阿基米德三角形（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)31阿基米德三角形【六大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1弦長與弦所在方程問題】...............................................................2

【題型2定點(diǎn)問題】...........................................................................3

【題型3切線垂直問題】.......................................................................4

【題型4切線交點(diǎn)及其軌跡問題】...............................................................5

【題型5面積問題】...........................................................................7

【題型6最值問題】...........................................................................8

?命題規(guī)律

1、阿基米德三角形

阿基米德三角形是圓錐曲線的重要內(nèi)容，圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來

看，阿基米德三角形的考查頻率變高，在各類題型中都有可能考查，復(fù)習(xí)時要加強(qiáng)此類問題的訓(xùn)練，靈活

求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1阿基米德三角形】

拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.

性質(zhì)1阿基米德三角形的底邊43上的中線〃0平行于拋物線的軸.

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)。的軌跡為一條直線，該直線

與以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行.

性質(zhì)3若直線/與拋物線沒有公共點(diǎn)，以/上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn)（若直線/

方程為：ax+by+c=O,則定點(diǎn)的坐標(biāo)為C（，-號）.

加

性質(zhì)4底邊N3為。的阿基米德三角形的面積最大值為釬.

性質(zhì)5若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)。的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小,

最小值為p2.

?舉一反三

【題型1弦長與弦所在方程問題】

【例1】（23-24高二下?河南開封?期末）阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希臘偉大的物理

學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線上任意兩點(diǎn)4

B處的切線交于點(diǎn)P,稱△PAB為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段4B經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F時，△P4B具有以下特征:

（1）P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）4P48為直角三角形，且PA_LP8；（3）PF14B.已知過拋物線/=16y

焦點(diǎn)的直線】與拋物線交于4B兩點(diǎn)，過點(diǎn)4B處的切線交于點(diǎn)P,若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,則直線4B的方程

為（）

A.%+2y-8=0B.%—2y+8=0

C.x—4y+16=0D.x+4y-16=0

【變式1-1]（2024?陜西西安?二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、

數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線上任意兩點(diǎn)/,3處的

切線交于點(diǎn)尸，稱三角形以2為“阿基米德三角形”.已知拋物線C/二切的焦點(diǎn)為尸，過/,2兩點(diǎn)的直

線的方程為Bx-3y+6=0,關(guān)于“阿基米德三角形”△/3,下列結(jié)論不正確的是（）

,29

A.\AB\=票B.PA1PB

C.PF1ABD.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（百,—2）

【變式1-2]（23-24高二上?重慶?期末）阿基米德（公元前287年?公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家,

數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理.在該

定理中，拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”.若拋物線上任意兩點(diǎn)

4B處的切線交于點(diǎn)P,則△PAB為“阿基米德三角形”，且當(dāng)線段4B經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F時，4B具有以

下特征：（1）P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）PA_LP8；（3）PF_L4B.若經(jīng)過拋物線產(chǎn)=8x的焦點(diǎn)的

一條弦為4B,“阿基米德三角形”為△P4B,且點(diǎn)P在直線久-y+6=0上，則直線力B的方程為（）

A.x—y—2=0B.x—2y—2=0

C.%+y—2=0D.%+2y—2=0

【變式1-3]（2024高三?全國?專題練習(xí)）力B為拋物線爐=2py（p>0）的弦，4（勺,當(dāng)），人孫九）分別過4B

作的拋物線的切線交于點(diǎn)M（右,%），稱aAMB為阿基米德三角形，弦力B為阿基米德三角形的底邊.若弦48

過焦點(diǎn)F,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.%i+%2=2%o

B.底邊力B的直線方程為比-p(y+y。)=0；

C.AAMB是直角三角形；

D.△力MB面積的最小值為2P2.

【題型2定點(diǎn)問題】

【例2】(23-24高二下?安徽?開學(xué)考試)拋物線的弦與在弦兩端點(diǎn)處的切線所圍成的三角形被稱為“阿基米

德三角形”.對于拋物線C：y=a/給出如下三個條件:①焦點(diǎn)為尸(0，)；②準(zhǔn)線為y=-玄③與直線2y-1=

。相交所得弦長為2.

(1)從以上三個條件中選擇一個，求拋物線C的方程；

(2)已知△力BQ是(1)中拋物線的“阿基米德三角形”，點(diǎn)。是拋物線C在弦N8兩端點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)，

若點(diǎn)。恰在此拋物線的準(zhǔn)線上，試判斷直線是否過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請說明

理由.

【變式2-1](2024?湖南?三模)己知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為R過尸且斜率為2的直線與￡交

于8兩點(diǎn)，|力切=10.

(1)求E的方程；

(2)直線/:久=-4,過/上一點(diǎn)尸作E的兩條切線PMPN,切點(diǎn)分別為N.求證：直線MN過定點(diǎn)，并求出

該定點(diǎn)坐標(biāo).

【變式2-2](2024?甘肅蘭州?一模)已知圓C過點(diǎn)P(4,l),M(2,3)和N(2,-1),且圓C與y軸交于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸

是拋物線E:/=2py(p>0)的焦點(diǎn).

(1)求圓C和拋物線E的方程；

(2)過點(diǎn)P作直線I與拋物線交于不同的兩點(diǎn)4B,過點(diǎn)4B分別作拋物線E的切線，兩條切線交于點(diǎn)Q,試

判斷直線QM與圓C的另一個交點(diǎn)D是否為定點(diǎn)，如果是，求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說明理由.

【變式2-3](2024?遼寧?三模)設(shè)拋物線C的方程為y?=4%,M為直線=->0)上任意一點(diǎn)；過點(diǎn)

M作拋物線C的兩條切線M4,MB,切點(diǎn)分別為4,B(4點(diǎn)在第一象限).

(1)當(dāng)”的坐標(biāo)為(―1,|)時，求過A,3三點(diǎn)的圓的方程；

⑵求證：直線恒過定點(diǎn)；

(3)當(dāng)加變化時，試探究直線/上是否存在點(diǎn)使△MAB為直角三角形，若存在，有幾個這樣的點(diǎn)，說明

理由；若不存在，也請說明理由.

【題型3切線垂直問題】

【例3】(23-24高二上?安徽蚌埠?期末)已知拋物線C的方程為久2=4y,過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切

點(diǎn)分別為4

(1)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,-1),求切線P4PB的方程；

(2)若點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線P4和PB互相垂直.

【變式3-1](23-24高二上?河南駐馬店?期末)己知尸是拋物線=4支的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作拋

物線C的兩條切線P4PB,切點(diǎn)分別為4B.

(1)若點(diǎn)尸縱坐標(biāo)為0,求此時拋物線C的切線方程；

(2)設(shè)直線P4PB的斜率分別為七,心，求證：自?卜2為定值.

【變式3-2］（23-24高二上?安徽蚌埠?期末）已知拋物線C的方程為d=4y,點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上的任

意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4B,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn).

（1）求證：切線P4和PB互相垂直；

（2）求證：直線PM與y軸平行；

（3）求aPAB面積的最小值.

【變式3-3］（23-24高三下?江西景德鎮(zhèn)?階段練習(xí)）已知橢圓的：9+1=1,拋物線。2與橢圓的有相同的焦

點(diǎn)，拋物線。2的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C2的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線。2的兩條切線以、PB,其

中/、2為切點(diǎn)，設(shè)直線B4,PB的斜率分別為自，k2.

（1）求拋物線C2的方程及心心的值;

（2）若直線交橢圓C1于C、。兩點(diǎn)，Si、S2分別是△PAB、△PCD的面積，求號的最小值.

白2

【題型4切線交點(diǎn)及其軌跡問題】

【例4】（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）已知拋物線E：好二？不過點(diǎn)7（1,1）的直線與拋物線￡交于4,8兩

點(diǎn)，設(shè)拋物線￡在點(diǎn)N,8處的切線分別為匕和辦，已知人與x軸交于點(diǎn)跖％與x軸交于點(diǎn)N,設(shè)％與%的

交點(diǎn)為P.

(1)證明：點(diǎn)尸在定直線上；

(2)若△P"可面積為爭求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)若尸，M,N,T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【變式4-1](24-25高三上?云南?階段練習(xí))已知點(diǎn)P(x(),yo)是拋物線儼=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，則在點(diǎn)

P處的切線方程為yoy=P(久+&)?若/，B是拋物線Co：y2=ax(a>0)上的兩個動點(diǎn)，且使得在點(diǎn)/與點(diǎn)

8處的兩條切線相互垂直.

(1)當(dāng)a=6時，設(shè)這兩條切線交于點(diǎn)。，求點(diǎn)0的軌跡方程；

(2)(i)求證：由點(diǎn)4,3及拋物線Co的頂點(diǎn)所成三角形的重心的軌跡為一拋物線的；

(ii)對的再重復(fù)上述過程，又得一拋物線C2，以此類推，設(shè)得到的拋物線序列為的，C2,心，…，Cn,試

求C“的方程.

【變式4-2](2024?廣西?二模)已知拋物線C:/=y,過點(diǎn)E(0,2)作直線交拋物線C于4,2兩點(diǎn)，過

B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P.

(1)證明：尸在定直線上；

(2)若下為拋物線C的焦點(diǎn)，證明：Z.PFA=Z.PFB.

【變式4-3](2024?上海?三模)已知拋物線=2y的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)7(1,1)的直線/與「交于/、3兩點(diǎn).設(shè)

「在點(diǎn)/、2處的切線分別為人，12,人與x軸交于點(diǎn)M,L與x軸交于點(diǎn)N,設(shè)匕與G的交點(diǎn)為2.

（1）設(shè)點(diǎn)N橫坐標(biāo)為0,求切線匕的斜率，并證明FM1。；

（2）證明：點(diǎn)P必在直線y=久一1上；

（3）若尸、M、N、T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【題型5面積問題】

【例5】（23-24高三上?河南濮陽?階段練習(xí)）我們把圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)/,8處的兩條切線所

圍成的三角形△P4B（P為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”,

當(dāng)線段經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)廠時，△P4B具有以下性質(zhì)：

①尸點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；

@PA1PB；

@PF1AB.

已知直線Z:y=kQ—1）與拋物線y2=?交于/,B點(diǎn)、,若|4B|=8,則拋物線的“阿基米德三角形”△P4B

的面積為（）

A.8&B.4V2C.2V2D.企

【變式5-1]（2024?山西?模擬預(yù)測）圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德

三角形，過拋物線焦點(diǎn)尸作拋物線的弦，與拋物線交于4B兩點(diǎn)，分別過4B兩點(diǎn)作拋物線的切線匕，12

相交于點(diǎn)P,那么阿基米德三角形P4B滿足以下特性：①點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上；②△P4B為直角三角形,

且N力PB為直角；③PF1AB,已知P為拋物線產(chǎn)=”的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則阿基米德三角形P4B面積的最小值為

（）

11

A.-B.-C.2D.1

24

【變式5-2](2024?河北秦皇島?二模)已知拋物線E：久2=2y的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P是x軸下方的一點(diǎn)，過點(diǎn)P

作E的兩條切線匕,。，且匕,％分別交工軸于MN兩點(diǎn).

(1)求證：F,P,M,N四點(diǎn)共圓；

(2)過點(diǎn)F作y軸的垂線/,兩直線匕,％分別交/于4B兩點(diǎn)，求△P4B的面積的最小值.

【變式5-3](2024?河南?模擬預(yù)測3在直角坐標(biāo)系xOy中,已知方=(4,y),1=(%,—y),且益工=0.

(1)求點(diǎn)MQ,y)的軌跡「的方程；

(2)由圓％2+y2=R2上任一點(diǎn)N(久0，處)處的切線方程為Xox+yoy=R2,類比其推導(dǎo)思想可得拋物線C：產(chǎn)=

2PMp>0)上任一點(diǎn)NOo，yo)處的切線方程為yoy=p(x0+x).現(xiàn)過直線x=-3上一點(diǎn)P(不在x軸上)作「

的兩條切線，切點(diǎn)分別為Q,R，若PQ,PR分別與%軸交于Qi，&，求等也的取值范圍.

bgQR

【題型6最值問題】

[例6](23-24高三?云南昆明?階段練習(xí))過拋物線V=2Px(p>0)的焦點(diǎn)F作拋物線的弦，與拋物線交于

A,B兩點(diǎn),分別過4B兩點(diǎn)作拋物線的切線匕，%相交于點(diǎn)P，4PAB又常被稱作阿基米德三角形.△PAB的

面積S的最小值為()

A.9B.『C.p2D.V2p2

【變式6-11(23-24高三上?湖南長沙?階段練習(xí))4B為拋物線丁=2py(p>0)的弦,4(町而,B(x2,y2)

分別過4B作的拋物線的切線交于點(diǎn)MQo，y0)，稱aAMB為阿基米德三角形，弦4B為阿基米德三角形的底

邊.若弦過焦點(diǎn)F,則下列結(jié)論正確的是()

A.%i+%2=2%o

B.底邊的直線方程為光0%—p(y+y0)=。；

C.△4MB是直角三角形；

D.△4MB面積的最小值為2P2.

【變式6-2](2024?云南曲靖?一模)已知斜率為1的直線人交拋物線E:久2=2py(p>0)于4、B兩點(diǎn)，線段

的中點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2.

(1)求拋物線E的方程；

(2)設(shè)拋物線E的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線G與拋物線E交于M、N兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)M、N處作拋物線E的切線，

兩條切線交于點(diǎn)P，則△PMN的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應(yīng)的直線%的方程;

若不存在，請說明理由.

【變式6-3](2024?河北?模擬預(yù)測)已知拋物線C:/=2py(p>0),過點(diǎn)P(0,2)的直線，與C交于A,8兩點(diǎn),

當(dāng)直線/與y軸垂直時，04L0B(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求C的準(zhǔn)線方程；

(2)若點(diǎn)A在第一象限，直線I的傾斜角為銳角，過點(diǎn)4作C的切線與y軸交于點(diǎn)T,連接TB交C于另一點(diǎn)為D,

直線力。與y軸交于點(diǎn)Q,求^力「(?與44D7面積之比的最大值.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.(2024?吉林白山?二模)阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，

如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計中用于裝飾燈等.在圓惟曲線中，稱圓錐曲線的弦與過弦

的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線C:y2=8%的焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為。，斜率為

g的直線2過點(diǎn)尸且與拋物線C交于MN兩點(diǎn)，若△PMN為阿基米德三角形，則|OP|=()

A.VTTB.2V3C.V13D.V14

2.(2024?青海西寧?二模)拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形.阿

基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的斜率之積為定值.設(shè)

拋物線y2=2Px（p>0）,弦過焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則△NB。的面積的最小值為（）

A.yB.p2C.2P2D.4P2

3.（23-24高二?全國?課后作業(yè)）圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德

三角形，其中拋物線中的阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的

兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線>2=2px（p>0）,弦ZB過焦點(diǎn)F,△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ

為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨著點(diǎn)A,B位置的變化，前三種情況都有可能

4.（2024?河北?三模）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)

發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì).已知拋物

線V=4x,過焦點(diǎn)的弦ZB的兩個端點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)M,則下列說法正確的是（）

A.M點(diǎn)必在直線x=-2上，且以為直徑的圓過M點(diǎn)

B.M點(diǎn)必在直線x=-l上，但以AB為直徑的圓不過M點(diǎn)

C.M點(diǎn)必在直線x=-2上，但以為直徑的圓不過M點(diǎn)

D.M點(diǎn)必在直線x=-1上，且以4B為直徑的圓過M點(diǎn)

5.（23-24高三上?河南濮陽?階段練習(xí)）我們把圓錐曲線的弦N3與過弦的端點(diǎn)8處的兩條切線所圍成

的三角形△P4B（尸為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)

線段43經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)廠時，aPAB具有以下性質(zhì)：

①尸點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；

@PA1PB；

③PF1AB.

已知直線〃y=k（x—1）與拋物線y2=4x交于B點(diǎn)、,若|4B|=8,則拋物線的“阿基米德三角形”△P48

頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為（）

A.±1B.±2C.±3D.±|

6.（23-24高三?云南昆明?階段練習(xí)）過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作拋物線的弦與拋物線交于力、B

兩點(diǎn)，M為力B的中點(diǎn)，分別過4B兩點(diǎn)作拋物線的切線4、b相交于點(diǎn)PAPAB又常被稱作阿基米德三角形.

下面關(guān)于△PAB的描述：

①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上;

@AP1PB；

?2

③設(shè)力01，為）、5（x2,y2）,則aPAB的面積S的最小值為三；

@PF1AB；

⑤PM平行于%軸.

其中正確的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知拋物線r：x2=8y的焦點(diǎn)為F,直線I與拋物線「在第一象限相切于點(diǎn)P,

并且與直線y=-2和x軸分別相交于3兩點(diǎn)，直線尸尸與拋物線「的另一個交點(diǎn)為。.過點(diǎn)8作8C〃AF

交尸尸于點(diǎn)C,若|PC|=|QF|,則|PF|等于（）

附加結(jié)論：拋物線上兩個不同的點(diǎn)/,2的坐標(biāo)分別為力（久口乃），8（X2,、2），以/，3為切點(diǎn)的切線以，PB

相交于點(diǎn)P,我們稱弦AB為阿基米德△P4B的底邊.

定理：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（手,詈）；

推論：若阿基米德三角形的底邊即弦N3過拋物線內(nèi)定點(diǎn)C（0,m）（ni>0）,則另一頂點(diǎn)尸的軌跡方程為y=-

m.

A.^5—1B.2+V5C.3+V5D.5+

8.（2024?云南昆明?模擬預(yù)測）阿基米德（公元前287年?公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)

學(xué)家和天文學(xué)家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號.拋物線的弦與

過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖，apaB為阿基米德三角形.拋物線/=

2py（p>0）上有兩個不同的點(diǎn)4（久1，乃）,8。2，丫2），以48為切點(diǎn)的拋物線的切線P4PB相交于尸.給出如下

結(jié)論，其中正確的為（）

（1）若弦4B過焦點(diǎn)，則△A8P為直角三角形且乙4P8=90°；

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（中,等）；

（3）△P4B的邊力B所在的直線方程為（巧+冷）龍-2py—久i比2=。；

（4）△248的邊力8上的中線與7軸平行（或重合）.

A.(2)(3)(4)B.(1)(2)

C.(1)(2)(3)D.(1)(3)(4)

二、多選題

9.（2024?山東?模擬預(yù)測）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已

知拋物線C:/=8y,阿基米德三角形P4B,弦4B過C的焦點(diǎn)F,其中點(diǎn)力在第一象限，則下列說法正確的是

（）

A.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為一2B.C的準(zhǔn)線方程為x=—2

C.若|AF|=8,則力B的斜率為遍D.△P4B面積的最小值為16

10.（2024?湖南長沙?二模）過拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)廠的直線與拋物線C相交于/,3兩點(diǎn),

以4,8為切點(diǎn)作拋物線。的兩條切線mi2,設(shè)①%的交點(diǎn)為"，稱△/龍歸為阿基米德三角形.則關(guān)于阿

基米德三角形下列說法正確的有（）

A.是直角三角形

B.頂點(diǎn)”的軌跡是拋物線C的準(zhǔn)線

C.兒田是的高線

D.面積的最小值為2P2

11.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德

三角形，該三角形以其深刻的背景、豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設(shè)4B是拋物線C:/=4y上兩個不同的

點(diǎn)，以4句,乃）,8（久2，＞2）為切點(diǎn)的切線交于。點(diǎn).若弦48過點(diǎn)/。，1），則下列說法正確的有（）

A.x1x2=-4

B.若工i=2,則4點(diǎn)處的切線方程為x—y—1=0

C.存在點(diǎn)P,使得方?麗＞0

D.△P4B面積的最小值為4

三、填空題

12.（2024高三?全國?專題練習(xí)）拋物線的弦與過弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角

形.設(shè)拋物線為儼=4心弦N3過焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△4BQ的面積的最小值為.

13.（24-25高二上?上海?單元測試）我們把圓錐曲線的弦N3與過弦的端點(diǎn)N、3處的兩條切線所圍成的APAB

（P為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段經(jīng)過拋

物線的焦點(diǎn)尸時，△P4B具有以下性質(zhì)：

①尸點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②PA1PB；③PF14B.

已知直線l：y=k（x-1）與拋物線y2=4x交于/、B兩點(diǎn)，若|4B|=8,則拋物線的“阿基米德三角形"△PAB

的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

14.（23-24高三下?江西?階段練習(xí)）圓錐曲線。的弦與過弦的端點(diǎn)/,3的兩條切線的交點(diǎn)P所圍成

的三角形為8叫做阿基米德三角形，若曲線C的方程為d=4y,弦48過C的焦點(diǎn)/，設(shè)力（亞,yj,8（X2，%），

POoJo），則有無0=空，即=等，對于C的阿基米德三角形以3給出下列結(jié)論：①點(diǎn)尸在直線y=—1

上；②kpA-kpB=l;③kpA+kpB=0;@|PF|2=\FA\\FB\,其中所有正確結(jié)論的序號為.

四、解答題

15.（23-24高三上?河北衡水?階段練習(xí)）著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的

面積公式5=仍兀，（a,b分別為橢圓的長半軸長和短半軸長）為后續(xù)微積分的開拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓C：

式+丈=1.

189

⑴求C的面積；

（2）若直線/:x+2y-3=0交C于4C兩點(diǎn),求|A8|.

16.（23-24高二下?重慶?階段練習(xí)）過拋物線外一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為我們稱△P4B

為拋物線的阿基米德三角形，弦與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“冏邊形”，且已知“冏邊形”的面

積恰為相應(yīng)阿