2025版·《考點一遍過》高考文科數(shù)學(xué)考點01 集合

專題01集合1．集合的含義與表示（1）了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系.（2）能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題.2．集合間的基本關(guān)系（1）理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.（2）在具體情境中，了解全集與空集的含義.3．集合的基本運算（1）理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集.（2）理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.（3）能使用韋恩（Venn）圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算.一、集合的基本概念1．元素與集合的關(guān)系：.2．集合中元素的特征：確定性一個集合中的元素必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合互異性集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素?zé)o序性集合與其中元素的排列順序無關(guān)，如a，b，c組成的集合與b，c，a組成的集合是相同的集合．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系3．集合的分類：有限集與無限集，特別地，我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記作.4．常用數(shù)集及其記法：集合非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集符號或注意：實數(shù)集不能表示為{x|x為所有實數(shù)}或{}，因為“{}”包含“所有”“全體”的含義.5．集合的表示方法：自然語言、列舉法、描述法、圖示法.二、集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系自然語言符號語言圖示基本基本關(guān)系子集集合A中任意一個元素都是集合B的元素（或）真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不在集合A中（或）相等集合A，B中元素相同或集合A，B互為子集空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，必記結(jié)論：（1）若集合A中含有n個元素，則有個子集，有個非空子集，有個真子集，有個非空真子集．（2）子集關(guān)系的傳遞性，即.注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合關(guān)系時，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會造成漏解.三、集合的基本運算1．集合的基本運算運算自然語言符號語言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合補(bǔ)集由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合2．集合運算的相關(guān)結(jié)論交集并集補(bǔ)集3．必記結(jié)論考向一集合的基本概念解決集合概念問題的一般思路：（1）研究集合問題時，首先要明確構(gòu)成集合的元素是什么，即弄清該集合是數(shù)集、點集，還是其他集合，然后再看集合的構(gòu)成元素滿足的限制條件是什么，從而準(zhǔn)確把握集合的意義．常見的集合的意義如下表：集合集合的意義方程的解集不等式的解集函數(shù)的定義域函數(shù)的值域函數(shù)圖象上的點集（2）利用集合元素的限制條件求參數(shù)的值或確定集合中的元素的個數(shù)時，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性.典例1已知集合，，則集合中元素的個數(shù)為A． B．3C．4 D．5【答案】D【解析】當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，故集合，即元素的個數(shù)為5，故選D．【名師點睛】在解題時經(jīng)常用到集合元素的互異性，一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點；另一方面，在解答完畢時，注意檢驗集合的元素是否滿足互異性，以確保答案正確．1．已知，，求實數(shù)的值.考向二集合間的基本關(guān)系集合間的基本關(guān)系在高考中時有出現(xiàn)，?？疾榍笞蛹?、真子集的個數(shù)及利用集合關(guān)系求參數(shù)的取值范圍問題，主要以選擇題的形式出現(xiàn)，且主要有以下兩種命題角度：（1）求子集的個數(shù)；（2）由集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍.典例2已知集合，則集合的子集的個數(shù)為A． B．C． D．【答案】B【解析】集合，，故集合的子集的個數(shù)為.故選B.【名師點睛】求集合的子集(真子集)個數(shù)問題，當(dāng)集合的元素個數(shù)較少時，也可以利用枚舉法解決，枚舉法不失為求集合的子集(真子集)個數(shù)的好方法，使用時應(yīng)做到不重不漏．2．已知集合，，若，則由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為A． B．C． D．考向三集合的基本運算有關(guān)集合間運算的試題，在高考中多以客觀題的形式出現(xiàn)，且常與函數(shù)、方程、不等式等知識相結(jié)合，難度一般不大，常見的類型有：（1）有限集（數(shù)集）間集合的運算求解時，可以用定義法和Venn圖法，在應(yīng)用Venn圖時，注意全集內(nèi)的元素要不重不漏.（2）無限集間集合的運算常結(jié)合不等式等內(nèi)容考查，一般先化簡集合，再將集合在數(shù)軸上表示出來，最后進(jìn)行集合運算求范圍.（3）用德·摩根公式法求解集合間的運算對于有和的情況，可以直接應(yīng)用德·摩根公式和進(jìn)行運算.典例3已知集合P={x|3x2-2x≥0},A．(-23,0)C．(0,13]【答案】C【解析】因為P={x|3x2-2x≥0}=x|x≥2又因為Q={x|-4<3x+2≤3}=x|-2<x≤所以x|0<x≤13故選C．【名師點睛】對連續(xù)數(shù)集間的運算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨考查等號能否取到．3．集合，則集合P∩Q的元素個數(shù)是A．0個 B．1個C．2個 D．3個4．已知集合，，則A． B．C． D．考向四與集合有關(guān)的創(chuàng)新題目與集合有關(guān)的創(chuàng)新題目是近幾年高考的一個新趨勢，試題出現(xiàn)較多的是在現(xiàn)有運算法則和運算律的基礎(chǔ)上定義一種新的運算，并運用它解決相關(guān)的一些問題.解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點：（1）緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì)．集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運算與性質(zhì)．典例4設(shè)是整數(shù)集的非空子集，如果，有，則稱關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的．若是的兩個不相交的非空子集，，且，有；，有，則下列結(jié)論恒成立的是A．中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的B．中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的C．中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的D．中每一個關(guān)于乘法都是封閉的【答案】A【解析】取，，可得T關(guān)于乘法不封閉，V關(guān)于乘法封閉，又取，，可得T,V關(guān)于乘法均封閉，故排除B，C，D，選A．5．設(shè)是的兩個子集，對任意，定義：①若，則對任意，__________；②若對任意，，則的關(guān)系為__________.1．已知集合，則下列選項正確的是A． B．C． D．2．已知集合，，則A． B．C． D．3．已知集合M=xx2A．-2,0 B．C．1.2 D．?4．已知集合，則中元素的個數(shù)為A．1 B．5C．6 D．無數(shù)個5．已知集合，，若，則A．0 B．0或1C．2 D．0或1或26．已知全集U=R，集合，N={x||x|A．[-2,1) B．[-2,1]C．[-2,0)∪(1,2] D．[-2,0]∪[1,2]7．已知集合，則集合的真子集的個數(shù)是A．3 B．4C．7 D．88．設(shè)集合A={y|y=-ex+4}A．A?B B．A∩B=?C． D．9．設(shè)集合，，，則A．{2} B．{2，3}C．{?1，2，3} D．{1，2，3，4}10．設(shè)和是兩個集合，定義集合，且，如果，，那么A． B．C． D．11．設(shè)集合A={2，4}，B={a2，2}(其中12．已知集合，，則______.13．已知集合，且下列三個關(guān)系：①；②；③有且只有一個正確，則等于________.14．已知集合，，若，則的取值范圍是_____________．15．已知非空集合M滿足：若，則．則當(dāng)時，集合M的所有元素之積為_______.1．（2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)）已知集合，則A． B．C． D．2．（2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)）已知集合，，則A∩B=A．(-1，+∞) B．(-∞，2) C．(-1，2) D．3．（2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)）已知集合，則A． B．C． D．4．（2019年高考北京文數(shù)）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A．（–1，1） B．（1，2）C．（–1，+∞） D．（1，+∞）5．（2019年高考浙江）已知全集，集合，，則=A． B．C． D．6．（2019年高考天津文數(shù)）設(shè)集合，則A． B．C． D．7．（2018浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，則A． B．{1，3}C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}8．（2018新課標(biāo)全國Ⅰ文科）已知集合，，則A． B．C． D．9．（2018新課標(biāo)全國Ⅲ文科）已知集合，，則A． B．C． D．10．（2018天津文科）設(shè)集合，，，則A． B．C． D．11．（2017新課標(biāo)全國Ⅰ文科）已知集合A=，B=，則A．AB= B．ABC．AB D．AB=R12．（2017新課標(biāo)全國Ⅱ文科）設(shè)集合，則A． B．C． D．13．（2017北京文科）已知全集，集合，則A． B．C． D．14．（2019年高考江蘇）已知集合，，則▲.變式拓展變式拓展1．【答案】.【解析】因為，所以有或，顯然，當(dāng)時，，此時，不符合集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)時，解得，或，由上可知不符合集合元素的互異性，故舍去，故.【名師點睛】本題考查了元素與集合之間的關(guān)系，考查了集合元素的互異性，考查了解方程、分類討論思想.解答本題時，由，有或，顯然，解方程求出實數(shù)的值，但要注意集合元素的互異性.2．【答案】D【解析】因為集合，，，若為空集，則方程無解，解得；若不為空集，則，由解得，所以或，解得或，綜上，由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為.故選D.【名師點睛】本題主要考查由集合間的關(guān)系求參數(shù)的問題，熟記集合間的關(guān)系即可，屬于基礎(chǔ)題型.解答本題時，分為空集和不為空集兩種情況討論，分別求出的范圍，即可得出結(jié)果.3．【答案】B【解析】由題意，在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，由圖象看出，和只有一個交點，所以的元素個數(shù)為1，故選B．【名師點睛】本題主要考查了集合的交集，以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用，其中解答中在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.解答本題時，在同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象，即可求解，得到答案.4．【答案】C【解析】集合，即，而，所以，，故選C項.【名師點睛】本題考查集合的交集、并集運算，屬于簡單題.解答本題時，先化簡集合，然后計算和，得到答案.5．【答案】 【解析】①∵A?B，∴x?A時，m=0，m(1?n)=0.x∈A時，必有x∈B，∴m=n=1，m(1?n)=0.綜上可得：m(1?n)=0.②對任意x∈R，m+n=1，則m，n的值一個為0，另一個為1，即x∈A時，必有x?B，或x∈B時，必有x?A，∴A，B的關(guān)系為.【名師點睛】本題主要考查新定義知識的應(yīng)用，集合之間的基本關(guān)系等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.解答本題時，由題意分類討論x?A和x∈A兩種情況即可求得的值，結(jié)合題中的定義和m，n的關(guān)系即可確定A，B之間的關(guān)系.專題沖關(guān)專題沖關(guān)1．【答案】B【解析】元素與集合的關(guān)系，用

∈

；集合與集合的關(guān)系，用

?

，可知

B正確.2．【答案】D【解析】由題可得因為，，所以.故選D.【名師點睛】本題主要考查集合的代表元素以及交集的運算，注意求交集時取兩個集合的公共元素.3．【答案】B【解析】由已知M=x|-2≤x≤2,N=x|0<x<1，則=-2,04．【答案】C【解析】由題得，所以A中元素的個數(shù)為6.故選C.【名師點睛】本題主要考查集合的表示和化簡，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.解答本題時，直接列舉求出A和A中元素的個數(shù)得解.5．【答案】B【解析】由，可知或，所以或1.故選B.【名師點睛】本小題主要考查子集的概念，考查集合元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題.解答本題時，根據(jù)集合是集合的子集，得出的所有可能取值，由此得出正確選項.6．【答案】B【解析】由題意得M=yy=1x,0<x<1=(1,+∞)，N=xx2-2x7．【答案】A【解析】由題意知，A為奇數(shù)集，又由集合，則A∩B＝{1，3}，共2個元素，其子集有22＝4個，所以真子集有3個.故選A．【名師點睛】本題考查集合的子集與真子集，關(guān)鍵是正確理解集合A，求出集合A∩B．解答本題時，根據(jù)題意由A的意義，再結(jié)合交集的定義可得集合A∩B，分析可得答案．8．【答案】C【解析】由題意A={y|y<4}，B={x|(x+2)(3-x)>0}={x|-2<x<3}，∴B?A，只有C正確.9．【答案】D【解析】因為，所以.故選D.【名師點睛】集合的運算問題，一般要先研究集合中元素的構(gòu)成，能化簡的要先化簡，同時注意數(shù)形結(jié)合，即借助數(shù)軸、坐標(biāo)系、韋恩圖等進(jìn)行運算．解答本題時，先求，再求.10．【答案】D【解析】，，∴．故選D.【名師點睛】本題考查描述法的定義，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．解答本題時，根據(jù)的定義，可先求出，，然后即可求出．11．【答案】-2【解析】因為A=B,所以a2=4a<012．【答案】【解析】，函數(shù)有意義時，所以，因此.【名師點睛】本題考查了不等式的解法、函數(shù)的定義域、集合的交集運算，解題的關(guān)鍵是正確理解集合元素的屬性特征和正確解出不等式的解集.解答本題時，解不等式，化簡集合的表示，求函數(shù)的定義域，化簡集合的表示，然后求出.13．【答案】201【解析】可分下列三種情形：（1）若只有①正確，則a≠2，b≠2，c=0，所以a=b=1,與集合中元素的互異性相矛盾，所以只有①正確是不可能的；（2）若只有②正確，則b=2，a=2，c=0,這與集合中元素的互異性相矛盾，所以只有②正確是不可能的；（3）若只有③正確，則c≠0，a=2，b≠2，所以c=1，b=0，所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201．14．【答案】【解析】因為，所以，由已知集合，，所以當(dāng)時，滿足題意，此時，即；當(dāng)時，要使成立，則，解得，綜上，的取值范圍是.【名師點睛】本題考查集合的包含關(guān)系，解題的關(guān)鍵是不要忘了空集這一特殊情況，屬于一般題.解答本題時，因為，所以，建立不等關(guān)系即可求出的取值范圍.15．【答案】【解析】若，則；若，則；若，則；若，則；故，集合M的所有元素之積為.故答案為?1.【名師點睛】本題主要考查集合的表示方法，集合元素的互異性等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.解答本題時，首先確定集合M中的所有元素，然后求解其乘積即可.直通高考直通高考1．【答案】C【解析】由已知得，所以.故選C．【名師點睛】本題主要考查交集、補(bǔ)集的運算，根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義即可求解.2．【答案】C【解析】由題知，.故選C．【名師點睛】本題主要考查交集運算，是容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查．易錯點是理解集合的概念及交集概念有誤，不能借助數(shù)軸解題．3．【答案】A【解析】∵∴，∴，又，∴.故選A．【名師點睛】本題考查了集合交集的求法，是基礎(chǔ)題.4．【答案】C【解析】∵，∴.故選C.【名師點睛】本題考查并集的求法，屬于基礎(chǔ)題.5．【答案】A【解析】∵，∴.故選A.【名師點睛】注意理解補(bǔ)集、交集的運算.6．【答案】D【解析】因為，所以.故選D.【名師點睛】集合的運算問題，一般要先研究集合中元素