2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：指、對、冪數(shù)比較大小問題【八大題型】（新高考專用解析版）

指、對、幕數(shù)的大小比較問題【八大題型】

?題型歸納

【題型1利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】............................................................2

【題型2中間值法比較大小】...................................................................3

【題型3特殊值法比較大小】...................................................................4

【題型4作差法、作商法比較大小】............................................................6

【題型5構(gòu)造函數(shù)法比較大小】.................................................................7

【題型6數(shù)形結(jié)合比較大小】...................................................................9

【題型7含變量問題比較大小】................................................................12

【題型8放縮法比較大小】....................................................................14

?命題規(guī)律

1、指、對、塞數(shù)的大小比較問題

指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點(diǎn)，也是高考必考考點(diǎn)，從近幾年的高考情況來看，指、對、基數(shù)

的大小比較是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，是高考的熱點(diǎn)問題，主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運(yùn)算性質(zhì)，以

及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和塞函數(shù)的性質(zhì)，一般以選擇題或填空題的形式考查.這類問題的主要解法是利用函

數(shù)的性質(zhì)與圖象來求解，解題時要學(xué)會靈活的構(gòu)造函數(shù).

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1指、對、塞數(shù)比較大小的一般方法】

1.單調(diào)性法：當(dāng)兩個數(shù)都是指數(shù)幕或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)的函數(shù)值,

然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較，具體情況如下：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如d和a演，利用指數(shù)函數(shù)了=優(yōu)的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同時，如X：和甘，利用募函數(shù)y=x"單調(diào)性比較大小；

③底數(shù)相同，真數(shù)不同時，如log”再和log.%,利用指數(shù)函數(shù)x單調(diào)性比較大小.

2.中間值法：當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其

它能判斷大小關(guān)系的中間量，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，借助中間量進(jìn)行大小關(guān)系的判

定.

3.作差法、作商法：

(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大小；

(2)作差或作商的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.

4.估算法：

(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.

5.構(gòu)造函數(shù)法：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)

律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構(gòu)造函數(shù)來比較大小.

6、放縮法：

(1)對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

(2)指數(shù)和幕函數(shù)結(jié)合來放縮；

(3)利用均值不等式的不等關(guān)系進(jìn)行放縮.

?舉一反三

【題型1利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】

【例1】(2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測)已知口=3。3,6=0.33,c-]Og033,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.

【解答過程】a=303>3。=1,0<b=0.33<1=0.3°,

c=log0,33<log0,3l=0,.-.a>b>c.

故選：A.

【變式1-1](2024?四川自貢?三模)已知a=log2gb=1.202,c=0.521,則a,6,c的大小關(guān)系是

()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【解題思路】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.

【解答過程】因?yàn)閥=log2》在乂e(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以a=log21<log2l=0即a<0；

因?yàn)閥=1.2》為增函數(shù)，故6=1.20-2>1.2°=1即6>1；

因?yàn)閥=0.5工為減函數(shù)，故0<0.52」<0.5°=1即0<c<1,

綜上Q<c<b.

故選：A.

【變式1-21（2024?貴州貴陽?三模）已知a=403力=（log4a州,c=log4（log4Q）,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到a>1,利用指對運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到0<bV1,利用對數(shù)函

數(shù)單調(diào)性得到c<0,則比較出大小.

0344

【解答過程】因?yàn)閍=4->4°=1力=（Iog4a）=0.3<1,且0.34>0,則0<b<l,

c=log4（log4a）=log40.3<0,

所以a>b>c,

故選：A.

a

【變式1-3]（2024?山東泰安?模擬預(yù)測）已知a=log0.20.3,b=Ina,c=2,則a,瓦c的大小關(guān)系為（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得a力的范圍，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得c的范圍，即可比較大小.

【解答過程】因?yàn)閥=logo.2%在（。，+8）上單調(diào)遞減，所以logo.21Vlogo.20.3Vlogo.20.2,即0<。<1,

因?yàn)閥=In%在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以lna<lnl,即匕<0,

因?yàn)閥=2%在R上單調(diào)遞增，所以2a>2。，即c>l,

綜上，c>a>b.

故選：D.

【題型2中間值法比較大小】

【例2】（23-24高三上?天津南開?階段練習(xí)）已知a=e。」，b=l-21g2,c=2-log310,貝a,b,c的

大小關(guān)系是（）

A.b>c>aB.a>b>cC.a>c>bD.b>a>c

【解題思路】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值0,1,分析判斷即可.

【解答過程】由題意可得：a=e01>e°=l,

b=1—21g2=1—lg4,且0=Igl<lg4<IglO=1,則0<b<1,

因?yàn)閘og310>log39=2,貝!Jc=2—log310<0,

故選：B.

i

【變式2-1]（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測）已知a=G）\b=log65,c=log56,貝!!（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【解題思路】取兩個中間值1和右由。=正>看b<log66=l,l=log55VcV和可比較三者大小.

【解答過程】。=02=五>*b=log65<log66=1,1=log55<log56=c<log5V125=|,

因此b<c<a.

故選：C.

【變式2-2](2024?山東濰坊?二模)已知a=eT,b=Iga,c=e。，貝(j()

A.b<a<cB.b<c<a

C.a<b<cD.c<b<a

【解題思路】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性并結(jié)合中間量0和1即可比較大小.

【解答過程】a=e-16(0,1),b=\ga=Ige-1=—Ige<0,c=e0=1,

所以力<a<c,

故選：A.

【變式2-3](2024?天津北辰?三模)已知a=0.531,b=logo,gO-3,c=logij,則a,b,c的大小關(guān)系為

()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【解題思路】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值三,1”分析大小即可.

【解答過程】因?yàn)閥=0,5，在R上單調(diào)遞減，貝股53-1<0.51=即a<|；

又因?yàn)閥=logos》在(0,+8)上單調(diào)遞減，則logo.9().3>log090.9=1,即b>1；

可得c=logij=log32,且y=logs”在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則:=log3V3<log32<log33=1,即T<c<1；

綜上所述：a<c<b.

故選：D.

【題型3特殊值法比較大小】

【例3】(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)設(shè)a=logo.50.6,b=0.49-。%c=0.6-。巴則a,b,c的大小關(guān)系是

()

A.c>b>aB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解題思路】利用黑函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值判定即可.

【解答過程】因?yàn)閥=logos%在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以logo.51<logo.50.6<logo,50,5,即0<a<l.

因?yàn)閥=也6在(0,+8)上單調(diào)遞增，又0.49-Q3=0.7-°-6=律)06,O.6-06=(|)0'6,

又所以(|廣6>e)°.6>1。.6,故C>6>1,所以c>6>a.

故選：A.

b

【變式3-1](23-24高二下?云南玉溪?期中)已知實(shí)數(shù)滿足2。+。=2,2+b=V5,c=log163,貝lj

()

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【解題思路】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得c<,構(gòu)造函數(shù)=2,+x,xeR,由函數(shù)的單調(diào)性得：<a<b及，即

可得出判斷.

11

【解答過程】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，c=log163<log164=log1616i=I，

構(gòu)造函數(shù)/(%)=2X-\-x,xeR,貝(j/(a)=2a+a=2,/(h)=2。+b=巡

因?yàn)閥=2久和y=X單調(diào)遞增，所以/(%)單調(diào)遞增，

因?yàn)?<而，即/(a)Vf(b)，所以aVb,

又發(fā))=2、六警<2,所以八砌>6)，即a>?,

所以c<a<b,

故選：A.

4

【變式3-2](2024?寧夏銀川?二模)若a=log",b=(1),c=log34,d=；則()

A.a>b>d>cB.a>b>c>dC.b>d>a>cD.a>d>b>c

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

11o

434

【解答過程】因?yàn)閍=logiZ=log3>log3=1,④<(1)<④=>1<h<1,

3J

1

1

log34<logs=One<0,

所以a>b>d>c.

故選：A.

【變式3-3](2024?天津和平一模)設(shè)(￡f=2,6=log53—log/c=G)3,則有()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助特殊值0,可得a最小，再利用〃>c3得出b,c大小.

【解答過程】由=2可得a=logi2<logil=0,

7/33

_1

3

b=logi3—logi9=logij=log23>1,c=0=25=V2>0,

下面比較瓦c,

因?yàn)?2>②丫=8,所以3>

3o

所以b=log23>log222=

而c3=（慮）3=2<（|）=蕓，故C<|,所以c<b,

綜上，b>c>a.

故選：B.

【題型4作差法、作商法比較大小】

1

【例4】（2023?四川成都一模）若a=3",6=（|）?c=logif,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【解題思路】先根據(jù)指對函數(shù)的單調(diào)性可得0<aVI,0<h<l,O1,再作商比較a力的大小，從而可

求解.

【解答過程】因?yàn)?<a=3七<3。=1,0<b=（I）-7<（|）°=1,

3-41.1111/11\12/1\12/1\12o11

令衛(wèi)a=-T=3~+3x2-=3五X2~,而（3五X2~）=（3五[x[2~）=3x2-4=—<1,即3五X2~

（5）

<1,所以a<b,

又因?yàn)閏=logij=log舄>log扁>logi|=1,所以c>b>a.

故選：D.

【變式4-1]（2023?貴州六盤水?模擬預(yù)測）若口=殍，6=詈，，=今，貝|（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】利用作差法，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)y=lnx的單調(diào)性分別判斷a力和a,c的大小關(guān)系，即可判斷出a,b,c

的大小關(guān)系.

【解答過程】因?yàn)閎—a=殍—竽=也泮=喂竺>0,所以6>a；

mMln5ln221n5—51n2ln25—ln32_r-...

又因?yàn)閏—a=F——-=---=---<0,所r以a>c；

綜上所述：c<a<b.

故選：C.

【變式4-2](2024?四川成都?二模)若。=1口26/=41112?1113,。=(1+1113)2,貝必,瓦c的大小關(guān)系是()

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【解題思路】作差法比較。力的大小，利用對數(shù)的性質(zhì)比較兄。的大小.

【解答過程】a-In26=(ln2+ln3)2,c=(Ine+ln3)2

因?yàn)閘n2+ln3<Ine+ln3,所以(ln2+ln3)2<(Ine+ln3)2,即a<c,

a=In26=(ln2+ln3)2,b=41n2-ln3,

則a—b=(ln2+ln3)2—41n2-ln3=(ln2—ln3)2>0,即匕<a,

所以b<a<c.

故選：D.

【變式4-3](2024?全國?模擬預(yù)測)若a=204/=3S25,c=logo.70.5,則a,瓦c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷見。范圍，比較它們的大?。焕米魃谭ū?/p>

較。力的大小，即可得答案.

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)y=2久在R上單調(diào)遞增，所以。=20-4<2。?5=V2.

111

又"第=(募曠=醫(yī)尸=(急尸>L所以b<a(也

因?yàn)?.52=o25<0.343,故0.5<V0343=0.7(y=log。?尤在(。,+8)上單調(diào)遞減,

3o

所以logo.70.5>logo,7。萬=2>V2,所以a<c,

所以實(shí)數(shù)a,b,c的大小關(guān)系為6<a<c,

故選：B.

【題型5構(gòu)造函數(shù)法比較大小】

【例5】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知a=嗎，/?=ln7Xln2,c=書|,則()

A.b<c<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

【解題思路】根據(jù)0<ln2<1得至ijc的值最大，然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=(1-ln2)lnx-ln2,根據(jù)f(x)的單調(diào)

性和/'(8)<0得到a<b.

【解答過程】因?yàn)?<ln2<l,所以a=ln7—ln2<ln7,b<ln7,c>ln7,故c的值最大.

下面比較a,b的大小.

構(gòu)造函數(shù)/(%)=Inx—ln2—In%-ln2=(1—ln2)lnx—ln2,

顯然/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

因?yàn)?(8)=ln8—ln2—ln8-ln2=ln2(2—ln8)=ln2(lne2—ln8)<0,所以a—b=/(7)</(8)<0,所以

a<b,所以a<b<c.

故選：C.

【變式5-1](2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)a=5"c=log45,則a,b,。的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【解題思路】利用常見函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【解答過程】先比較。和b,構(gòu)造函數(shù)y=/在上(o,+8)單調(diào)遞增，

刊)4=5>黑=?)'.一>a即a>b；

44

又,：4b=5,4c=41og45=log45,且4、=4x256>5=625,

45

4c=log45<log44=5=4bf>c,

.,.a>b>c.

故選：A.

【變式5-2](2024?天津和平?一模)已知a=log。？。.?力=logojOZc=log23,則a,瓦c的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.c<b<a

C.a<b<cD.a<c<b

【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【解答過程】V0<a=logo_20.3<1,b=logo.30.2>1,c=log23>1,

又g=logo.30.2-log32=匿,詈=g5g，

2

因?yàn)楹瘮?shù)/■(%)=/-%=(萬一3-i,在(0,3上單調(diào)遞減，且/'(0)=0,又因?yàn)椋?gt;lg3>lg2>0,

所以f(lg3)</(lg2)<0,所以能^<L即骷|<1，所以g<l，

???b<c,BPa<b<c.

故選：C.

_/7

【變式5-3](2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知實(shí)數(shù)a,仇c滿足M+log2a=0,2023=log2023^c=log7

V6,則()

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

【解題思路】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定正確答案.

【解答過程】設(shè)/Q)=N+10g2X,八為在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又府)=-1<0,/(1)=1>0,所以?<a<1;

設(shè)以嗎=(右y

一l°g2023%，9(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

1(1、2023

又9(1)=康>0,9(2023)=(/)-K0,所以1<b<2023,

因?yàn)镃=10g7V^V10g7A/7=51，所以CV5.1

綜上可知，c<a<b.

故選：B.

【題型6數(shù)形結(jié)合比較大小】

【例6】(2024?河南?模擬預(yù)測)已知a=Imr力=log37T,c=VSn2,則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【解題思路】

利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過程】e<3<7T,a=loge7r>log37r=b>log33=1,即a>6>1,

???a—InTr=ln(V^)2,c=S?ln2=ln2匹

下面比較(、/元)2與2爪的大小，構(gòu)造函數(shù)y=%2與y=2X,

由指數(shù)函數(shù)y=2元與募函數(shù)y="的圖像與單調(diào)性可知，

當(dāng)％￡(02)時,x2<2X；當(dāng)％W(2,4)時,x2>2x

由％=SFW(0,2),故(SF)2<2近,故In"V1口2小，即a<c,

所以b<a<c,

故選：A.

【變式6-1](2023?江西贛州?二模)若log3%=log4y=log5Z<-1,則()

A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3%

【解題思路】設(shè)log3%=log4y=log5Z=m<-1,得到久=3m,y=4m,z=5m,畫出圖象，數(shù)形結(jié)合得到答

案.

【解答過程】令log3%=log4y=log5z=m<-1,則％=3m,y=4m,z=5m,

3x=3m+1,4y=4^+1,5z=5m+1,其中m+1<0,

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=3x,y=4x,y=5X,

Jy=5：

771+1OX

故5z<4y<3%

故選：D.

【變式6-2](2024?全國?模擬預(yù)測)己知a=g),(；)=logaha。=log4,則實(shí)數(shù)a,hc的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【解題思路】由函數(shù)單調(diào)性，零點(diǎn)存在性定理及畫出函數(shù)圖象，得到a力,CE(0,1),得到log/?<1=loga。,

求出6>a,根據(jù)單調(diào)性得到c=(I)"<(I)"=a,從而得到答案.

【解答過程】令f⑸=G)"—%，其在R上單調(diào)遞減，

又f(0)=1>0,/(1)=1-1=-|<0,

由零點(diǎn)存在性定理得ae(0,1),

則y=logN在(0,+8)上單調(diào)遞減，

畫出力=(|)與y=10ga%的函數(shù)圖象，

可以得到be(0,1),

又丫2=a"在R上單調(diào)遞減，畫出丫2=a久與丫3=log”的函數(shù)圖象,

因?yàn)镚)<G)=1，故log/<1=loga。，故b>a,

因?yàn)閍,ce(0,1),故a。>a1=a,

由a，=logic<,c=(|)<Q)=a.

綜上，c<a<b.

故選：D.

【變式6-3](2024?廣東茂名?統(tǒng)考一模)已知居y,z均為大于0的實(shí)數(shù)，且2、=3〃=logsz,則x,y,z大小關(guān)

系正確的是()

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

【解題思路】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2，,y=3\y=logs^與直線y=t>1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系,

再作出圖像，數(shù)形結(jié)合求解即可.

【解答過程】解：因?yàn)閤,y,z均為大于0的實(shí)數(shù)，

y

所以2*-3-log5z=t>1,

進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x,y=3x,y=logs%與直線y=t>1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系,

故作出函數(shù)圖像，如圖，

由圖可知z>x>y

故選：C.

【題型7含變量問題比較大小】

【例7】（23-24高三上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）設(shè)a」、c都是正數(shù)，且4。=6b=9%則下列結(jié)論錯誤的是

（）

171

A.c<b<aB.ab+be=acC.4b?9b=4°?9°D.-c=7b—-a

【解題思路】首先根據(jù)指對運(yùn)算，利用對數(shù)表示a,瓦c,再利用換底公式和對數(shù)運(yùn)算，判斷選項(xiàng).

111

【解答過程】設(shè)4a=6b=9c=k>l,所以a=log4k=即，b=log6k=再，c=log9k=（，

A.由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，0<log"Vlog%6<log%%可知cVb<a,故A正確;

B.b（a+c）=彘島+康）=康logk36_______1_2.6

log/c41og/c9—logk6log/c4-log/c9

2ac,故B錯誤;

logk41ogfc9

C.4a-9c=（6"2=36b=（4.9）b=空.故c正確.

112121

D.-+-=logfe4+logfc9=logk36=21ogfc6=貝叮=石一]故D正確.

故選：B.

【變式7-1]（2024?江西?模擬預(yù)測）若ae°=blnb（a>0）,則（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.無法確定

【解題思路】令aea=61nb=k,fc>0,構(gòu)造函數(shù)，作出函數(shù)圖象，即可比大小.

【解答過程】因?yàn)閍>0,

所以ae。>a>0,

因?yàn)閍e°=b\nb,

所以blnb>0,可得b>1,

令ae。=b\nb=k,/c>0,

所以e。=-a,lnb=b

設(shè)/(%)=ex,g(%)=Inx,/i(x)=

作出它們的圖象如圖：

故選：A.

【變式7-2](2023?全國?模擬預(yù)測)已知見瓦c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，且Inc=a\nb,\na=bine,則a,仇c的

大小關(guān)系是()

A.c>a>bB.b>c>a

C.a>b>cD.a>c>b

【解題思路】分析可知，Ina、Inb、Inc同號，分a、b、cE(0,l)和a、b、cE(1,+8)兩種情況討論，結(jié)合

對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出匹氏c的大小關(guān)系.

【解答過程】??Tnc=a\nb,\na=bine且a、b、c均為不等于1的正實(shí)數(shù),

則Inc與Inb同號，Inc與Ina同號，從而Ina、Inb、Inc同號.

①若a、b、c6(0,1),則Ina、In/?、Inc均為負(fù)數(shù)，

Ina=b\nc>Inc,可得a>c,Inc=alnb>In/j,可得c>b,此時a>c>b；

②若a、b、cG(1,+oo),貝ijlna、Inb、Inc均為正數(shù)，

Ina=b\nc>Inc,可得a>c,Inc=a\nb>Inh,可得c>b,止匕時a>c>b.

綜上所述，a>c>b.

故選：D.

【變式7?3】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足e。+e-2a=/+。，b=log23+log86,

c+log2c=2,貝!!q,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【解題思路】根據(jù)所+e-2a=m+e—?？傻肕—e-c=ea-e-2%由此可構(gòu)造函數(shù)/(%)=e*—根據(jù)外)

的單調(diào)性即可判斷a和c的大小；根據(jù)對數(shù)的計(jì)算法則和對數(shù)的性質(zhì)可得b與2的大小關(guān)系；c+log2c=2

變形為log2c=2—C,利用函數(shù)y=log2%與函數(shù)y=2—%的圖象可判斷兩個函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)C的范圍,

從而判斷b與。的大小.由此即可得到答案.

【解答過程】ec+e~2a=ea+e-c=>ec—e~c=ea—e-2a,

故令/(%)=ex-e-x,則/(c)=ec-e-c,/(a)=ea-e-a.

易知y=-e-x=-2和y=心均為(0,+8)上的增函數(shù)，故/(%)在(0,+8)為增函數(shù).

ve-2a<e-a,故由題可知，ec—e~c=ea—e~2a>ea—e-a,即f(c)>/(a),則c>a>0.

易知b=log23+log2V6=log23V6>2,log2c=2-c,

作出函數(shù)y=log2%與函數(shù)y=2—%的圖象，如圖所示，

???c<b,

a<c<b.

故選：B.

【題型8放縮法比較大小】

【例8】（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）若。=0.311?5力=38312々=10826坦=7|,則有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

【解題思路】由題意首先得0VQVl,d=J—|<0,進(jìn)一步b=log312=1+log34>2,c=log26=1+

log23>2,從而我們只需要比較Iog34,log23的大小關(guān)系即可求解，兩式作商結(jié)合基本不等式、換底公式即

可比較.

【解答過程】a=0.311-5<0.31°=1,所以0<a<<0,

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

又因?yàn)榛?In4」n2(則羅丫=(ln2口院]

乂口力1唯3In3.ln3<-ln3.ln3(ln3)z'

所以Z?<c,即d<a<b<c,

故選：B.

i

4

【變式8-1](2023?河南鄭州?模擬預(yù)測)已知a=log35,b=2(|),c=31og72+log87,貝|()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式判斷即可.

【解答過程】因?yàn)閍=log35=|log325<|log327=|,

1111

R("<(整=歐所以1(守>卻<2,

c=31og72+log87=log78+log87>Z^/logyS-log87=2,

所以c>b>a.

故選：B.

【變式8-2］（2023上?安徽?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a=g—VT7力=6T,c=log53—§og35,則

()

A.a<b<cB.b<c<a

C.b<a<cD.c<a<b

【解題思路】采用放縮法和中間值比較大小，得到。<b<c.

271

【解答過程】因?yàn)椤?舊—舊=7^<7^

4f

7111111皿Zii\

b=6，=后>需=7而〈而=]故

c=log53-|log35=|log527-|log325>|log525-|log327=

所以a<b<c.

故選：A.

【變式8-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知a=log8.i4,b=log3,ie,c=\n2.1?則()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<bD.b<c<a

【解題思路】先證明b>0,c>0,利用比商法結(jié)合基本不等式證明c<b,再根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)

函數(shù)性質(zhì)證明a<c即可得結(jié)論.

【解答過程】因?yàn)閎=log3,ie>0,c=ln2.1>0,

所%=鼠=ln2.1xln3.1<(1^^丫=(等丫=(lnV6^T)\

Xe2?7.389,所以-6.51於e,所以1nA/6.51<Ine=1,

所以(V1,故cVb,

因e為a=ilog844A=,ln4=a21n2=調(diào)ln2，

又e2七7.389,所以8.1>e2,所以In倔T>1,

所以Q<ln2,又ln2<ln2.1=c,

所以a<c,

所以a<c<b,

故選：A.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)a=log62,b=log123,c=log405,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】取到數(shù)計(jì)算得器=1+鬻，；=1+翟，作差法比較的大小，即可得到瓦C大小，利用中間

uigQCDC

值梆可比較a,c大小.

【解答過程】?.,=Iog312=1+log34=1+胃=1+鬻，7=1嗨40=1+log58=1+魯=1+鬻，

1121g231g221g2xlg5-31g2xlg3lg2⑵g5—31g3)Ig2(lg25-lg27),八

?，bc~lg3lg5-Ig3xlg5-Ig3xlg5-Ig3xlg5'U,

.??b7<c又b>0,c>0,：.b>c.

1--------3r2

=1+log58<1+log5V125=1+log552=：.c>-；

1352

v-=log26=1+log23>1+log2V8=1+log222=：.a<

.,.a<c.

：.a<c<b,

故選：D.

2.(2024?安徽宿州?一模)已知37n=4,a=2m-3,b=4m-5,貝1J()

A.a>0>bB.b>0>aC.a>b>0D.b>a>0

【解題思路】由作差法，結(jié)合對數(shù)換底公式、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式比較得10g23>10g34>10g45,即

可判斷大小.

【解答過程】由3m=4=>巾=log34,

2

Ig23-lg2-lg4Ig23_(!g2±ig4)=41g23Tg28=]g29-]g28

log23-log34-Jg-Jg=>0,

Ig21g3ig2.ig3-41g21g3-41g2-lg3

_lg4_lg5_1g24Tg3-lg5*_(!史穿丫_41g24Tg2151g216Tg215

1唯4-log541g3-lg4；U

4-lg3-lg4-Ig31g4lg3.ig4-41g3-lg4

.?.log23>log34>log45,

;.b=4m-5>410g45-5=0,a=2m-3<210^3-3=0,

.,.b>0>a.

故選：B.

3.(2024?貴州畢節(jié)?一模)已知a=31og83,b=—1logil6,c=log43,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>c>aD.b>a>c

【解題思路】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡見瓦c,并判斷范圍，采用作差法結(jié)合基本不

等式可判斷Q即可得答案.

【解答過程】由題意可得a=310g83=3X靂=log23>1,

11log316

b=—Rg?6=-5X=log34>1,0<c=log43<1,

又log23700g034=修_獸=嘴弊,

/u乙lg2lg31g21g3

由于lg2>0,lg4>0,lg2*lg4,Ig21g4<(思筍<=(lgV8)2<(lg3)2,

故log23-log34>0,a>b,

綜合可得Q>b>c,

故選：A.

4.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測)設(shè)。=(|),6=(1)，c=%(log34),則()

A.c<b<aB.a<b<cC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，找出中間值0,1,讓其和a,b,c進(jìn)行比較，從而得出結(jié)果.

【解答過程】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，y=在R上單調(diào)遞增，故a=(|)°，>(|)°=l；

由y=(|)"的值域，且在R上單調(diào)遞增可知，o<匕=(|)07<(|)°=1；

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，y=log3%在(。,+8)上單調(diào)遞增，故log34>log33=1,由丫=logy在(0,+8)上

4

單調(diào)遞減，故C=log3(log34)<log31=0.結(jié)合上述分析可知：c<0<b<l<a.

44

故選：A.

1

5.(2024?云南昆明?模擬預(yù)測)已知a=e"b=ln2,c=log32,則a力,c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a

【解題思路】引入中間變量1,再利用作差法比較hc的大小，即可得答案；

1

【解答過程】a=e3>e°=1,b=ln2<Ine=1,c=log32<log33=1

???a最大，

b-c=ln2-log32=Jf—詈=lg2.島一表)>0,b>c,

???a>b>c,

故選：B.

6.(2024?陜西寶雞?一模)已知實(shí)數(shù)Q,hc滿足三=詈=?=2,則()

A.a>b>cB.a<b<c

C.b>a>cD.c>a>b

【解題思路】先應(yīng)用指對數(shù)轉(zhuǎn)換求出見瓦c,再轉(zhuǎn)化成整數(shù)累比較即可.

【解答過程】因?yàn)轭?9=?=2,所以e2a=4,e3b=6,eSc=10,

即得2a=ln4,3b=ln6,5c=InlO得a=ln2,b=lnV6,c=InVlO,

因?yàn)閥=In%是(0,+8)上的增函數(shù)，比較2,痣樹的大小關(guān)系即是a力,c,的大小關(guān)系，

2,連,國同時取15次幕，因?yàn)槟缓瘮?shù)y=%*在(0,+8)上是單調(diào)遞增的，比較2巧,65,103即可，

因?yàn)?15=524288,65=7776,19=iQOO所以2*>103>65

即2>祗>遍，即得a>b>c.

故選：A.

11

7.(2023?湖南永州?一模)已知a=log3n力=兩二pc=二麗，則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【解題思路】先利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出ae(1,1.5),從而確定b>2,ce(i,2),作差法判斷出a<c,從而

求出答案.

【解答過程】a=log3n>log33=1,

3___3

因?yàn)?5=V27>n,所以a=log3n<log332=1.5,

所以ae(1,1.5),

Iog3n-1G(0,0.5),故b=^zi>2,

2—log3Tte(0.5,1),故c=^^e(l,2),

令a—c=log3n_=21嗝；-心啕寸-1=-(詈3A止<0

rbJ2-log3n2-log37T2-log3-rt

所以a<c<b,

故選：D.

8.(2023?陜西西安?一模)已知函數(shù)f(x)=—2久，若2a=log2%=c,則()

A.f(b)</(c)</⑷B.f(a)</(b)<f(c)

C./(a)</(c)<f(b)D./(c)</(b)</(a)

x

【解題思路】在同一坐標(biāo)系中作y=c,y=2,y=log2x,y=x的圖像，得到a<c<b,借助/'(%)=—2%的單調(diào)

性進(jìn)行判斷即可.

【解答過程】/(x)=-2刀在R上單調(diào)遞減，

x

在同一坐標(biāo)系中作y=c,y=2,y=log2x,y=》的圖像，如圖：

所以a<c<b,故/(b)</(c)</(a),

故選：A.

二、多選題

9.(2024?河南洛陽?模擬預(yù)測)下列正確的是()

-001-0001

A.2>2B.log2V3>log2TT-1

01

c.logi,85<logi,75D.log33.01>e-0

【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A；由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B,C；由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得log3

3.01>1,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得e-OQi<1,即可判斷.

【解答過程】解：對于A,因?yàn)椤?.01<—0.001,所以所以A錯誤；

對于B,因?yàn)閘ogzK〉log2、=log2n-l，所以B正確：

對于C,因?yàn)閘og"5>OJogi7>0,所以log[85=W<品=log175,所以C正確；

-001

對于D,因?yàn)閘og33.01>log33=1￡一Ve°=1,filftllog3