模）如圖，AB,8是。。的兩條直徑，且,點E是3。上一動點（不

與點8,。重合），連接DE并延長交AB的延長線于點R點尸在AF上，且NPEF=NDCE,連接AE,CE

分別交。。，。3于點M,N,連接AC,設(shè)。。的半徑為八

⑴求證：PE是。。的切線；

⑵當(dāng)"CE=15。時，求證：AM=2ME；

（3）在點E的移動過程中，判斷4V是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

名校模擬

1.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）如圖①，在中，/4。3=90。,。4=。3=4,以點。為圓心，以2為

半徑畫圓，。。交于點C,交0B于點D.點P從點C出發(fā)，沿。。按順時針方向運動，當(dāng)點P再次經(jīng)過

點C時停止運動.

⑴co的長為;

(2)在點尸運動的過程中，點P到AB距離的最大值為；

(3)延長CO交0O于點E,連接PD,交CE于點、M.

①當(dāng)APQA/為等腰三角形時，連結(jié)接DE,求AMDE的面積：

②如圖②，連接CZ),當(dāng)點M在線段OC上時，作NPOC的角平分線交尸”于點尸.點F的位置隨著點尸

的運動而發(fā)生改變，則點尸形成的軌跡路徑長為.

題型七圓中新定義探究綜合問題

典例精講

【例1】(新考法，拓視野)(2024?湖南長沙?一模)定義：對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的"奇妙四

邊形

①矩形；②菱形；③正方形

(2)如圖1,已知。。的半徑為R,四邊形ABC。是。。的“奇妙四邊形求證：AB2+CD2=4R2；

⑶如圖2,四邊形ABCD是"奇妙四邊形”，尸為圓內(nèi)一點，ZAPD=ZBPC=90。,ZADP=ZPBC,BD=4,

且A8=?C.當(dāng)DC的長度最小時，求蕓的值.

通關(guān)指導(dǎo)

本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練

的建立數(shù)學(xué)模型并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵.

【例2】（2024?浙江臺州?一模）【概念呈現(xiàn)】在鈍角三角形中，鈍角的度數(shù)恰好是其中一個銳角的度數(shù)與90

度的和，則稱這個鈍角三角形為和美三角形，這個銳角叫做和美角.

【概念理解】（1）當(dāng)和美三角形是等腰三角形時，求和美角的度數(shù).

【性質(zhì)探究】（2）如圖1,A/RC是和美三角形，23是鈍角，/A是和美角，

-P*人BC

求證：tanA=.

AC

【拓展應(yīng)用】（3）如圖2,AB是。。的直徑，且AB=13,點C,。是圓上的兩點，弦C￡）與交于點E,

連接AD,BD,△ACE是和美三角形.

①當(dāng)5c=5時，求AD的長.

②當(dāng)△BCD是和美三角形時，直接寫出笠的值.

ED

xC

D

圖2備用圖

名校模擬

1.（2024?山東濟寧,二模）【初步感知】

圖1圖2

(1)如圖1,點A,B,P均在。。上，若NAO3=90。,度;

【深入探究】

（2）如圖2,小明遇到這樣一個問題：。。是等邊三角形A3C的外接圓，點尸在AC上（點P不與點A,C

重合），連接B4,PB,PC.求證：PB=PA+PC；小明發(fā)現(xiàn)，延長上4至點E,使AE=PC,連接BE,

通過證明△PBC公△￡?4.可推得△P3E是等邊三角形，進(jìn)而得證.請根據(jù)小明的分析思路完成證明過程.

【啟發(fā)應(yīng)用】

（3）如圖3,是"RC的外接圓，ZABC=90°,AB=3C,點P在。O上，且點尸與點B在AC的兩

PB

側(cè)，連接B4,PB,PC,若PB=2應(yīng)PA,則=;的值為-

題型八圓與函數(shù)的綜合問題

典例精講

【例1】（新考法，拓視野）（2024?湖南長沙?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=+法+。

與x軸交于A8兩點，與y軸交于C點，且O3=OC=2OA.

⑴求該拋物線的解析式;

⑵拋物線上是否存在點使NABC=/3QW,如果存在，求點M的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由；

⑶若點。是拋物線第二象限上一動點，過點。作。軸于點E過點A3,。的圓與。尸交于點E,連接

AE,BE,求1的面積.

通關(guān)指導(dǎo)

本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，拋物線上的點的坐標(biāo)特征

以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例2】(2024?江蘇淮安?一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1.對于。。的弦A2和點C給出如

下定義：若直線C4,CB都是。。的切線，則稱點C是弦A2的"關(guān)聯(lián)點”.

⑴如圖，點A(-LO),環(huán)打分別為過A